2016年山东省高考数学试卷(理科)word版试卷+答案解析

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2016年山东省高考数学试卷（理科）　一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）（2016•山东）若复数z满足2z+=32i﹣，其中i为虚数单位，则z=（　　）A．1+2iB．12i﹣C．﹣1+2iD．﹣12i﹣2．（5分）（2016•山东）设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x21﹣＜0}，则AB=∪（　　）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（0，+∞）3．（5分）（2016•山东）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（　　）A．56B．60C．120D．1404．（5分）（2016•山东）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（　　）A．4B．9C．10D．125．（5分）（2016•山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（　　）A．+πB．+πC．+πD．1+π6．（5分）（2016•山东）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）（2016•山东）函数f（x）=（sinx+cosx）（cosxsinx﹣）的最小正周期是（　　）A．B．πC．D．2π8．（5分）（2016•山东）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（　　）A．4B．﹣4C．D．﹣9．（5分）（2016•山东）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x31﹣；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=f﹣（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（　　）A．﹣2B．﹣1C．0D．210．（5分）（2016•山东）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（　　）A．y=sinxB．y=lnxC．y=exD．y=x3　二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）（2016•山东）执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为　　　　　　．12．（5分）（2016•山东）若（ax2+）5的展开式中x5的系数是﹣80，则实数a=　　　．13．（5分）（2016•山东）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是　　．14．（5分）（2016•山东）在[1﹣，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为　　　　　　．15．（5分）（2016•山东）已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是　　　　　　．　三、解答题,：本大题共6小题，共75分.16．（12分）（2016•山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．17．（12分）（2016•山东）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角FBCA﹣﹣的余弦值．18．（12分）（2016•山东）已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1．（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．19．（12分）（2016•山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．20．（13分）（2016•山东）已知f（x）=a（xlnx﹣）+，a∈R．（I）讨论f（x）的单调性；（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．21．（14分）（2016•山东）平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．（i）求证：点M在定直线上；（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．　2016年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析　一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）（2016•山东）若复数z满足2z+=32i﹣，其中i为虚数单位，则z=（　　）A．1+2iB．12i﹣C．﹣1+2iD．﹣12i﹣【考点】复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有【专题】计算题；规律型；转化思想；数系的扩充和复数．【分析】设出复数z，通过复数方程求解即可．【解答】解：复数z满足2z+=32i﹣，设z=a+bi，可得：2a+2bi+abi=32i﹣﹣．解得a=1，b=2﹣．z=12i﹣．故选：B．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．　2．（5分）（2016•山东）设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x21﹣＜0}，则AB=∪（　　）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（0，+∞）【考点】并集及其运算．菁优网版权所有【专题】计算题；集合思想；数学模型法；集合．【分析】求解指数函数的值域化简A，求解一元二次不等式化简B，再由并集运算得答案．【解答】解：∵A={y|y=2x，x∈R}=（0，+∞），B={x|x21﹣＜0}=（﹣1，1），AB=∴∪（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）．故选：C．【点评】本题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，是基础题．　3．（5分）（2016•山东）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（　　）A．56B．60C．120D．140【考点】频率分布直方图．菁优网版权所有【专题】计算题；图表型；概率与统计．【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数．【解答】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7×200=140，故选：D【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．　4．