广州高三二模数学试题(数学理科)+参考答案

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试卷类型：A2010年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2010．4本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．选择题每小题选答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：如果事件A、B互斥，那么PABPAPB.如果事件A、B相互独立，那么PABPAPB.如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率nPkC1nkkknpp0,1,2,,kn.两数立方差公式:3322ababaabb.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i为虚数单位，若复数11aai为实数，则实数a的值为A．1B．0C．1D．不确定2.已知全集UAB中有m个元素，()()UUABðð中有n个元素．若ABI非空，则ABI的元素个数为A．mnB．mnC．mnD．nm3.已知向量asin,cosxx,向量b1,3,则ab的最大值为A.1B.3C.3D.9开始输入输出结束fxgxhxgxhxfx是否4.若,mn是互不相同的空间直线,是平面,则下列命题中正确的是A.若//,mnn,则//mB.若//,//mnn,则//mC.若//,mnn,则mD.若,mnn,则m5.在如图1所示的算法流程图,若32,xfxgxx,则2h的值为(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“”或“：=”)A.9B.8C.6D.46.已知点,Pxy的坐标满足10,30,2.xyxyxO为坐标原点,则PO的最小值为A.22B.322图1C.5D.137.已知函数sinfxxx,若12,,22xx且12fxfx,则下列不等式中正确的是A.12xxB.12xxC.120xxD.2212xx8.一个人以6米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时交通灯由红变绿,汽车开始作变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同),汽车在时刻t的速度为vtt米/秒,那么,此人A.可在7秒内追上汽车B.可在9秒内追上汽车C.不能追上汽车,但其间最近距离为14米D.不能追上汽车,但其间最近距离为7米二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．图3PBCDAO（一）必做题（9～13题）9．若函数coscos02fxxx的最小正周期为,则的值为.10.已知椭圆C的离心率32e,且它的焦点与双曲线2224xy的焦点重合,则椭圆C的方程为.11．甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量、，其分布列分别为：若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是.12.图2是一个有n层2n的六边形点阵.它的中心是一个点,算作第一层,第2层每边有2个点,第3层每边有3个点,…,第n层每边有n个点,则这个点阵的点数共有个.13.已知2nxx的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56︰3,则该展开式中2x的系数为.图2（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的参数方程为1,42.xtyt(参数tR),圆C的参数方程为2cos2,2sin.xy(参数0,2),则直线l被圆C所截得的弦长为.15.(几何证明选讲选做题)如图3,半径为5的圆O的两条弦AD和BC相交于点P,,ODBCP为AD的中点,012P0.30.50.26BC,则弦AD的长度为.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，16.（本小题满分12分）已知1tan2,tan42.(1)求tan的值;(2)求sin2sincos2sinsincos的值.DBCAEPBCA17.（本小题满分12分）如图4,在直角梯形ABCD中,90,30,1,ABCDABCABBCADCD,把△DAC沿对角线AC折起后如图5所示(点D记为点P),点P在平面ABC上的正投影E落在线段AB上,连接PB.(1)求直线PC与平面PAB所成的角的大小;(2)求二面角PACB的大小的余弦值.图4图518.（本小题满分14分）一射击运动员进行飞碟射击训练,每一次射击命中飞碟的概率p与运动员离飞碟的距离s(米)成反比,每一个飞碟飞出后离运动员的距离s(米)与飞行时间t(秒)满足15104stt,每个飞碟允许该运动员射击两次(若第一次射击命中,则不再进行第二次射击).该运动员在每一个飞碟飞出0.5秒时进行第一次射击,命中的概率为45,当第一次射击没有命中飞碟,则在第一次射击后0.5秒进行第二次射击,子弹的飞行时间忽略不计.(1)在第一个飞碟的射击训练时,若该运动员第一次射击没有命中,求他第二次射击命中飞碟的概率;(2)求第一个飞碟被该运动员命中的概率;(3)若该运动员进行三个飞碟的射击训练(每个飞碟是否被命中互不影响),求他至少命中两个飞碟的概率.19.（本小题满分14分）已知抛物线C:22xpy0p的焦点为F,A、B是抛物线C上异于坐标原点O的不同两点，抛物线C在点A、B处的切线分别为1l、2l，且12ll，1l与2l相交于点D.(1)求点D的纵坐标；(2)证明：A、B、F三点共线；(3)假设点D的坐标为3,12，问是否存在经过A、B两点且与1l、2l都相切的圆，若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分14分）已知函数32fxxxaxb(a,bR)的一个极值点为1x.