高考文科数学二轮专题复习题《数学思想方法和常用的解题技》

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《数学思想方法和常用的解题技巧》巩固训练一、选择题1．若a>b>1，P＝，Q＝(lga＋lgb)，R＝lg，则(　　)．A．R0时，可作出y＝lnx，y＝x2－2x的图象如图所示．由图示可得函数f(x)＝lnx－x2＋2x(x>0)有两个零点．当x<0时，f(x)＝2x＋1有零点x＝－.综上，可得f(x)有3个零点．答案　D4．设01，故不能得到xsinx<1，所以“xsin2x<1”是“xsinx<1”的必要而不充分条件．答案　B5．函数y＝的图象大致为(　　)．解析　函数有意义，需使ex－e－x≠0，故得其定义域为{x|x∈R，且x≠0}，故排除C，D；又因为y＝＝＝1＋，所以，当x>0时，函数为减函数，故选A.答案　A6．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)的图象的一条对称轴方程是(　　)．A．x＝B．x＝C．x＝πD．x＝解析　由＝π，所以ω＝1，所以f(x)＝sin，代入验证可知使sin＝±1，只有x＝π，选C.答案　C7．已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是(　　)．A．(0,1)B．(0,1]C．(－∞，1)D．(－∞，1]解析　令m＝0，由f(x)＝0，得x＝，适合，排除A，B.令m＝1，由f(x)＝0，得x＝1；适合，排除C.答案　D8．已知三个互不重合的平面α，β，γ，α∩β＝m，n⊂γ，且直线m，n不重合，由下列三个条件：①m∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③m⊂γ，n∥β.能推得m∥n的条件是(　　)．A．①或②B．①或③C．只有②D．②或③解析　构建长方体模型，如图，观察选项特点，可优先判断条件②；取平面α为平面ADD′A′，平面β为平面ABCD，则直线m为直线AD.因m∥γ，故可取平面γ为平面A′B′C′D′，因为n⊂γ且n∥β，故可取直线n为直线A′B′.则直线AD与直线A′B′为异面直线，故m与n不平行．因此，可排除A，C，D，选B.答案　B9．若动点P，Q在椭圆9x2＋16y2＝144上，且满足OP⊥OQ，则中心O到弦PQ的距离OH必等于(　　)．A.B.C.D.解析　选一个特殊位置(如图)，令OP，OQ分别在长、短正半轴上，由a2＝16，b2＝9，得OP＝4，OQ＝3，则OH＝.根据“在一般情况下成立，则在特殊情况下也成立”可知，答案C正确．答案　C10．在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为(　　)．A．－5B．1C．2D．3解析　如图阴影部分即为满足x－1≤0与x＋y－1≥0的可行域．而直线ax－y＋1＝0恒过点(0,1)，故看作该直线绕点(0,1)旋转，当a＝－5时，则可行域不是一个封闭区域；当a＝1时，封闭区域的面积是1；当a＝2时，封闭区域的面积是；当a＝3时，封闭区域的面积恰好为2.答案　D11．同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线x＝对称；③在上是增函数”的一个函数是(　　)．A．y＝sinB．y＝cosC．y＝sinD．y＝cos解析　对于函数y＝sin的周期是4π，所以排除A；对于函数y＝cos的周期为π，而cos2×＋＝－1，故x＝是此函数的对称轴，但此函数在上不是增函数，所以排除B；对于函数y＝sin的周期为π，又sin＝1，故x＝是此函数的对称轴，又由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，知此函数在上是增函数，故选C.答案　C12．设0(ax)2的解集中的整数恰有3个，则(　　)．A．－10，解得x2b，不符合条件，从而排除A，B.取a＝4代入原不等式得15x2＋2bx－b2<0，解得－1，∴a>xlnx－x3，令g(x)＝xlnx－x3，h(x)＝g′(x)＝1＋lnx－3x2，h′(x)＝－6x＝，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0恒成立，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴h(x)－1.答案　(－1，＋∞)15．过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p，q，则＋为________．解析　若用常规方法，运算量很大，不妨设PQ∥x轴，则p＝q＝，∴＋＝4a.答案　4a16．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的命题：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)．其中正确命题的序号是________．解析　由f(x＋1)＝－f(x)，可得f(x＋2)＝f((x＋1)＋1)＝－f(x＋1)＝－(－f(x))＝f(x)，所以函数f(x)是周期函数，它的一个周期为2，所以命题①正确；由f(x＋1)＝－f(x)，令x＝－，可得f＝－f，而函数f(x)为偶函数，所以f＝－f＝－f，解得f＝0，故f＝0.