江苏省2012届高三数学综合检测卷+答案

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◎试卷使用说明1、此试卷完全按照2012年江苏高考数学考试说明命题，无超纲内容。2、此试卷成绩基本可以反映高考时的数学成绩，上下浮动15分左右。3、若此试卷达120分以上，高考基本可以保底120分；若达85分，只要在下一个阶段继续努力高考可以达96分。4、此试卷不含理科加试内容。5、如需要更多内部资料请以下方式联系！联系方式：邮箱：13770344566@126.com手机：13770344566江苏省2012届高三数学综合检测卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．复数2+ii在复平面上对应的点在第象限．2．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是．3．已知集合{|5}Axx，集合{|}Bxxa，若命题“xA”是命题“xB”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．4．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，BC=2，AC=5，AA1=3，M为线段BB1上的一动点，则当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为．（第4题）．2n1nn结束输出SSSn否是开始江苏省南通市输入0S第6题图5．集合2{3,log},{,},AaBab若{2},AB则AB．6．阅读如图所示的程序框，若输入的n是100，则输出的变量S的值是．7．向量(cos10,sin10),(cos70,sin70)ab，2ab=．8．方程lg(2)1xx有个不同的实数根．9．设等差数列na的前n项和为nS,若1≤5a≤4，2≤6a≤3，则6S的取值范围是．10．过双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点(,0)(0)Fcc，作圆：2224axy的切线，切点为E，直线FE交双曲线右支于点P，若1()2OEOFOP，则双曲线的离心率为．11．若函数2ln2fxmxxx在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是．12．如果圆22()()4xaya上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是．13．已知实数,xy满足13xxyy，则xy的最大值为．14．当n为正整数时，函数()Nn表示n的最大奇因数,如(3)3,(10)5,NN,设(1)(2)(3)(4)...(21)(2)nnnSNNNNNN,则nS．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知3cos24C.（1）求sinC；（2）当2ca，且37b时，求a.16．（本题满分14分）如图,ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，DEAF//，AFDE3，A\'ACNMBBE与平面ABCD所成角为060.(1)求证：AC平面BDE；（2）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得//AM平面BEF，并证明你的结论.17．（本题满分14分）已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l：2x．⑴求椭圆的标准方程；⑵设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值．18．（本题满分16分）如图，直角三角形ABC中，∠B＝90，AB＝1，BC＝3．点M,N分别在边AB和AC上(M点和B点不重合)，将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△AMN，使顶点A落在边BC上(A点和B点不重合).设∠AMN＝．(1)用表示线段AM的长度，并写出的取值范围；(2)求线段AN长度的最小值．19．（本题满分16分）已知kR,函数()(01,01)xxfxmknmn.(1)如果实数,mn满足1,1mmn,函数()fx是否具有奇偶性？如果有,求出相应的kABCDFE值,如果没有，说明为什么?(2)如果10,mn判断函数()fx的单调性；(3)如果2m，12n，且0k，求函数()yfx的对称轴或对称中心.20．（本题满分16分）已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝c，2Sn＝anan＋1＋r．（1）若r＝－6，数列{an}能否成为等差数列？若能，求c满足的条件；若不能，请说明理由．（2）设32111234212nnnnaaaPaaaaaa，2242345221nnnnaaaQaaaaaa，若r＞c＞4，求证：对于一切n∈N*，不等式2nnnPQnn恒成立．1.四2.63.5a4.35.{2,3,4}6.50497.38.29.12,4210.10211.12m≥12.3223(2,)(,2)222213.414.423n二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知3cos24C.（1）求sinC；（2）当2ca，且37b时，求a.解：（1）由已知可得2312sin4C.所以27sin8C.………………2分因为在ABC中，sin0C，所以14sin4C.………………………………4分（2）因为2ca，所以114sinsin28AC.………………………………6分因为ABC是锐角三角形，所以2cos4C，52cos8A.………………8分所以sinsin()BACsincoscossinACAC14252148484378.11分由正弦定理可得：37sinsinaBA，所以14a.…………………………………………14分说明:用余弦定理也同样给分.16．（本题满分14分）如图,ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，DEAF//，AFDE3.(1)求证：AC平面BDE；（2）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得//AM平面BEF，并证明你的结论.16.(1)证明：因为DE平面ABCD，所以ACDE.……………………2分因为ABCD是正方形，所以BDAC，因为DEBDD………………4分从而AC平面BDE.……………………6分（2）当M是BD的一个三等分点，即3BM＝BD时，AM∥平面BEF．