广州市高三二模数学(文科)试题+参考答案

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开始输入输出结束fxgxhxgxhxfx是否试卷类型：A2010年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2010．4本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集1,2,3,4,5U，集合2,3,4A，2,5B，则()UBAð=A.5B.125，，C.12345，，，，D.2.已知i为虚数单位，若复数211aai为实数，则实数a的值为A．1B．0C．1D．1或13.在长为3m的线段AB上任取一点P,则点P与线段两端点A、B的距离都大于1m的概率是A.14B.13C.12D.234.如图1的算法流程图,若32,xfxgxx,则2h的值为(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“”或“：=”)A.9B.8C.6D.4图15.命题“若,xy都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是A．若xy是偶数，则x与y不都是偶数B．若xy是偶数，则x与y都不是偶数C．若xy不是偶数，则x与y不都是偶数D．若xy不是偶数，则x与y都不是偶数6.设变量,xy满足约束条件2,,2.xyxxy则目标函数2zxy的最小值为A.6B.4C.3D.27.若0x且1xxab,则下列不等式成立的是A.01baB.01abC.1baD.1ab8.函数cossin44fxxx12是A.最小正周期为2的偶函数B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为2的奇函数D.最小正周期为的奇函数9.高8m和4m的两根旗杆笔直地竖在水平地面上,且相距10m,则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线10.已知函数sinfxxx,若12,,22xx且120fxfx,则下列不等式中正确的是A.12xxB.12xxC.120xxD.120xx二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11．已知向量a,b满足1a,b=2,ab1,则a与b的夹角大小是.12.已知双曲线C:2222100xya,bab的离心率2e,且它的一个顶点到相应焦点的距离为1,则双曲线C的方程为.13.图2是一个有n层2n的六边形点阵.它的中心是一个点,算作第一层,第2层每边有2个点,第3层每边有3个点,…,第n层每边有n个点,图3PBCDAO则这个点阵的点数共有个.图2（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的参数方程为1,42.xtyt(参数tR),圆C的参数方程为2cos2,2sin.xy(参数0,2),则直线l被圆C所截得的弦长为.15.(几何证明选讲选做题)如图3,半径为5的圆O的两条弦AD和BC相交于点P,,ODBCP为AD的中点,6BC,则弦AD的长度为.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，16.（本小题满分12分）已知51sin,0,,tan523.(1)求tan的值;(2)求tan2的值.NMB1C1D1A1DCBA17.（本小题满分12分）某学校课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（满分100分）如下表所示：若单科成绩85分以上（含85分），则该科成绩为优秀．（1）根据上表完成下面的2×2列联表(单位:人)：数学成绩优秀数学成绩不优秀合计物理成绩优秀物理成绩不优秀合计20（2）根据题（1）中表格的数据计算，有多大的把握，认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系？（3）若从这20个人中抽出1人来了解有关情况，求抽到的学生数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的概率.参考数据:①假设有两个分类变量X和Y,它们的值域分别为12,xx和12,yy,其样本频数列联表(称为22列联表)为:则随机变量22nadbcKabcdacbd,其中nabcd为样本容量；②独立检验随机变量2K的临界值参考表：18.（本小题满分14分）在长方体1111ABCDABCD中,11,2ABBCAA,序号1234567891011121314151617181920数学成绩9575809492656784987167936478779057837283物理成绩90637287917158829381778248856991618478861y2y合计1xabab2xcdcd合计acbdabcd20PKk0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828点M是BC的中点,点N是1AA的中点.(1)求证://MN平面1ACD;(2)过,,NCD三点的平面把长方体1111ABCDABCD截成两部分几何体,求所截成的两部分几何体的体积的比值.19.