江苏省如皋中学2011高三高考数学押题卷+答案

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江苏省如皋中学高三数学2011年4月考试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为01到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，现将50袋奶粉按编号顺序平均分成5组，用每组选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号，若第4组抽出的号码为36，则第1组中用抽签的方法确定的号码是▲.2．若复数1zmi(i为虚数单位，mR)，若22zi，则复数z的虚部为▲.3．若函数()2sin()(0)fxx的图象的相邻两条对称轴的距离是，则的值为▲.4．若双曲线焦点为(5,0)，渐近线方程为2xy，则此双曲线的标准方程为▲．5．已知向量a=(sin55°，sin35°)，b=(sin25°，sin65°)，则向量a与b的夹角为▲．6．已知a，b，c是锐角△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，若a=3，b=4，△ABC的面积为3，则c=▲．7．作为对数运算法则：lg()lglg(0,0)ababab是不正确的.但对一些特殊值是成立的，例如：lg(22)lg2lg2.则对于所有使lg()lglgabab（0a，0b）成立的,ab应满足函数()afb表达式为▲.8．两游客坐火车旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图，则下列座位号码中符合要求的有▲.①48，49②54，55③62，63④75，76⑤84，85⑥96，979．已知关于x的不等式2的解集为P，若1P，则实数a的取值范围为▲．10．已知集合22,|2009xyxy，若点),(yxP、点),(yxP满足xx且yy，则称点P优于P.如果集合中的点Q满足：不存在中的其它点优于Q，则所有这样的点Q构成的集合为▲.11．若实数x、y满足114422xyxy，则22xyS的取值范围是▲.12．已知集合P={x|x=2n，n∈N}，Q={x|x=2n，n∈N}，将集合P∪Q中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{an}，则数列{an}的前20项之和S20=▲．13．记集合0,1,2,3,4,5,6T，3124234,1,2,3,47777iaaaaMaTi，将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2009个数是▲.窗口12过道345窗口67891011121314151617………14．已知抛物线()ygx经过点(0,0)O、(,0)Am与点(1,1)Pmm，其中0nm，ab，设函数)()()(xgnxxf在ax和bx处取到极值，则nmba,,,的大小关系为▲.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明步骤．15．（本小题共14分）已知在等边三角形ABC中，点P为线段AB上一点，且(01)APAB.（1）若等边三角形边长为6，且13，求CP；（2）若CPABPAPB，求实数的取值范围.16．（本小题共14分）如图所示，在直三棱柱111CBAABC中，1ABBB，1AC平面DBDA,1为AC的中点．（1）求证：//1CB平面BDA1；（2）求证：11CB平面11AABB；（3）设E是1CC上一点，试确定E的位置使平面BDA1平面BDE，并说明理由．A1B1C1ABCD17．（本小题共14分）椭圆C：12222byax)0(ba的一个焦点)0,2(1F，右准线方程8x．（1）求椭圆C的方程；（2）若M为右准线上一点，A为椭圆C的左顶点，连结AM交椭圆于点P，求APPM的取值范围；（3）设圆Q：22()1(4)xtyt与椭圆C有且只有一个公共点，过椭圆C上一点B作圆Q的切线BS、BT，切点为,ST，求BSBT的最大值．18．（本小题共16分）在金融危机中,某钢材公司积压了部分圆钢,经清理知共有2009根.现将它们堆放在一起.(1)若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多1根),并使剩余的圆钢尽可能地少,则剩余了多少根圆钢?(2)若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多1根),且不少于七层，（Ⅰ）共有几种不同的方案?（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？19．（本小题共16分）已知函数21()ln(4)2fxxxax在(1,)上是增函数.（1）求实数a的取值范围；（2）在（1）的结论下，设2()||,[0,ln3]2xagxeax，求函数)(xg的最小值．20．