方程20axxb的两个实根为,,函数fx在区间,上是单调的.(1)求a的值和b的取值范围;(2)若12,,xx,证明:121fxfx.21.（本小题满分14分）已知数列na和nb满足11ab,且对任意nN*都有1nnab,121nnnnabaa.(1)求数列na和nb的通项公式;(2)证明:31324122341123ln1nnnnaaaaaaaanbbbbbbbb.2010年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．题号12345678答案ACCCBBDD二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．9．110.22182xy11.乙12.2331nn13.18014．85515.25三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）(本小题主要考查两角和与差的三角公式等知识,考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)（1）解法1：∵tan24，∴tantan421tantan4.…2分∴1tan21tan.解得1tan3.…4分解法2：∵tan24，∴tantan44tantan441tantan44…2分2112113.…4分（2）解:sin2sincos2sinsincossincoscossin2sincos2sinsincoscossinsin…6分cossinsincoscoscossinsinsincos…8分tantantan1tantan…10分11231112317.…12分DBCA图5FEPBCA17.（本小题满分12分）(本小题主要考查空间线面关系、空间角等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)方法一:(1)解:在图4中,∵90,30,1,ABCDABCABBC∴13tan3033BCAB,121sin302BCAC,60DAC.∵ADCD,∴△DAC为等边三角形.∴2ADCDAC.…2分在图5中,∵点E为点P在平面ABC上的正投影,∴PE平面ABC.∵BC平面ABC,∴PEBC.∵90CBA,图4∴BCAB.∵,PEABEPE平面PAB,AB平面PAB,∴BC平面PAB.∴CPB为直线PC与平面PAB所成的角.…4分在Rt△CBP中,1,2BCPCDC,∴1sin2BCCPBPC.∵090CPB,∴30CPB.∴直线PC与平面PAB所成的角为30.…6分(2)解:取AC的中点F,连接PF,EF.∵PAPC,∴PFAC.∵PE平面ABC,AC平面ABC,∴PEAC.∵,PFPEPPF平面PEF,PE平面PEF,∴AC平面PEF.∵EF平面PEF,∴EFAC.∴PFE为二面角PACB的平面角.…8分在Rt△EFA中,11302AFAC,FAE,∴EFAFtan3033,22233AEEFAF.在Rt△PFA中,2222213PFPAAF.在Rt△PEF中，313cos33EFPFEPF.∴二面角PACB的大小的余弦值为13.…12分方法二:解:在图4中,∵90,30,1,ABCDABCABBC∴13tan3033BCAB,121sin302BCAC,60DAC.∵ADCD,∴△DAC为等边三角形.DBCA图5zyxECBAP∴2ADCDAC.…2分在图5中,∵点E为点P在平面ABC上的射影,∴PE平面ABC.∵BC平面ABC,∴PEBC.∵90CBA,图4∴BCAB.∵,PEABEPE平面PAB,AB平面PAB,∴BC平面PAB.…4分连接EC,在Rt△PEA和Rt△PEC中,2,PAPCPEPE,∴Rt△PEARt△PEC.∴EAEC.∴30ECAEAC.∴60CEB.在Rt△CBE中，13tan6033BCEB.∴233AEABEB.在Rt△PEA中，22PEPAAE263.…6分以点E为原点,EB所在直线为x轴,与BC平行的直线为y轴,EP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系Exyz,则0,0,0E,23,0,03A,3,0,03B,3,1,03C,260,0,3P.∴0,1,0BC,260,0,3EP,3,1,0AC,326,1,33PC.(1)∵cos,BCPCBCPCBCPC12,∴,30BCPC.∴直线PC与平面PAB所成的角为30.…9分(2)设平面PAC的法向量为n,,xyz,由0,0.nACnPC得30,326033xyxyz.令1x,得3y,22z.∴n21,3,2为平面PAC的一个法向量.∵260,0,3EP为平面ABC的一个法向量,∴cos,nEPnEPnEP13.∵二面角PACB的平面角为锐角,∴二面角PACB的平面角的余弦值为13.…12分18.（本小题满分14分）(本小题主要考查古典概型、二项分布等知识,考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)(1)解:依题意设(kpks为常数),由于15104stt,∴04151kptt.…2分当0.5t时,145p,则45150.51k,解得18k.∴1860415151pttt.…4分当1t时,263525p.∴该运动员第二次射击命中飞碟的概率为35.…6分(2)解:设“该运动员第一次射击命中飞碟”为事件A，“该运动员第二次射击命中飞碟”为事件B，则“第一个飞碟被该运动员命中”为事件：AAB.…7分∵43,55PAPB，∴PAABPAPAPB44323155525.∴第一个飞碟被该运动员命中的概率为2325.…10分(3)解:设该运动员进行三个飞碟的射击训练时命中飞碟的个数为,则23325B,.∴至少命中两个飞碟的概率为23PPP…12分C2231pp+C333p232322332525251534115625.…14分19.（本小题满分14分）(本小题主要考查直线、圆、抛物线、曲线的切线等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力)(1)解:设点A、B的坐标分别为11,xy、22,xy，∵1l、2l分别是抛物线C在点A、B处的切线，∴直线1l的斜率1\'11xxxkyp，直线2l的斜率2\'22xxxkyp.