（本小题满分14分）我国是水资源比较贫乏的国家之一,各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的.某市用水收费标准是：水费基本费超额费定额损耗费,且有如下三条规定：①若每月用水量不超过最低限量m立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费a元；②若每月用水量超过m立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付n元的超额费；③每户每月的定额损耗费a不超过5元.(1)求每户每月水费y（元）与月用水量x（立方米）的函数关系；(2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：月份用水量（立方米）水费（元）一417二523三2.511试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求m,n,a的值.20.（本小题满分14分）已知椭圆22122:1(0)xyCabab的右焦点2F与抛物线22:4Cyx的焦点重合，椭圆1C与抛物线2C在第一象限的交点为P，25||3PF.圆3C的圆心T是抛物线2C上的动点,圆3C与y轴交于,MN两点，且||4MN.（1）求椭圆1C的方程；（2）证明:无论点T运动到何处,圆3C恒经过椭圆1C上一定点.21.（本小题满分14分）已知数列na和nb满足11ab,且对任意nN*都有1nnab,121nnnnabaa.(1)判断数列1na是否为等差数列,并说明理由;(2)证明:111nnnnab.2010年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．题号12345678910答案BABBCCBDAC二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11．312.2213yx13.2331nn14.85515.25三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）(本小题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的正切等知识,考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)(1)解:∵5sin,0,,52∴2125cos1sin155.…2分∴5sin15tancos2255.…4分(2)解法1:∵1tan3,∴22tantan21tan…6分212311334.…8分∴tantan2tan21tantan2…10分1324131242.…12分解法2:∵1tan3,∴tantantan1tantan…6分1123111231.…8分∴tantantan21tantan…10分11311132.…12分17．（本小题满分12分）PNMB1C1D1A1DCBA(本小题主要考查独立性检验的基本思想、方法及其简单应用和概率等知识,考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)（1）解：2×2列联表为(单位:人):…4分（2）解：提出假设0H：学生数学成绩与物理成绩之间没有关系.根据列联表可以求得22121214720(5)8.8027.879136K.…6分当0H成立时，2(7.879)0.005PK.所以我们有99.5%的把握认为：学生的数学成绩与物理成绩之间有关系.…8分（3）解：由(1)可知数学成绩与物理成绩都优秀的学生的人数为5人，则数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的学生人数为15人.…10分故从20名学生中抽出1名,抽到的学生数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的概率为153204.…12分18.（本小题满分14分）(本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)（1）证法1：设点P为AD的中点，连接,MPNP.∵点M是BC的中点,∴//MPCD.∵CD平面1ACD,MP平面1ACD,∴//MP平面1ACD.…2分∵点N是1AA的中点,∴1//NPAD.∵1AD平面1ACD,NP平面1ACD,∴//NP平面1ACD.…4分∵MPNPP,MP平面MNP,NP平面MNP,数学成绩优秀数学成绩不优秀合计物理成绩优秀527物理成绩不优秀11213合计61420PNMB1C1D1A1DCBAQNMB1C1D1A1DCBA∴平面//MNP平面1ACD.∵MN平面MNP,∴//MN平面1ACD.…6分证法2:连接AM并延长AM与DC的延长线交于点P,连接1AP,∵点M是BC的中点,∴BMMC.∵BMACMP,90MBAMCP,∴RtMBARtMCP.…2分∴AMMP.∵点N是1AA的中点,∴1MN//AP.…4分∵1AP平面1ACD,MN平面1ACD,∴//MN平面1ACD.…6分(2)解:取1BB的中点Q,连接NQ,CQ,∵点N是1AA的中点,∴//NQAB.∵//ABCD,∴//NQCD.∴过,,NCD三点的平面NQCD把长方体1111ABCDABCD截成两部分几何体,其中一部分几何体为直三棱柱QBCNAD,另一部分几何体为直四棱柱1111BQCCANDD.