2012年上海高考数学(理科)试卷+解答

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2012年上海高考数学（理科）试卷一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1．计算：ii13=（i为虚数单位）.2．若集合}012|{xxA，}21|{xxB，则BA=.3．函数1sincos2)(xxxf的值域是.4．若)1,2(n是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．在6)2(xx的二项展开式中，常数项等于.6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,…,Vn,…，则)(lim21nnVVV.7．已知函数||)(axexf（a为常数）.若)(xf在区间[1,+)上是增函数，则a的取值范围是.8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为.9．已知2)(xxfy是奇函数，且1)1(f.若2)()(xfxg，则)1(g.10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M的直线l与极轴的夹角6.若将l的极坐标方程写成)(f的形式，则)(f.11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.12．在平行四边形ABCD中，∠A=3,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足||||||||CDCNBCBM，则ANAM的取值范围是.13．已知函数)(xfy的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(21,5)，C(1,0).函数)10()(xxxfy的图像与x轴围成的图形的面积为.OMxlxOMl14．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15．若i21是关于x的实系数方程02cbxx的一个复数根，则（）（A）3,2cb.（B）3,2cb.（C）1,2cb.（D）1,2cb.16．在ABC中，若CBA222sinsinsin，则ABC的形状是（）（A）锐角三角形.（B）直角三角形.（C）钝角三角形.（D）不能确定.17．设443211010xxxx，5510x.随机变量1取值1x、2x、3x、4x、5x的概率均为0.2，随机变量2取值221xx、232xx、243xx、254xx、215xx的概率也为0.2.若记1D、2D分别为1、2的方差，则（）（A）1D＞2D.（B）1D＝2D.（C）1D＜2D.（D）1D与2D的大小关系与1x、2x、3x、4x的取值有关.18．设251sinnnna，nnaaaS21.在10021,,,SSS中，正数的个数是（）（A）25.（B）50.（C）75.（D）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，AD=22，PA=2.求：（1）三角形PCD的面积；（6分）（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）20．已知函数)1lg()(xxf.（1）若1)()21(0xfxf，求x的取值范围；（6分）（2）若)(xg是以2为周期的偶函数，且当10x时，有)()(xfxg，求函数)(xgy])2,1[(x的反函数.（8分）ABCDABCDPE21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912xy；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为t7.（1）当5.0t时，写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）22．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线12:221yxC.（1）过1C的左顶点引1C的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（4分）（2）设斜率为1的直线l交1C于P、Q两点，若l与圆122yx相切，求证：OP⊥OQ；（6分）（3）设椭圆14:222yxC.若M、N分别是1C、2C上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值.（6分）23．对于数集},,,,1{21nxxxX，其中nxxx210，2n，定义向量集},),,(|{XtXstsaaY.若对于任意Ya1，存在Ya2，使得021aa，则称X具有性质P.例如}2,1,1{X具有性质P.（1）若x＞2，且},2,1,1{x，求x的值；（4分）（2）若X具有性质P，求证：1X，且当xn＞1时，x1=1；（6分）（3）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列nxxx,,,21的通项公式.（8分）xOyPA2012年上海高考数学（理科）试卷解答一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1．计算：ii13=1-2i（i为虚数单位）.2．若集合}012|{xxA，}21|{xxB，则BA=)3,(21.3．函数1sincos2)(xxxf的值域是],[2325.4．若)1,2(n是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为arctan2（结果用反三角函数值表示）.5．在6)2(xx的二项展开式中，常数项等于-160.6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,…,Vn,…，则)(lim21nnVVV78.7．已知函数||)(axexf（a为常数）.若)(xf在区间[1,+)上是增函数，则a的取值范围是(-,1].8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为33.9．已知2)(xxfy是奇函数，且1)1(f.若2)()(xfxg，则)1(g-1.10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M的直线l与极轴的夹角6.若将l的极坐标方程写成)(f的形式，则)(f)sin(16.11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是32（结果用最简分数表示）.12．在平行四边形ABCD中，∠A=3,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足||||||||CDCNBCBM，则ANAM的取值范围是[2,5].13．已知函数)(xfy的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(21,5)，C(1,0).ABCDxOMl函数)10()(xxxfy的图像与x轴围成的图形的面积为45.14．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是12232cac.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15．若i21是关于x的实系数方程02cbxx的一个复数根，则（B）（A）3,2cb.（B）3,2cb.（C）1,2cb.（D）1,2cb.16．在ABC中，若CBA222sinsinsin，则ABC的形状是（C）（A）锐角三角形.