江苏省南通市2012届高三数学试卷+参考答案

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江苏省南通市2012届高三数学模拟试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸的相应位置上．1．若复数z满足(3)4izi（i是虚数单位），则z=▲．2．已知集合A={x|6x+a>0}，若1A，则实数a的取值范围是▲．3．命题p：函数y=tanx在R上单调递增，命题q：△ABC中，∠A>∠B是sinA>sinB的充要条件，则p∨q是▲命题．（填“真”“假”）4．某地区为了解中学生的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了n位中学生进行调查，根据所数据画出样本的频率分布直方图如图所示，且从左到右的第1个、第4个、第2个、第3个小长方形的面积依次构成公差为0.1的等差数列，又第一小组的频数是10，则n▲．5．把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，则方程组3,22.axbyxy只有一个解的概率为▲．6．如果2(tan)sin5sincosfxxxx，那么(5)f=▲．7.已知双曲线1922myx的一个焦点在圆05422xyx上，则双曲线的渐近线方程为▲．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．8．程序框图如下，若恰好经过6次循环输出结果，则a=▲．9．将函数y＝sin（2x＋56）的图象向左平移至少▲个单位，可得一个偶函数的图象．10.已知直线l平面，直线m平面，给出下列命题：①若//，则lm；　　②若，则//lm；③若//lm，则；　　④若lm，则//.其中正确命题的序号是▲．11．某资料室在计算机使用中，产生如右表所示的编码，该编码以一定的规则排列，且从左至右以及从上到下都是无限的．此表中，主对角线上数列1，2，5，10，17，…的一个通项公式na=▲．12.在ABC中，A（1，1），B（4，5），C（—1，1），则与角A的平分线共线且方向相同的单位向量为▲．13.已知函数f(x)满足f(1)=41，f(x)+f(y)=4f(2yx)f(2yx)(x,y∈R)，则f(—2011)=▲．14.已知二次函数2(),fxxxkkZ，若函数2)()(xfxg在31,2上有两个不同的零点，则)(2)]([2xfxf的最小值为▲．111111…123456…1357911…147101316…159131721…1611162126……………………Y结束开始输出TN二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本题满分14分)已知ABC的面积S满足443S，且ABAC=—8．（Ⅰ）求角A的取值范围；（Ⅱ）若函数22cos2sin33sincos4444()xxxxfx，求()fA的最大值．16．(本题满分14分)如图，把长、宽分别为4、3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角．（Ⅰ）求顶点B和D之间的距离；（Ⅱ）现发现BC边上距点C的31处有一缺口E，请过点E作一截面，将原三棱锥分割成一个三棱锥和一个棱台两部分，为使截去部分体积最小，如何作法？请证明你的结论．17．(本题满分15分)如图，已知：椭圆M的中心为O，长轴的两个端点为A、B，右焦点为F，AF=5BF．若椭圆M经过点C，C在AB上的射影为F，且△ABC的面积为5．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）已知圆O：22+xy=1，直线:lmxny=1，试证明：当点P(m，n)在椭圆M上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O截得的弦长的取值范围．ABCDE.ACBE.DxOFAF1BCy18．(本题满分15分)各项均为正数的等比数列}{na，a1=1，2a4a=16，单调增数列}{nb的前n项和为nS，43ab，且2632nnnSbb（*Nn）．（Ⅰ）求数列}{na、}{nb的通项公式；（Ⅱ）令nnnbca（*Nn），求使得1nc的所有n的值，并说明理由．(Ⅲ)证明}{na中任意三项不可能构成等差数列．19．(本题满分16分)由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量()Pt（单位：吨）与上市时间t（单位：月）的关系大致如图（1）所示的折线ABCDE表示，销售价格()Qt（单位：元／千克）与上市时间t（单位：月）的大致关系如图（2）所示的抛物线段GHR表示（H为顶点）．（Ⅰ）请分别写出()Pt,()Qt关于t的函数关系式，并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份？（Ⅱ）图（1）中由四条线段所在直线围成的平面区域为M，动点(,)Pxy在M内（包括边界），求5zxy的最大值；(Ⅲ)由（Ⅱ），将动点(,)Pxy所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算（如1233xy类比为2313xy），试列出(,)Pxy所满足的条件，并求出相应的最大值．（图1）（图2）20．(本题满分16分)如果实数x，y，t满足|x—t|≤|y—t|，则称x比y接近t．（Ⅰ）设a为实数，若a|a|比a更接近1，求a的取值范围；（Ⅱ）f(x)=ln11xx，证明：2()nkfk比222(1)nnnn更接近0（k∈Z）．数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21．