根据函数f(x)在[－1,0]上为增函数及f＝0，作出函数f(x)在[－1,0]上的图象，然后根据f(x)为偶函数作出其在[0,1]上的图象，再根据函数的周期性把函数图象向两方无限延展，即得满足条件的一个函数图象，如图所示.由函数的图象显然可判断出命题②⑤正确，而函数f(x)在[0,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数，所以命题③④是错误的．综上，命题①②⑤是正确的．答案　①②⑤三、解答题17．设函数f(x)＝x－－alnx(a∈R)．(1)当a＝3时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)的单调性．解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝3时，f′(x)＝1＋－＝＝.令f′(x)＝0，解得x＝1或2.f′(x)与f(x)随x的变化如下表：x(0,1)1(1,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以f(x)在x＝1处取得极大值，f(1)＝－1；在x＝2处取得极小值，f(2)＝1－3ln2.(2)f′(x)＝1＋－＝，令g(x)＝x2－ax＋2，其判别式Δ＝a2－8，①当|a|≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a<－2时，Δ>0，g(x)＝0的两根都小于0，所以在(0，＋∞)上，f′(x)>0.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．③当a>2时，Δ>0，g(x)＝0的两根为x1＝，x2＝，且都大于0，f′(x)与f(x)随x的变化如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值故f(x)在，上单调递增，在上单调递减．综上，当a≤2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>2时，f(x)在，上单调递增，在上单调递减．18．已知各项均为正数的等差数列{an}的公差d不等于0.a1＝2，设a1，a3，a7是公比为q的等比数列{bn}的前三项．(1)求数列{anbn}的前n项和Tn；(2)将数列{an}中与{bn}中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{cn}，设其前n项和为Sn，求S2n－n－1－22n－1＋3·2n－1(n≥2，n∈N*)的值．解　因为a1，a3，a7成等比数列，{an}是公差d≠0的等差数列，所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，整理得a1＝2d.又a1＝2，所以d＝1，b1＝a1＝2，q＝＝＝＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋1，bn＝b1·qn－1＝2n，所以anbn＝(n＋1)·2n.(1)用错位相减法，可求得{anbn}的前n项和Tn＝n·2n＋1.(2)新的数列{cn}的前2n－n－1项和为数列{an}的前2n－1项和减去数列{bn}的前n项和，所以S2n－n－1＝－＝(2n－1)(2n－1－1)，所以S2n－n－1－22n－1＋3·2n－1＝1.19．已知函数f(x)＝x3－ax2＋(a2－1)x(a∈R)．(1)若x＝1为f(x)的极值点，求正数a的值，并求出f(x)在[0,4]上的最值；(2)若f(x)在区间(0,2)上不单调，求实数a的取值范围．解　(1)f′(x)＝x2－2ax＋a2－1，由题意，f′(1)＝0，即a2－2a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝2.当a＝2时，f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)，令f′(x)>0，解得x<1或x>3；令f′(x)<0，解得1b>0)的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线x＝a2上的射影依次为点D，K，E.(1)若抛物线x2＝4y的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；(2)连接AE，BD，证明：当m变化时，直线AE，BD相交于一定点．(1)解　由题意，易知b＝，椭圆C的右焦点F(1,0)，则c＝1，所以a＝2.故所求椭圆C的方程为＋＝1.(2)证明　由题意，知F(1,0)，K(a2,0)．先探索：当m＝0时，直线l⊥x轴，此时四边形ABED为矩形，由对称性，知AE，BD相交于FK的中点N.猜想：当m变化时，直线AE，BD相交于定点N.证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(a2，y1)，E(a2，y2)．首先证明当m变化时，直线AE过定点N.由消掉x，得(a2＋b2m2)y2＋2mb2y＋b2(1－a2)＝0.则Δ＝4a2b2(a2＋m2b2－1)>0(a>1)，且y1＋y2＝－，y1y2＝.又kAN＝，kEN＝，所以kAN－kEN＝－＝＝＝＝0.所以kAN＝kEN.所以A，E，N三点共线．同理可证B，D，N三点共线．所以当m变化时，直线AE，BD相交于定点N.