…8分∴11111222QBCSQBBC,∴直三棱柱QBCNAD的体积112QBCVSAB,…10分∵长方体1111ABCDABCD的体积112V2,∴直四棱柱1111BQCCANDD体积2132VVV.…12分∴12VV123213.∴所截成的两部分几何体的体积的比值为13.…14分(说明:213VV也给分)19．（本小题满分14分）(本小题主要考查函数和方程、分段函数等知识,考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)（1）解：依题意，得909a,xm,ynxma,xm.其中05a.…2分（2）解：∵05a，∴9914a.由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m立方米.…4分将417x,y和523x,y分别代入，得1794,2395.nmanma…6分两式相减,得6n.代入1794nma,得616am.…8分又三月份用水量为2.5立方米，若25m.，将2511x.,y代入，得613am，这与616am矛盾.…10分∴25m.，即该家庭三月份用水量2.5立方米没有超最低限量.将2.5,11xy代入，得119a，由616119am,a.解得23a,m.…13分答：该家庭今年一、二月份用水超过最低限量，三月份用水没有超过最低限量，且362m,n,a.…14分20．（本小题满分14分）(本小题主要考查直线、圆、抛物线、椭圆等知识,考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解法1：∵抛物线22:4Cyx的焦点坐标为(1,0)，…1分∴点2F的坐标为(1,0).∴椭圆1C的左焦点1F的坐标为1(1,0)F，抛物线2C的准线方程为1x.设点P的坐标为11(,)xy，由抛物线的定义可知211PFx,∵253PF,∴1513x，解得123x.由211843yx，且10y,得1263y.∴点P的坐标为22633,.…3分在椭圆1C:22221(0)xyabab中，1c.22221222222||||(1)(60)(1)(60)43333aPFPF.∴222,3abac.∴椭圆1C的方程为22143xy.…6分解法2：∵抛物线22:4Cyx的焦点坐标为(1,0)，…1分∴点2F的坐标为(1,0).∴抛物线2C的准线方程为1x.设点P的坐标为11(,)xy，由抛物线的定义可知211PFx,∵253PF,∴1513x，解得123x.由211843yx，且10y得1263y.∴点P的坐标为22(,6)33.…3分在椭圆1C:22221(0)xyabab中，1c.由222221424199c,abc,.ab解得2,3ab.∴椭圆1C的方程为22143xy.…6分（2）证法1:设点T的坐标为00(,)xy,圆3C的半径为r，∵圆3C与y轴交于,MN两点，且||4MN,∴220||24MNrx.∴204rx.∴圆3C的方程为222000()()4xxyyx.…8分∵点T是抛物线22:4Cyx上的动点,∴2004yx(00x).∴20014xy.把20014xy代入消去0x整理得:22200(1)2()024xyyyxy.…10分方程对任意实数0y恒成立，∴2210,220,40.xyxy解得2,0.xy…12分∵点(2,0)在椭圆1C:22143xy上,∴无论点T运动到何处,圆3C恒经过椭圆1C上一定点2,0.…14分证法2:设点T的坐标为00(,)xy,圆3C的半径为r，∵点T是抛物线22:4Cyx上的动点,∴2004yx(00x).…7分∵圆3C与y轴交于,MN两点，且||4MN,∴220||24MNrx.∴204rx.∴圆3C的方程为222000()()4xxyyx.…9分令00x,则2004yx0,得00y.此时圆3C的方程为224xy.…10分由22224,1,43xyxy解得2,0.xy∴圆3C:224xy与椭圆1C的两个交点为2,0、2,0.…12分分别把点2,0、2,0代入方程进行检验，可知点2,0恒符合方程，点2,0不恒符合方程.∴无论点T运动到何处,圆3C恒经过椭圆1C上一定点2,0.…14分21．（本小题满分14分）(本小题主要考查导数及其应用、数列、不等式等知识,考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)(1)解:数列1na为等差数列.…1分理由如下:∵对任意nN*都有1nnab,121nnnnabaa,∴12211111nnnnnnnabaaaaa.∴1111nnaa,即1111nnaa.…3分∴数列1na是首项为11a,公差为1的等差数列.…4分(2)证明:∵11ab,且111ab,∴11ab12.由(1)知1211nnna.∴11nan,11nnnban.…6分所证不等式111nnnnab,即111111nnnnn,也即证明111111nnnn.令ln11xfxxx,则\'21ln(1)xxxfxx.再令1lnxgxxx,则\'211gxxx21xx.…8分当1x时,\'0gx,∴函数gx在1,上单调递减.∴当1x时,10gxg,即1ln0xxx.∴当1x时,\'21ln(1)xxxfxx0.∴函数ln1xfxx在1,上单调递减.…10分∵111111nn,∴11111ffnn.∴11ln1ln111111111nnnn.…12分∴111ln1ln11nnnn.∴111111nnnn.∴111nnnnab成立.…14分