（本小题共16分）已知数列na，nb满足12a，121nnnaaa，1nnba数列nb的前n项和为nS，2nnnTSS.（1）求证：数列1nb为等差数列，并求通项nb；（2）求证：1nnTT；（3）求证：当2n时，271112nnS．数学附加题21.为了保证信息安全传输，设计一种密码系统，其加密、解密原理如下图：现在加密方式为：把发送的数字信息X，写为“11211222aaaa”的形式，先左乘矩阵1422A，再左乘矩阵625514855B，得到密文Y，现在已知接收方得到的密文是4,12,36,72，试破解该密码.22.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为(1,5)，[来源:学科网]点M的极坐标为(4,)2．若直线l过点P，且倾斜角为3，圆C以M为圆心、4为半径.（1）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（2）试判定直线l和圆C的位置关系.23．在2009年春运期间，一名大学生要从南京回到徐州老家有两种选择，即坐火车或汽车.明文X加密密文Y发送密文Y解密明文X已知该大学生先去买火车票的概率是先去买汽车票概率的3倍，汽车票随时都能买到.若先去买火车票，则买到火车票的概率为0.6，买不到火车票，再去买汽车票.（1）求这名大学生先去买火车票的概率；（2）若火车票的价格为120元，汽车票的价格为280元，设该大学生购买车票所花费钱数为，求的数学期望值.24．已知抛物线223yx，过其对称轴上一点(23,0)P作一直线交抛物线于,AB两点，若60OBA，求OB的斜率.答案1、062、13、15．30°6.137、(1)1babb8、“经过椭圆)0(12222babyax中心的任意弦的两端点与椭圆上除这两个端点外的任意一点P的连线的斜率之积为定值22ba”.②⑤⑥9.[−1，0]10、答案：22,|2009,00且xyxyxy提示：P优于P，即P位于P的左上方，“不存在中的其它点优于Q”，即“点Q的左上方不存在中的点”.故满足条件的点集合为22,|2009,00且xyxyxy.11、答案：24S提示：设12122,2(0,0)xytttt，则22121222tttt，2121212()22()tttttt，∴2121212()2()20tttttt，得112tt或120tt（舍去），又2212121212()2()222tttttttt，得1204tt，∴1224tt.12.34313、答案：3922401[来源:学科网]提示：3124234,1,2,3,47777iaaaaMaTi中的元素为44444401237,,,,,77777，故从大到小排列第2009个数是3922401.14、答案：bnam提示：由抛物线经过点(0,0)O、(,0)Am设抛物线方程(),0ykxxmk，又抛物线过点(1,1)Pmm，则1(1)(1)mkmmm，得1k，则2()()ygxxxmxmx，∴)()()(xgnxxf32()()()xxmxnxmnxmnx，[来源:学&科&网]∴/2()32()fxxmnxmn，又函数()fx在ax和bx处取到极值，故//()0,()0fafb，0nm，∴/22()32()()0fmmmnmmnmmnmmn，/22()32()()0fnnmnnmnnmnnnm，又ab，故bnam.15、解：（1）当13时，13APAB，2222221()262622282CPCAAPCACAAPAP.∴||27CP……………………………………………………………………7分（2）设等边三角形的边长为a，则221()()2CPABCAAPABCAABABaa，222()()PAPBPAABAPABABABaa…………………12分即2222212aaaa，∴21202，∴222222.又00，∴2212.……………………………………………………14分16、解：（1）证明：连接1AB与BA1相交于M，则M为BA1的中点，连结MD，又D为AC的中点，∴1//BCMD，又CB1平面BDA1，∴1//BC平面BDA1．…………4分（2）∵1ABBB，∴四边形11AABB为正方形，∴11ABAB，又∵1AC面BDA1，∴11ACAB，∴1AB面11CAB，∴111ABBC，又在直棱柱111CBAABC中111CBBB，∴11BC平面AABB1．………………8分（3）当点E为CC1的中点时，平面BDA1平面BDE，D、E分别为AC、CC1的中点，∴1//DEAC，1AC平面BDA1，∴DE平面BDA1，又DE平面BDE，∴平面BDA1平面BDE．…………14分17、解：（1）由题意得，2c，82ca得，216a，212b，∴所求椭圆方程为1121622yx．………………………………………………………4分（2）设P点横坐标为0x，则141248000xxxAPPM，∵440x，∴21141248000xxxAPPM．