（5分）（2016•山东）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（　　）A．4B．9C．10D．12【考点】简单线性规划．菁优网版权所有【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式．【分析】由约束条件作出可行域，然后结合x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得x2+y2的最大值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A∵（0，﹣3），C（0，2），|OA|∴＞|OC|，联立，解得B（3，﹣1）．∵，x∴2+y2的最大值是10．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．　5．（5分）（2016•山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（　　）A．+πB．+πC．+πD．1+π【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=．故R=，故半球的体积为：=π，棱锥的底面面积为：1，高为1，故棱锥的体积V=，故组合体的体积为：+π，故选：C【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．　6．（5分）（2016•山东）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有【专题】探究型；空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】根据空间直线与直线，平面与平面位置关系的几何特征，结合充要条件的定义，可得答案．【解答】解：当“直线a和直线b相交”时，“平面α和平面β相交”成立，当“平面α和平面β相交”时，“直线a和直线b相交”不一定成立，故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查的知识点是充要条件，空间直线与平面的位置关系，难度不大，属于基础题．　7．（5分）（2016•山东）函数f（x）=（sinx+cosx）（cosxsinx﹣）的最小正周期是（　　）A．B．πC．D．2π【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的图像与性质．【分析】利用和差角及二倍角公式，化简函数的解析式，进而可得函数的周期．【解答】解：数f（x）=（sinx+cosx）（cosxsinx﹣）=2sin（x+）•2cos（x+）=2sin（2x+），T=π∴，故选：B【点评】本题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档．　8．（5分）（2016•山东）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（　　）A．4B．﹣4C．D．﹣【考点】平面向量数量积的运算．菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；平面向量及应用．【分析】若⊥（t+），则•（t+）=0，进而可得实数t的值．【解答】解：∵4||=3||，cos＜，＞=，⊥（t+），∴•（t+）=t•+2=t||•||•+||2=（）||2=0，解得：t=4﹣，故选：B．【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．　9．（5分）（2016•山东）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x31﹣；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=f﹣（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（　　）A．﹣2B．﹣1C．0D．2【考点】抽象函数及其应用．菁优网版权所有【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】求得函数的周期为1，再利用当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=f﹣（x），得到f（1）=﹣f（﹣1），当x＜0时，f（x）=x31﹣，得到f（﹣1）=2﹣，即可得出结论．【解答】解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣），∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．f∴（6）=f（1），∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=f﹣（x），f∴（1）=f﹣（﹣1），∵当x＜0时，f（x）=x31﹣，f∴（﹣1）=2﹣，f∴（1）=f﹣（﹣1）=2，f∴（6）=2．故选：D．【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．　10．（5分）（2016•山东）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（　　）A．y=sinxB．y=lnxC．y=exD．y=x3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．【解答】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；当y=lnx时，y′=＞0恒成立，不满足条件；当y=ex时，y′=ex＞0恒成立，不满足条件；当y=x3时，y′=3x2＞0恒成立，不满足条件；故选：A【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．　二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）（2016•山东）执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为　3　．【考点】程序框图．菁优网版权所有【专题】计算题；操作型；算法和程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：∵输入的a，b的值分别为0和9，i=1．第一次执行循环体后：a=1，b=8，不满足条件a＜b，故i=2；第二次执行循环体后：a=3，b=6，不满足条件a＜b，故i=3；第三次执行循环体后：a=6，b=3，满足条件a＜b，故输出的i值为：3，故答案为：3【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．　12．（5分）（2016•山东）若（ax2+）5的展开式中x5的系数是﹣80，则实数a=　﹣2．【考点】二项式系数的性质．菁优网版权所有【专题】二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式Tr+1=（ax2）5r﹣，化简可得求的x5的系数．【解答】解：（ax2+）5的展开式的通项公式Tr+1=（ax2）5r﹣=a5r﹣，令10﹣=5，解得r=2．∵（ax2+）5的展开式中x5的系数是﹣80∴a3=80﹣，得a=2﹣．【点评】考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数，属常规题型．　