…………7分取BE上的三等分点N，使3BN＝BE，连结MN，NF，则DE∥MN，且DE＝3MN，因为AF∥DE，且DE＝3AF，所以AF∥MN，且AF＝MN，故四边形AMNF是平行四边形．……………………………………10分所以AM∥FN，因为AM平面BEF，FN平面BEF，…………………………………………12分所以AM∥平面BEF．…………………………………………14分17．（本题满分14分）已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l：2x．⑴求椭圆的标准方程；⑵设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值．解：⑴∵椭圆C的短轴长为2，椭圆C的一条准线为l：2x，∴不妨设椭圆C的方程为2221xya．（2分）∴2212accc，（4分）即1c．（5分）∴椭圆C的方程为2212xy．（6分）⑵F（1，0），右准线为l：2x，设00(,)Nxy，则直线FN的斜率为001FNykx，直线ON的斜率为00ONykx，（8分）ABCDFEA\'CNMAB∵FN⊥OM，∴直线OM的斜率为001OMxky，（9分）∴直线OM的方程为：001xyxy，点M的坐标为002(1)(2,)xMy．（11分）∴直线MN的斜率为00002(1)2MNxyykx．（12分）∵MN⊥ON，∴1MNONkk，∴0000002(1)12xyyyxx，∴200002(1)(2)0yxxx，即22002xy．（13分）∴2ON为定值．（14分）说明:若学生用平面几何知识（圆幂定理或相似形均可）也得分，设垂足为P，准线l与x轴交于Q，则有2ONOPOM=g，又2OPOMOFOQ==gg，所以2ON=为定值．18．（本题满分16分）如图，直角三角形ABC中，∠B＝90，AB＝1，BC＝3．点M,N分别在边AB和AC上(M点和B点不重合)，将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△AMN，使顶点A落在边BC上(A点和B点不重合).设∠AMN＝．(1)用表示线段AM的长度，并写出的取值范围；(2)求线段AN长度的最小值．解：（1）设MAMAx，则1MBx．（2分）在Rt△MBA中，1cos(1802)xx，（4分）∴2111cos22sinMAx．（5分）∵点M在线段AB上，M点和B点不重合，A点和B点不重合，∴4590．（7分）（2）在△AMN中，∠ANM＝120,（8分）sinsin(120)ANMA,（9分）21sin2sinsin(120)AN＝12sinsin(120)．（10分）令132sinsin(120)2sin(sincos)22t＝2sin3sincos＝1311sin2cos2sin(230)2222．（13分）∵4590，∴60230150．（14分）当且仅当23090，60时，t有最大值32，（15分）∴60时，AN有最小值23．（16分）19．（本题满分16分）已知kR,函数()(01,01)xxfxmknmn.(1)如果实数,mn满足1,1mmn,函数()fx是否具有奇偶性？如果有，求出相应的k值；如果没有，说明为什么?(2)如果10,mn判断函数()fx的单调性；(3)如果2m，12n，且0k，求函数()yfx的对称轴或对称中心.解：（1）如果()fx为偶函数，则()(),fxfxxxxxmknmkn恒成立，（1分）即：,xxxxnkmmkn()()0,xxxxnmkmn()(1)0xxnmk（2分）由0xxnm不恒成立，得1.k（3分）如果()fx为奇函数，则()(),fxfxxxxxmknmkn恒成立，（4分）即：,xxxxnkmmkn()()0,xxxxnmkmn（5分）()(1)0,xxnmk由0xxnm恒成立，得1.k（6分）（2）10,mn1mn，∴当0k时,显然()xxfxmkn在R上为增函数；（8分）当0k时，()lnln[()lnln)]0xxxxmfxmmknnmknnn，由0,xn得()lnln0,xmmknn得ln()log,lnxmmnkknnm得log(log)mmnxkn.（9分）∴当(,log(log)]mmnxkn时,()0fx,()fx为减函数;（10分）当[log(log),)mmnxkn时,()0fx,()fx为增函数.（11分）(3)当12,2mn时，()22,xxfxk如果0,k22log()log()()222()222222kkxxxxxxxxfxkk，（13分）则2(log())(),fkxfx∴函数()yfx有对称中心21(log(),0).2k（14分）如果0,k22loglog()2222222,kkxxxxxxfxk（15分）则2(log)(),fkxfx∴函数()yfx有对称轴21log2xk.（16分）20．（本题满分16分）已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝c，2Sn＝anan＋1＋r．（1）若r＝－6，数列{an}能否成为等差数列？若能，求c满足的条件；若不能，请说明理由．（2）设32111234212nnnnaaaPaaaaaa，2242345221nnnnaaaQaaaaaa，若r＞c＞4，求证：对于一切n∈N*，不等式2nnnPQnn恒成立．解：（1）n＝1时，2a1＝a1a2＋r，∵a1＝c≠0，∴2c＝ca2＋r，22rac．（1分）n≥2时，2Sn＝anan＋1＋r，①2Sn－1＝an－1an＋r，②①－②，得2an＝an(an＋1－an－1)．∵an≠0，∴an＋1－an－1＝2．（3分）则a1，a3，a5，…，a2n－1，…成公差为2的等差数列，a2n－1＝a1＋2(n－1)．a2，a4，a6，…，a2n，…成公差为2的等差数列，a2n＝a2＋2(n－1)．要使{an}为等差数列，当且仅当a2－a1＝1．即21rcc．r＝c－c2．（4分）∵r＝－6，∴c2－c－6＝0，c＝－2或3．∵当c＝－2，30a，不合题意，舍去.∴当且仅当3c时，数列{}na为等差数列（5分）（2）212nnaa＝[a1＋2(n－1)]－[a2＋2(n－1)]＝a1－a2＝rcc－2．221nnaa＝[a2＋2(n－1)]－（a1＋2n）＝a2－a1－2＝－(rcc)．（8分）∴nP11(1)1[2](1)222nnnanncrrcccc（9分）21(1)1[2](1)2nnnrQnannrrccccc．（10分）11(1)(1)2nnrPQnncnnrrccccc＝2111122rccnnrrrrcccccccc．（11分）∵r＞c＞4，∴2rcrc≥＞4，∴2rcc＞2．∴0＜111132442rrcccc＜1．（13分）且1111122rccccrrrrcccccccc＞－1．（14分）又∵r＞c＞4，∴1rc，则0＜12rccc．01rccc．∴12crcc＜1．11crcc．∴1112ccrrcccc＜1．（15分）∴对于一切n∈N*，不等式2nnnPQnn恒成立．（16分）