2012新课标文科数学回归教材《4三角函数》

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OR1radR新课标——回归教材三角函数1.角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形.按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角.射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边.2.象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限.3.弧度制:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1(rad)=018057.3,010.01745180(rad).弧长公式:||lR,扇形面积公式:211||22SlRR.典例:已知扇形AOB的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积.（答:22cm）4.终边相同的角的表示:(1)终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)2()kkZ,注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.典例:与角1825的终边相同,且绝对值最小的角的度数是25,合536弧度.(2)终边在坐标轴上的角可表示为:,2kkZ.典例:的终边与6的终边关于直线yx对称,则＝2,3kkZ.(3)各种角的集合表示名称角度表示形式(kZ)弧度表示形式(kZ)第一象限角360,36090kk(2,2)2kk第二象限角36090,360180kk(2,2)2kk第三象限角360180,360270kk3(2,2)2kk第四象限角360270,360360kk3(2,22)2kk终边落在x轴上180,kkZ,kkZ终边落在y轴上18090,kkZ,2kkZ终边落在y=x轴上18045,kkZ,4kkZ终边落在y=-x轴上180135,kkZ3,4kkZ判断一个角的终边在哪个象限？是第几象限角？是解决后面一系列问题的基础.那么我们是如何判定？通常是把一个绝对值很大的角化成2,kkZ,0,2或者xyTAMPO是化成360,,0,360kkZ,这样只要判定是第几象限角就可以了.典例:(1)291033,因为3是第一象限角,所以293的终边也在第一象限;(2)790236070,因为70是第一象限角,所以790的终边也在第一象限.5.与2的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定.如图,若角终边在第一(二、三、四)象限,则角2的终边位于右图中标有数字1(2、3、4)区域.这个方法叫做等分象限法.典例:若是第二象限角,则2是第一、三象限角.6.任意角的三角函数的定义:设是任意一个角,P(,)xy是的终边上的任意一点(异于原点),它与原点的距离是220rxy,那么sin,cosyxrr,tan0yxx.三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P的位置无关.典例:(1)已知角的终边经过点P(5,－12),则sincos的值为713;(2)设是第三、四象限角,23sin4mm,则m的取值范围是32(1,);(3)若|sin|cos0sin|cos|,试判断cot(sin)tan(cos)的符号（答:负）7.三角函数线的特征是:正弦线MP“站在x轴上(起点在x轴上)”、余弦线OM“躺在x轴上(起点是原点)”、正切线AT“与圆O切在点(1,0)A处(起点是A)”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式.典例:(1)若08,则sin,cos,tan的大小关系为tansincos;(2)若为锐角,则,sin,tan的大小关系为sintan;(3)函数12coslg(2sin3)yxx的定义域是2(2,2]()33kkkZ8.特殊角的三角函数值:30°45°60°0°90°180°270°15°75°sin122232010－1624624cos32221210－10624624tan3313002-32+3cot3133002+32-39.同角三角函数的基本关系式:(1)平方关系:22sincos1;(2)商数关系:sintancos.yx12341234y=xy=－x同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其它三角函数值.在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可能地压缩角的范围,以便进行定号;在具体求三角函数值时,一般不需用同角三角函数的基本关系式,而是先根据角的范围确定三角函数值的符号,再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值.解题方法总结(1)已知一弦值,求正切.通常是利用2sin1cos、2cos1sin求另一弦值,然后利用sintancos求正切.要注意的象限,分象限定符号.(2)已知正切,求正弦、余弦值.