高考文科数学二轮专题复习题《选修模块 专题1 第1讲 导数的简单应用》

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重点难点突破（选修模块）专题一　导数及其应用第1讲　导数的简单应用(建议用时：60分钟)一、选择题1．函数f(x)＝x2－lnx的单调递减区间为(　　)．A．(－1,1]　B．(0,1]C．[1，＋∞)　D．(0，＋∞)解析　由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝x－≤0，解得00.故选B.答案　B4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是(　　)．A．(0,2]　B．(0,2)　　C．[，2)　D．(，2)解析　由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得又a>0，解得0，∴f(x)在x＝1处取得极小值．故选C.答案　C6．(2014·潍坊模拟)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，不等式f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝30.3f(30.3)，b＝logπ3f(logπ3)，c＝log3f，则a，b，c间的大小关系是(　　)．A．a>b>c　B．c>b>aC．c>a>b　D．a>c>b解析　设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0(x<0)，∴当x<0时，g(x)＝xf(x)为减函数．又g(x)为偶函数，∴当x>0时，g(x)为增函数．∵1<30.3<2,0g(30.3)>g(logπ3)，即c>a>b.答案　C二、填空题7．(2013·江西卷)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.解析　设ex＝t，则x＝lnt(t>0)，∴f(t)＝lnt＋t，即f(x)＝lnx＋x，∴f′(x)＝＋1，∴f′(1)＝2.答案　28．(2014·江西卷)若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．解析　设P(x0，y0)，∵y＝e－x，∴y′＝－e－x，∴点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，∴－x0＝ln2，∴x0＝－ln2，∴y0＝eln2＝2，∴点P的坐标为(－ln2,2)．答案　(－ln2,2)9．(2014·盐城调研)若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________．解析　依题意知f′(x)＝12x2－2ax－2b，∴f′(1)＝0，即12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a>0，b>0，∴ab≤2＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号，∴ab的最大值为9.答案　910．已知函数f(x)＝alnx＋x在区间[2,3]上单调递增，则实数a的取值范围是________．解析　∵f(x)＝alnx＋x.∴f′(x)＝＋1.又∵f(x)在[2,3]上单调递增，∴＋1≥0在x∈[2,3]上恒成立，∴a≥(－x)max＝－2，∴a∈[－2，＋∞)．答案　[－2，＋∞)11．(2013·新课标全国Ⅰ卷)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值是________．解析　由题意知即解得a＝8，b＝15，所以f(x)＝(1－x2)(x2＋8x＋15)，则f′(x)＝－4(x＋2)(x2＋4x－1)．令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝－2－或x＝－2＋，当x<－2－时，f′(x)>0；当－2－－2＋时，f′(x)<0，所以当x＝－2－时，f(x)极大值＝16；当x＝－2＋时，f(x)极大值＝16，所以函数f(x)的最大值为16.答案　16三、解答题12．已知f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．解　(1)∵f(x)＝ex－ax－1(x∈R)，∴f′(x)＝ex－a.令f′(x)≥0，得ex≥a.当a≤0时，f′(x)>0在R上恒成立；当a>0时，有x≥lna.综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调增区间为(lna，＋∞)．(2)由(1)知f′(x)＝ex－a.∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，即a≤ex在R上恒成立．∵x∈R时，ex>0，∴a≤0，即a的取值范围是(－∞，0]．13．(2014·西安五校二次联考)已知函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2lnx，a∈R.(1)若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值；(2)求f(x)的单调区间．解　f′(x)＝ax－(2a＋1)＋(x>0)．(1)由题意得f′(1)＝f′(3)，解得a＝.(2)f′(x)＝(x>0)．①当a≤0时，x>0，ax－1<0.在区间(0,2)上，f′(x)>0；在区间(2，＋∞)上，f′(x)<0，故f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2，＋∞)．②当02.在区间(0,2)和上，f′(x)>0；在区间上，f′(x)<0.故f(x)的单调递增区间是(0,2)和，单调递减区间是.③当a＝时，f′(x)＝≥0，故f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)．④当a>时，0<<2，在区间和(2，＋∞)上，f′(x)>0；在区间上，f′(x)<0.故f(x)的单调递增区间是和(2，＋∞)，单调递减区间是.14．(2014·江西卷)已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)，其中a<0.(1)当a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值．解　(1)当a＝－4时，由f′(x)＝＝0得x＝或x＝2.由f′(x)>0得x∈或x∈(2，＋∞)，故函数f(x)的单调递增区间为和(2，＋∞)，(2)因为f′(x)＝，a<0，由f′(x)＝0得x＝－或x＝－.当x∈时，f(x)单调递增；当x∈时，f(x)单调递减；当x∈时，f(x)单调递增，易知f(x)＝(2x＋a)2≥0，且f＝0.①当－≤1，即－2≤a<0时，f(x)在[1,4]上的最小值为f(1)，由f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得a＝±2－2，均不符合题意．②当1<－≤4，即－8≤a<－2时，f(x)在[1,4]上的最小值为f＝0，不符合题意．③当－>4，即a<－8时，f(x)在[1,4]上的最小值可能在x＝1或x＝4上取得，而f(1)≠8，由f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8得a＝－10或a＝－6(舍去)，当a＝－10时，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意．综上有a＝－10.