∵12ll,∴121kk,得212xxp.①…2分∵A、B是抛物线C上的点,∴221212,.22xxyypp∴直线1l的方程为21112xxyxxpp,直线2l的方程为22222xxyxxpp.由21112222,2,2xxyxxppxxyxxpp解得12,2.2xxxpy∴点D的纵坐标为2p.…4分(2)证法1：∵F为抛物线C的焦点，∴0,2pF.∴直线AF的斜率为21221111122202AFxppyxppkxxpx，直线BF的斜率为22222222222202BFxppyxppkxxpx.∵2222121222AFBFxpxpkkpxpx…6分22222112122xxpxxppxx2121212122xxxxpxxpxx221212122pxxpxxpxx0.∴AFBFkk.∴A、B、F三点共线.…8分证法2：∵F为抛物线C的焦点，∴0,2pF.∴2221111,,222xpxpAFxxpp，2222222,,222xpxpBFxxpp.∵221222112112222222122222pxpxxxxxppxpxxxxxp,…6分∴//AFBF.∴A、B、F三点共线.…8分lFOyxEDB1A1BA证法3：设线段AB的中点为E,则E的坐标为1212,22xxyy.抛物线C的准线为:2ply.作11,AAlBBl,垂足分别为11,AB.∵由(1)知点D的坐标为12,22xxp,∴DEl.∴DE是直角梯形11AABB的中位线.∴1112DEAABB.…6分根据抛物线的定义得:11,AAAFBBBF,∴111122DEAABBAFBF.∵ADDB,E为线段AB的中点,∴12DEAB.∴1122ABAFBF,即ABAFBF.∴A、B、F三点共线.…8分(3)解:不存在.证明如下：假设存在符合题意的圆，设该圆的圆心为M，依题意得,MAADMBBD，且MAMB，由12ll，得ADBD.∴四边形MADB是正方形.∴ADBD.…10分∵点D的坐标为3,12，∴12p,得2p.把点D3,12的坐标代入直线1l,得211131422xxx解得14x或11x,∴点A的坐标为4,4或11,4.同理可求得点B的坐标为4,4或11,4.由于A、B是抛物线C上的不同两点，不妨令11,4A,4,4B.∴2231125112416AD,22312544124BD.…13分∴ADBD,这与ADBD矛盾.∴经过A、B两点且与1l、2l都相切的圆不存在.…14分20.（本小题满分14分）(本小题主要考查函数和方程、函数导数、不等式等知识,考查函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力)(1)解:∵32fxxxaxb,∴\'232fxxxa.∵32fxxxaxb的一个极值点为1x,∴\'2131210fa.∴1a.…2分∴\'2321311fxxxxx,当13x时,\'0fx;当113x时,\'0fx;当1x时,\'0fx;∴函数fx在1,3上单调递增,在1,13上单调递减,在1,上单调递增.∵方程20axxb的两个实根为,,即20xxb的两根为,,∴114114,22bb.∴1,b,14b.…4分∵函数fx在区间,上是单调的,∴区间,只能是区间1,3,1,13,1,之一的子区间.由于1,,故1,,13.若0,则1,与1矛盾.∴,0,1.∴方程20xxb的两根,都在区间0,1上.…6分令2gxxxb,gx的对称轴为10,12x,则00,10,140.gbgbb解得104b.∴实数b的取值范围为1,04.…8分说明:6分至8分的得分点也可以用下面的方法.∵11411141,2222bb且函数fx在区间,上是单调的,∴1,,13.由1,31,140.b即1141,231141,2140.bbb…6分解得104b.∴实数b的取值范围为1,04.…8分(2)证明:由(1)可知函数fx在区间,上单调递减,∴函数fx在区间,上的最大值为f,最小值为f.∵12,,xx,∴12fxfxff3232bb332221141bb141bb.…10分令14tb,则2114bt,141bb3154tt.设3154httt,则\'21534htt.∵104b,∴01t.∴\'21534htt0.∴函数3154httt在0,1上单调递增.…12分∴11hth.∴121fxfx.…14分21.（本小题满分14分）(本小题主要考查导数及其应用、数列、不等式等知识,考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)(1)解:∵对任意nN*都有1nnab,121nnnnabaa,∴12211111nnnnnnnabaaaaa.∴1111nnaa,即1111nnaa.…2分∴数列1na是首项为11a,公差为1的等差数列.∵11ab,且111ab,∴11ab12.∴1211nnna.…4分∴11nan,11nnnban.…6分(2)证明:∵11nan,1nnbn,∴1nnabn.∴所证不等式31324122341123ln1nnnnaaaaaaaanbbbbbbbb,即1111111ln11234123nnn.①先证右边不等式:111ln1123nn.令ln1fxxx,则\'1111xfxxx.当0x时,\'0fx,所以函数fx在0,上单调递减.∴当0x时,00fxf,即ln1xx.…8分分别取1111,,,,23xn.得111111ln11ln1ln1ln112323nn.即111111ln1111112323nn.也即341111ln212323nnn.即111ln1123nn.…10分②再证左边不等式:1111ln12341nn.令ln11xfxxx,则\'2211111xfxxxx.当0x时,\'0fx,所以函数fx在0,上单调递增.∴当0x时,00fxf,即ln11xxx.…12分分别取1111,,,,23xn.得111111ln11ln1ln1ln123231nn.即111ln1111123n111231n.也即341111ln223231nnn.即111ln1231nn.∴31324122341123ln1nnnnaaaaaaaanbbbbbbbb.…14分