方法一是解方程组.方法二是利用一个推导公式直接求,公式221cos1tan,222tansin1tan,不过还是要注意开根号时的正负的确定.(3)解题中常用的三种技巧:一、切化弦;二、1的代换;三、分子分母同时除以cos或者2cos.(4)解题中常用的两组公式:222(sincos)sincos2sincos12sincos;222(sincos)sincos2sincos12sincos.典例:(1)函数sintancoscoty的值的符号为大于0;(2)若022x,则使21sin2cos2xx成立的x的取值范围是3[0,][,]44;(3)已知3sin5mm,42cos()52mm,则tan＝512;(4)已知tan1tan1,则sin3cossincos＝53;2sinsincos2＝135;(5)已知sin200a,则tan160等于BA.21aa　B.21aa　C.21aa　D.21aa;(6)已知(cos)cos3fxx,则(sin30)f的值为－1.10.三角函数诱导公式(2k)的本质是:奇变偶不变(对k而言,指k取奇数或偶数),符号看象限(看原函数,同时可把看成是锐角).诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤:“负化正,大化小,化成锐角再查表”即:(1)负角变正角,再写成2k+,02;(2)转化为锐角三角函数.典例:(1)97costan()sin2146的值为2323;(2)已知4sin(540)5,则cos(270)45,若为第二象限角,则2[sin(180)cos(360)]tan(180)3100.11.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:正:sinsincoscossin;逆:22sincossin()abab,其中tanba.正:coscoscossinsin;逆:22cossincos()abab,其中tanba.正:tantantan1tantan;变:tantantan()(1tantan).正:22tansin22sincos1tan;变:21sin2(sincos)正:2222221tancos22cos112sincossin1tan;变:221cos22cos,1cos22sin(降角升幂公式),逆:221+cos21cos2cos,sin22＝＝(降幂升角公式);sin1costan21cossin(半角正切)典例:(1)下列各式中,值为12的是CA.sin15cos15B.22cossin1212　C.2tan22.51tan22.5D.1cos302(2)命题P:tan()0AB,命题Q:tantan0AB,则P是Q的C条件.A、充要　　B、充分不必要　　　C、必要不充分　D、既不充分也不必要;(3)已知3sin()coscos()sin5,那么cos2的值为725;(4)13sin10sin80的值是4;(5)已知0tan110a,求0tan50的值(用a表示)甲求得的结果是313aa,乙求得的结果是212aa,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是甲、乙都对.12.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦”;第三观察代数式的结构特点通常是分式要因式分解、通分后约分、根号下配方后开方.基本的技巧有:★★★(1)巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如:()(),2()(),2()(),22,222等.典例:(1)已知2tan()5,1tan()44,那么tan()4的值是322;(2)已知02,且1cos()29,2sin()23,求cos()的值239729;(3)若,为锐角,3sin,cos,cos()5xy,则y与x的函数关系为23431(1)555yxxx.(2)三角函数名互化(切化弦),典例:(1)求值sin50(13tan10)=1;(2)已知sincos21,tan()1cos23,求tan(2)的值18(3)公式变形使用（tantantan1tantan.典例:(1)已知A、B为锐角,且满足tantantantan1ABAB,则cos()AB＝22;(2)ABC中,tantan33tantanABAB,3sincos4AA,则此三角形是等边三角形.(4)三角函数次数的降升(降幂公式:21cos2cos2,21cos2sin2与升幂公式:21cos22cos,21cos22sin).典例:(1)若3(,)2,化简1111cos22222为sin2;(2)2()5sincos53cosfxxxx53()2xR的单调递增区间为5[,]()1212kkkZ.(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同).典例:(1)tan(cossin)sintancotcsc=sin;(2)求证:21tan1sin212sin1tan22;(3)化简:42212cos2cos22tan()sin()44xxxx=1cos22x.(6)常值变换主要指“1”的变换（221sincosxxtansin42等）典例:已知tan2,求22sinsincos3cos=35.(7)正余弦“三兄妹—sincossincosxxxx、”的内存联系—“知一求二”.