13．（5分）（2016•山东）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是　2．【考点】双曲线的简单性质．菁优网版权所有【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由2|AB|=3|BC|，可得a，b，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由2|AB|=3|BC|，可得2•=3•2c，即为2b2=3ac，由b2=c2a﹣2，e=，可得2e23e2=0﹣﹣，解得e=2（负的舍去）．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．　14．（5分）（2016•山东）在[1﹣，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为　　．【考点】几何概型．菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．【解答】解：圆（x5﹣）2+y2=9的圆心为（5，0），半径为3．圆心到直线y=kx的距离为，要使直线y=kx与圆（x5﹣）2+y2=9相交，则＜3，解得﹣＜k＜．∴在区间[1﹣，1]上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x5﹣）2+y2=9相交相交的概率为=．故答案为：．【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．　15．（5分）（2016•山东）已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是　（3，+∞）．【考点】根的存在性及根的个数判断．菁优网版权所有【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】作出函数f（x）=的图象，依题意，可得4mm﹣2＜m（m＞0），解之即可．【解答】解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：x∵＞m时，f（x）=x22mx+4m=﹣（xm﹣）2+4mm﹣2＞4mm﹣2，y∴要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4mm﹣2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，m∴的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到4mm﹣2＜m是难点，属于中档题．　三、解答题,：本大题共6小题，共75分.16．（12分）（2016•山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理．菁优网版权所有【专题】计算题；证明题；综合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）由切化弦公式，带入并整理可得2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+cosB，这样根据两角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2sinC，从而根据正弦定理便可得出a+b=2c；（Ⅱ）根据a+b=2c，两边平方便可得出a2+b2+2ab=4c2，从而得出a2+b2=4c22ab﹣，并由不等式a2+b2≥2ab得出c2≥ab，也就得到了，这样由余弦定理便可得出，从而得出cosC的范围，进而便可得出cosC的最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：由得：；∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；2sin∴（A+B）=sinA+sinB；即sinA+sinB=2sinC（1）；根据正弦定理，；∴，带入（1）得：；a+b=2c∴；（Ⅱ）a+b=2c；∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；a∴2+b2=4c22ab﹣，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；又a，b＞0；∴；∴由余弦定理，=；cosC∴的最小值为．【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为π，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式a2+b2≥2ab的应用，不等式的性质．　17．（12分）（2016•山东）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角FBCA﹣﹣的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．菁优网版权所有【专题】证明题；转化思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，推导出平面GQH∥平面ABC，由此能证明GH∥平面ABC．（Ⅱ）由AB=BC，知BOAC⊥，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角FBCA﹣﹣的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，G∵、H为EC、FB的中点，GQ∴，QH∥，又∵EFBO，∴GQBO，∴平面GQH∥平面ABC，GH∵⊂面GQH，∴GH∥平面ABC．解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BOAC⊥，又∵OO′⊥面ABC，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），C（﹣2，0，0），B（0，2，0），O′（0，0，3），F（0，，3），=（﹣2，﹣，﹣3），=（2，2，0），由题意可知面ABC的法向量为=（0，0，3），设=（x0，y0，z0）为面FCB的法向量，则，即，取x0=1，则=（1，﹣1，﹣），cos∴＜，＞==﹣．∵二面角FBCA﹣﹣的平面角是锐角，∴二面角FBCA﹣﹣的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．　18．（12分）（2016•山东）已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1．（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和；数列递推式．菁优网版权所有【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式，再求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）求出数列{cn}的通项，利用错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）Sn=3n2+8n，n≥2∴时，an=SnS﹣n1﹣=6n+5，n=1时，a1=S1=11，∴an=6n+5；a∵n=bn+bn+1，a∴n1﹣=bn1﹣+bn，a∴na﹣n1﹣=bn+1b﹣n1﹣．