【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1　几何证明选讲已知ABC中，ACAB,D是ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点CA,重合），延长BD至E.求证：AD的延长线平分CDE.B．选修4—2　矩阵与变换已知矩阵41baA，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1＝13，属于特征值5的一个特征向量为α2=11．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．C．选修4—4　参数方程与极坐标已知圆C的参数方程为为参数sin23,cos21yx，若P是圆C与x轴正半轴的交点，以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为l，求直线l的极坐标方程．D．选修4—5　不等式证明选讲设cba,,均为正数，证明：cbaaccbba222.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.已知一口袋中共有4只白球和2只红球（1）从口袋中一次任取4只球，取到一只白球得1分，取到一只红球得2分，设得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）从口袋中每次取一球，取后放回，直到连续出现两次白球就停止取球，求6次取球后恰好被停止的概率．23.在平面直角坐标系xoy中，已知焦点为F的抛物线yx42上有两个动点A、B，且满足FBAF,过A、B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为Ｍ．（1）求：OAOB的值；（2）证明：ABFM为定值．参考答案一、填空题1.—1+3i2.(,6]3.真4.1005.11126.07.xy3228.29.310.①③11.(n—1)2+112.)552,55(13.1414.2881二、解答题15.（Ⅰ）∵ABAC=—8，∴||||cosABACABACA=—8，∴||||ABAC=8cosA①∵|1|||sin2BAACSA②将①代入②得4tanSA，由443S，得3tan1A，又(0,)A，∴23,34A.（Ⅱ）22()cos2sin33sincos4444AAAAfA=133(1cos)(1cos)sin22222AAA=3331sincos22222AA=3113(sincos)22222AA=13(sincoscossin)26262AA=13sin()262A，当262A，即A32时，sin()26A取得最大值，同时，()fA取得最大值52．16.（Ⅰ）ACDODACDBOACACDABCABCBO面面面面面面面ACDABCO垂足为AC,⊥BO中作ABC在BOOD由已知BO=512,OD=5193在Rt△BOD中,BD=5337.（Ⅱ）方案(一)过E作EF//AC交AB于F,EG//CD,交BD于G,EEGEFACD面EG//同理////ACDEFACDACACDEFACEF面面面,平面EFG//平面ACD原三棱锥被分成三棱锥B-EFG和三棱台EFG-CAD两部分,此时278)32(3ACDBEFGBVV.方案(二)过E作EP//BD交CD于P,EQ//AB,交AC于Q,同(一)可证平面EPQ//平面ABD,原三棱锥被分割成三棱锥C-EPQ和三棱台EPQ-BDA两部分,此时271)31(3BDACEPQCVV,为使截去部分体积最小,故选用方案(二).17.（Ⅰ）由题意设椭圆方程为22221xyab，半焦距为c，ABCDE.由AF=5BF，且AF=a+c,BF=a—c，∴a+c=5（a-c），得2a=3c.（1）由题意CF⊥AB，设点C坐标（c，y），C在M上，代入得22222222()(1)cacybaa∴22acya．由△ABC的面积为5，得221252acaa，22ac=5.（2）解（1）（2）得a=3，c=2.∴222bac=9—4=5．∴所求椭圆M的方程为：22195xy．(Ⅱ)圆O到直线:lmxny=1距离d=221mn，由点P(m,n)在椭圆M上，则22195mn，显然22mn2295mn，∴22mn1，22mn>1,∴d=221mn<1，而圆O的半径为1，直线l与圆O恒相交．弦长t=221d=22211mn,由22195mn得225(1)9mn，∴22219445mnm,t=2291445m,||ma∵，∴209m，24544581m，∴2498154459m，弦长t的取值范围是[4542,53]．18．（Ⅰ）∵2a4a=244116aqq，2q=4，∵0na，∴q=2，　∴12nna∴b3=4a＝8.∵263nnnSbb+2　①当n≥2时，211163nnnSbb+2②①-②得2211633nnnnnbbbbb即111()()3()nnnnnnbbbbbb∵0nb∴1nnbb=3，∴}{nb是公差为3的等差数列．当n＝1时，211163bbb+2，解得1b=1或1b=2，当1b=1时，32nbn，此时3b=7，与83b矛盾；当31b时31nbn，此时此时3b=8=4a，∴31nbn．　（Ⅱ）∵31nbn，∴nnnbca＝1312nn，∴1c=2>1，2c=52＞1，3c=2>1,4118c>1，578c<1，下面证明当n≥5时，1nc事实上，当n≥5时，11323122nnnnnncc＝432nn＜0即1nncc，∵578c<1∴当n≥5时，1nC，故满足条件1nC的所有n的值为1，2，3，4．(Ⅲ)假设}{na中存在三项p,q,r(p

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