典例:(1)若sincosxxt,则sincosxx212t,特别提醒:这里[2,2]t;(2)若1(0,),sincos2,求tan的值.（答:473）;(3)已知2sin22sin1tank()42,试用k表示sincos的值（答:1k）.13.辅助角公式中辅助角的确定:22sincossinaxbxabx(其中角所在的象限由a,b的符号确定,角的值由tanba确定)在求最值、化简时起作用.★★★典例:(1)若方程sin3cosxxc有实数解,则c的取值范围是[－2,2].;(2)当函数2cos3sinyxx取得最大值时,tanx的值是32;(3)如果sin2cos()fxxx是奇函数,则tan=－2;(4)求值:2223164sin20sin20cos2032.14.正弦函数和余弦函数的图象:正弦函数sinyx和余弦函数cosyx图象的作图方法:五点法:先取横坐标分别为0,,23,,22的五点,再用光滑的曲线把这五点连接起来,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象.如右图所示:15.正弦函数sin()yxxR、余弦函数cos()yxxR性质:(1)定义域R.(2)值域1,1.对sinyx,当22xkkZ时,y取最大值1;当322xkkZ时,y取最小值－1;对cosyx,当2xkkZ时,y取最大值1,当2xkkZ时,y取最小值－1.典例:(1)若函数sin(3)6yabx的最大值为32,最小值为12,则a12,b1;(2)函数()sin3cosfxxx（[,]22x）的值域是[－1,2];(3)若2,则cos6siny的最大值和最小值分别是7、-5;(4)2()2cossin()3sin3fxxxxsincosxx的最小值是2,此时x=()12kkZ;(5)己知1sincos2,则sincost的取值范围11[,]22;(6)若22sin2sin2cos,则22sinsiny的最大值1、最小值222.特别提醒:在解含有正余弦函数的问题时,你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗?例如前面的关于求值域的一个运用！(3)周期性:①sinyx、cosyx的最小正周期都是2;②()sin()fxAx和()cos()fxAx的最小正周期都是2||T.典例:(1)若()sin3xfx,则(1)(2)(3)(2003)ffff＝0;(2)函数4()cosfxx2sincosxx4sinx的最小正周期为;(3)设()2sin()25fxx,若12()()()()fxfxfxxR恒成立,则12min||xx=2.(4)奇偶性与对称性:①函数sin()yxxR是奇函数,对称中心是,0kkZ,对称轴是直线2xkkZ;②函数cos()yxxR是偶函数,对称中心是,02kkZ,对称轴是直线xkkZ（正(余)弦型函数的对称轴为过最值点且垂直于x轴的直线,对称中心为图象零点所在点.）典例:(1)函数5sin22yx的奇偶性是偶函数;(2)已知函数3()sin1(,fxaxbxab为常数）,且(5)7f,则(5)f－5;(3)2cos(sincos)yxxx的对称中心和对称轴分别是(,1)()28kkZ、()28kxkZ;(4)已知()sin()3cos()fxxx为偶函数,求的值.（答:()6kkZ）(5)单调性:sin2,222yxkkkZ在上单调递增,在32,222kkkZ单调递减;cosyx在2,2kkkZ上单调递减,在2,22kkkZ上单调递增.16.形如sin()yAx的函数:(1)几个物理量:A―振幅;1fT―频率（周期的倒数）;x―相位;―初相;(2)求sin()yAx表达式:A由最值确定;由周期确定;由图象上的特殊点确定.(3)函数sin()yAx图象的画法:①“五点法”—设Xx,令X＝0,3,,,222求出相应的x值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:这是作函数简图常用方法.(4)函数sin()yAxk的图象与sinyx图象间的关系:①sinyx的图象上各点向左(>0)或向右(<0)平移||个单位得sinyx的图象;②sinyx图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的1,得到函数sinyx的图象;③sinyx图象上各点横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得sin()yAx图象;④sin()yAx图象上各点向上(0k)或向下(0k),得到sinyAxk的图象.特别注意:由sinyx得到sinyx的图象,则向左或向右平移应平移||单位.典例:(1)函数2sin(2)14yx的图象经过怎样的变换才能得到sinyx的图象？（答:2sin(2)14yx向上平移1个单位得2sin(2)4yx的图象,再向左平移8个单位得2sin2yx的图象,横坐标扩大到原来的2倍得2sinyx的图象,最后将纵坐标缩小到原来的12即得sinyx的图象）;(2)要得到函数cos()24xy的图象,只需把函数sin2xy的图象向左平移2个单位;(3)(现在考纲不作要求)将函数72sin(2)13yx图像,按向量a平移后得到的函数图像关于原点对称,这样的向量是否唯一？