2d=6∴，d=3∴，a∵1=b1+b2，11=2b∴1+3，b∴1=4，b∴n=4+3（n1﹣）=3n+1；（Ⅱ）cn===6（n+1）•2n，T∴n=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，2T∴n=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，①﹣②可得﹣Tn=6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]=12+6×﹣6（n+1）•2n+1=（﹣6n）•2n+1=3n•2﹣n+2，T∴n=3n•2n+2．【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．　19．（12分）（2016•山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有【专题】计算题；分类讨论；分类法；概率与统计．【分析】（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，进而可得答案；（II）由已知可得：“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，进而得到X的分布列和数学期望．【解答】解：（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，故概率P=++=++=，（II）“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，则P（X=0）==，P（X=1）=2×[+]=，P（X=2）=+++=，P（X=3）=2×=，P（X=4）=2×[+]=P（X=6）==故X的分布列如下图所示：X012346P∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+6×==【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题．　20．（13分）（2016•山东）已知f（x）=a（xlnx﹣）+，a∈R．（I）讨论f（x）的单调性；（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有【专题】综合题；函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a分类分析导函数的符号，由导函数的符号确定原函数的单调性；（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）﹣f′（x），令g（x）=xlnx﹣，h（x）=．则F（x）=f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x），利用导数分别求g（x）与h（x）的最小值得到F（x）＞恒成立．由此可得f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=a（xlnx﹣）+，得f′（x）=a（1﹣）+==（x＞0）．若a≤0，则ax22﹣＜0恒成立，∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a＞0，若0＜a＜2，当x∈（0，1）和（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；若a=2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数；若a＞2，当x∈（0，）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；（Ⅱ）解：∵a=1，令F（x）=f（x）﹣f′（x）=xlnx﹣1﹣=xlnx+﹣．令g（x）=xlnx﹣，h（x）=．则F（x）=f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x），由，可得g（x）≥g（1）=1，当且仅当x=1时取等号；又，设φ（x）=3x﹣22x+6﹣，则φ（x）在[1，2]上单调递减，且φ（1）=1，φ（2）=10﹣，∴在[1，2]上存在x0，使得x∈（1，x0）时φ（x0）＞0，x∈（x0，2）时，φ（x0）＜0，∴函数φ（x）在（1，x0）上单调递增；在（x0，2）上单调递减，由于h（1）=1，h（2）=，因此h（x）≥h（2）=，当且仅当x=2取等号，f∴（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x）＞g（1）+h（2）=，F∴（x）＞恒成立．即f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．【点评】本题考查利用导数加以函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是压轴题．　21．（14分）（2016•山东）平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．（i）求证：点M在定直线上；（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．【考点】椭圆的简单性质．菁优网版权所有【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标，以及椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆的方程；（Ⅱ）（i）设P（x0，y0），运用导数求得切线的斜率和方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，可得中点D的坐标，求得OD的方程，再令x=x0，可得y=﹣．进而得到定直线；（ii）由直线l的方程为y=x0xy﹣0，令x=0，可得G（0，﹣y0），运用三角形的面积公式，可得S1=|FG|•|x0|=x0•（+y0），S2=|PM|•|x0﹣|，化简整理，再1+2x02=t（t≥1），整理可得t的二次方程，进而得到最大值及此时P的坐标．【解答】解：（I）由题意可得e==，抛物线E：x2=2y的焦点F为（0，），即有b=，a2c﹣2=，解得a=1，c=，可得椭圆的方程为x2+4y2=1；（Ⅱ）（i）证明：设P（x0，y0），可得x02=2y0，由y=x2的导数为y′=x，即有切线的斜率为x0，则切线的方程为yy﹣0=x0（xx﹣0），可化为y=x0xy﹣0，代入椭圆方程，可得（1+4x02）x28x﹣0y0x+4y021=0﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，即有中点D（，﹣），直线OD的方程为y=﹣x，可令x=x0，可得y=﹣．即有点M在定直线y=﹣上；（ii）直线l的方程为y=x0xy﹣0，令x=0，可得G（0，﹣y0），则S1=|FG|•|x0|=x0•（+y0）=x0（1+x02）；S2=|PM|•|x0﹣|=（y0+）•=x0•，则=，令1+2x02=t（t≥1），则====2+﹣=﹣（﹣）2+，则当t=2，即x0=时，取得最大值，此时点P的坐标为（，）．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标，考查直线和抛物线斜的条件，以及直线方程的运用，考查三角形的面积的计算，以及化简整理的运算能力，属于难题．