∴APPM的取值范围是,21………………………………………………………9分（3）由题意得，5t，即圆心Q为(5,0)，设BQx，则||||cosBSBTBSBTSBT[来源:学科网]2||||(12sin)BSBTSBQ221(1)[12()]xx2223xx，∵19BQ，即19x，∴2181x，易得函数2yxx在(1,2)上单调递减，在(2,81]上单调递增，∴281x时，max6320()81BSBT.…………………………………14分18、(1)当62n时，使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余了56根圆钢；-----4分(2)当纵断面为等腰梯形时，设共堆放n层,则从上到下每层圆钢根数是以x为首项、1为公差的等差数列，从而2009)1(21nnnx，即4177220092)12(nxn，因1n与n的奇偶性不同，所以12nx与n的奇偶性也不同，且12nxn，从而由上述等式得：574127nxn或2871214nxn或981241nxn或821249nxn，所以共有4种方案可供选择。-----------------------------6分(3)因层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以由（2）可知：若41n，则29x，说明最上层有29根圆钢，最下层有69根圆钢，此时如图所示，两腰之长为400cm，上下底之长为280cm和680cm，从而梯形之高为3200cm，而40010103200，所以符合条件；若49n，则17x，说明最上层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，此时如图所示，两腰之长为480cm，上下底之长为160cm和640cm，从而梯形之高为3240cm，显然大于4m，不合条件，舍去；[来源:学&科&网]综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地------------------6分.19、解：（1）1()4fxxax，∵()fx在[1,)上是增函数，∴()0fx在[1,)上恒成立.∴14()axx恒成立，∵12xx，当且仅当1x时取等号，∴14()2xx，∴2a.……………………………………6分（2）设xte，则2()||2ahtta，∵0ln3x，∴13t.当23a时，22,12(),32atatahtataat，∴()ht的最小值为2()2aha，当3a时，2()2ahtta，∴()ht的最小值为2(3)32aha.综上所述，当23a时，()gx的最小值为22a，当3a时，()gx的最小值为232aa.…16分20、解：（1）由1nnba，得1nnab，代入121nnnaaa，得12(1)1(1)(1)nnnbbb，∴110nnnnbbbb，从而有1111nnbb，∵111211ba，∴1nb是首项为1，公差为1的等差数列，∴1nnb，即1nbn.……………5分（2）∵1112Snn，∴2111122nnnTSSnnn，1111112322122nTnnnnn，111111102122122221nnTTnnnnnn，∴1nnTT.……………………………………………………………………10分（3）∵2n≥，∴11221122222nnnnnSSSSSSSS1221122nnTTTTS.由（2）知12222nnTTT，∵11217,1,212TST，∴12211222nnnSTTTTS2111nTTS7111122n71112n.……16分解：由题意，62142455148226855BA，1112()3144BA，436()1272BAX，1436()1272XBA114362023112720944，即发送的数据信息是2009.……………………………………………………10分C解：（1）直线l的参数方程为112352xty（t为参数）圆C的极坐标方程为8sin.………………………………………5分（2）因为(4,)2M对应的直角坐标为(0,4)，直线化为普通方程为3530xy，|453||93|4231d，∴直线与圆相离.………………………………………10分22、解：（1）设先去买火车票的概率为P（A），先去买汽车票的概率为P（B），则由条件可知()3(),()()1.PAPBPAPB，解得()0.75,()0.25.PAPB.即先去买火车票的概率为0.75.…………………………………………5分（2）该大学生首先到火车站且买到火车票的概率为.45.06.075.0∴该大学生买汽车票的概率为.55.045.01设该大学生购买车票所花费钱数为ξ，可得ξ的分布表为：ξ120280P0.450.55∴该大学生购买车票所花费钱数的期望值为.20855.028045.0120)(E…………………………………………10分23、解：设直线AB方程为23tyx，1122(,),(,)AxyBxy，则由22323yxtyx，得223120yty，则1212yy，1212xx，∴12120xxyy，∴OAOB，又60OBA，∴3OAOB，∴222211223()xyxy，∴4322224222121234yyyy，∴322243y，∴1226222233OByykxy.…………………………………………10分