若唯一,求出a;若不唯一,求出模最小的向量(答:存在但不唯一,模最小的向量(,1)6a);(4)若函数cossin0,2fxxxx的图象与直线yk有且仅有四个不同的交点,则k的取值范围是[1,2).(5)研究函数sin()yAx性质的方法:类比于研究sinyx的性质,只需将sin()yAx中的x看成sinyx中的x,但在求sin()yAx的单调区间时,要特别注意A和的符号,通过诱导公式先将化正.典例:(1)函数sin(2)3yx的递减区间是5[,]()1212kkkZ;(2)12logcos()34xy的递减区间是33[6,6]()44kkkZ;(3)设函数()sin()(0,0,)22fxAxA的图象关于直线23x对称,它的周期是,则(C)A、1()(0,)2fx的图象过点　B、()fx在区间52[,]123上是减函数　　C、5()(,0)12fx的图象的一个对称中心是　　D、()fx的最大值是A;(4)对于函数2sin23fxx给出下列结论,其中正确结论是②④.①图象关于原点成中心对称;②图象关于直线12x成轴对称;③图象可由函数2sin2yx的图像向左平移3个单位得到;④图像向左平移12个单位,即得到函数2cos2yx的图像.(5)已知函数()2sin()fxx图象与直线1y的交点中,距离最近两点间的距离为3,那么此函数的周期是17.正切函数tanyx的图象和性质:(1)定义域:{|,}2xxkkZ.有关正切函数问题时,你注意到正切函数的定义域了吗？(2)值域是R,在上面定义域上无最大值也无最小值;(3)周期性:,它与直线ya的两个相邻交点之间的距离是一个周期.绝对值或平方对三角函数周期性的影响:一般说来,某一周期函数解析式加绝对值或平方,其周期性是:弦减半、切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值,其周期性不变,其它不定.(只作了解即可)典例:(1)2sin,sinyxyx,|tan|yx的周期都是.(2)sinyxcosx的周期为2.(3)1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626yxyx的周期都是2;(4)tanyx奇偶性与对称性:是奇函数,对称中心是,02kkZ.特别提醒:正切型函数的对称中心有两类:一类是图象与x轴的交点,另一类是渐近线与x轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处.(5)单调性:正切函数在开区间(,)22kkkZ内都是增函数.但要注意在整个定义域上不具有单调性.18.三角形中的有关公式:(1)内角和定理:三角形三角和为,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.(2)正弦定理:2sinsinsinabcRABC(R为三角形外接圆的半径).注意:①正弦定理的一些变式:sinsinsiniabcABC;sin,sin,sin22abiiABCRR2cR;2sin,2sin,2siniiiaRAbRBbRC;②已知三角形两边一对角,求解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解.(3)余弦定理:2222222cos,cos2bcaabcbcAAbc等,常选用余弦定理鉴定三角形形状.(4)面积公式:111sin()222aSahabCrabc(其中r为三角形内切圆半径).海伦-秦九韶公式()()()Sppapbpc,其中2abcp.典例:ABC中,若22222sincoscossinsinABABC,判断ABC的形状（答:直角三角形）.特别提醒:(1)求解三角形中的问题时,一定要注意ABC这个特殊性:所以有,,sin()sin,sincos22ABCABCABC;(2)求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化.典例:(1)ABC中,A、B的对边分别是ab、,且A=60,6,4ab,那么满足条件的ABCA、有一个解B、有两个解C、无解D、不能确定（答:C）;(2)在ABC中,A＞B是sinsinAB成立的充要条件;(3)在ABC中,(1tan)(1tan)2AB,则2logsinC＝12;(4)在ABC中,若()(sinsinabcABsin)3sinCaB,则C＝60;(5)在ABC中,若其面积22243abcS,则C=30;(6)在ABC中,60,1Ab,这个三角形的面积为3,则ABC外接圆的直径是2393;(7)在△ABC中,213,cos,cos32BCaA则=13,22bc的最大值为92;(8)在△ABC中AB=1,BC=2,则角C的取值范围是06C;(9)设O是锐角三角形ABC的外心,若75C,且,,AOBBOCCOA的面积满足关系式3AOBBOCCOASSS,求A（答:45）．19.求角的方法:先确定角的范围,再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择,其标准有二:一是此三角函数在角的范围内具有单调性;二是根据条件易求出此三角函数值）.特别提示:要尽量利用已知条件精确地确定角所在的范围.典例:(1)若,(0,),且tan、tan是方程2560xx的两根,则求的值34;(2)ABC中,3sin4cos6,4sin3cos1ABBA,则C＝3;(3)若02且sinsinsin0,coscoscos0,求的值（答:23）.