（B）直角三角形.（C）钝角三角形.（D）不能确定.17．设443211010xxxx，5510x.随机变量1取值1x、2x、3x、4x、5x的概率均为0.2，随机变量2取值221xx、232xx、243xx、254xx、215xx的概率也为0.2.若记1D、2D分别为1、2的方差，则（A）（A）1D＞2D.（B）1D＝2D.（C）1D＜2D.（D）1D与2D的大小关系与1x、2x、3x、4x的取值有关.18．设251sinnnna，nnaaaS21.在10021,,,SSS中，正数的个数是（D）（A）25.（B）50.（C）75.（D）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，AD=22，PA=2.求：（1）三角形PCD的面积；（6分）（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）[解]（1）因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD.……3分因为PD=32)22(222，CD=2，所以三角形PCD的面积为3232221.……6分ABCDPEABCDPExyz（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(2,22,0)，E(1,2,1)，)1,2,1(AE，)0,22,0(BC.……8分设AE与BC的夹角为，则222224||||cosBCAEBCAE，=4.由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是4……12分[解法二]取PB中点F，连接EF、AF，则EF∥BC，从而∠AEF（或其补角）是异面直线BC与AE所成的角……8分在AEF中，由EF=2、AF=2、AE=2知AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF=4.因此异面直线BC与AE所成的角的大小是4……12分20．已知函数)1lg()(xxf.（1）若1)()21(0xfxf，求x的取值范围；（6分）（2）若)(xg是以2为周期的偶函数，且当10x时，有)()(xfxg，求函数)(xgy])2,1[(x的反函数.（8分）[解]（1）由01022xx，得11x.由1lg)1lg()22lg(0122xxxx得101122xx.……3分因为01x，所以1010221xxx，3132x.由313211xx得3132x.……6分（2）当x[1,2]时，2-x[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(xxfxgxgxgy.……10分由单调性可得]2lg,0[y.因为yx103，所以所求反函数是xy103，]2lg,0[x.……14分ABCDPEF21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912xy；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为.（1）当5.0t时，写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）[解]（1）5.0t时，P的横坐标xP=277t，代入抛物线方程24912xy中，得P的纵坐标yP=3.……2分由|AP|=2949，得救援船速度的大小为949海里/时.……4分由tan∠OAP=30712327，得∠OAP=arctan307，故救援船速度的方向为北偏东arctan307弧度.……6分（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为)12,7(2tt.由222)1212()7(ttvt，整理得337)(1442122ttv.……10分因为2212tt，当且仅当t=1时等号成立，所以22253372144v，即25v.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.……14分22．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线12:221yxC.（1）过1C的左顶点引1C的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（4分）（2）设斜率为1的直线l交1C于P、Q两点，若l与圆122yx相切，求证：OP⊥OQ；（6分）（3）设椭圆14:222yxC.若M、N分别是1C、2C上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值.（6分）[解]（1）双曲线1:21212yCx，左顶点)0,(22A，渐近线方程：xy2.过点A与渐近线xy2平行的直线方程为)(222xy，即12xy.xOyPA解方程组122xyxy，得2142yx.……2分所以所求三角形的面积1为8221||||yOAS.……4分（2）设直线PQ的方程是bxy.因直线与已知圆相切，故12||b，即22b.……6分由1222yxbxy，得01222bbxx.设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则1222121bxxbxx.又2，所以221212121)(2bxxbxxyyxxOQOP022)1(2222bbbbb，故OP⊥OQ.……10分（3）当直线ON垂直于x轴时，|ON|=1，|OM|=22，则O到直线MN的距离为33.当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为kxy（显然22||k），则直线OM的方程为xyk1.由1422yxkxy，得22242412kkkyx，所以22412||kkON.同理121222||kkOM.……13分设O到直线MN的距离为d，因为22222||||)|||(|ONOMdONOM，所以1)1(f，即d=33.综上，O到直线MN的距离是定值.……16分23．对于数集},,,,1{21nxxxX，其中nxxx210，2n，定义向量集},),,(|{XtXstsaaY.若对于任意Ya1，存在Ya2，使得021aa，则称X具有性质P.例如}2,1,1{X具有性质P.（1）若x＞2，且},2,1,1{x，求x的值；（4分）（2）若X具有性质P，求证：1X，且当xn＞1时，x1=1；（6分）（3）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列nxxx,,,21的通项公式.（8分）[解]（1）选取)2,(1xa，Y中与1a垂直的元素必有形式),1(b.……2分所以x=2b，从而x=4.……4分（2）证明：取Yxxa),(111.设Ytsa),(2满足021aa.由0)(1xts得0ts，所以s、t异号.因为-1是X中唯一的负数，所以s、t中之一为-1，另一为1，故1X.……7分假设1kx，其中nk1，则nxx101.选取Yxxan),(11，并设Ytsa),(2满足021aa，即01ntxsx，则s、t异号，从而s、t之中恰有一个为-1.若s=-1，则2，矛盾；若t=-1，则nnxssxx1，矛盾.所以x1=1.……10分（3）[解法一]猜测1iiqx，i=1,2,…,n.……12分记},,,1,1{2kkxxA，k=2,3,…,n.先证明：若1kA具有性质P，则kA也具有性质P.任取),(1tsa，s、tkA.当s、t中出现-1时，显然有2a满足021aa；当1s且1t时，s、t≥1.因为1kA具有性质P，所以有),(112tsa，1s、1t1kA，使得021aa，从而1s和1t中有一个是-1，不妨设1s=-1.假设1t1kA且1tkA，则11kxt.由0),1(),(1kxts，得11kkxtxs，与skA矛盾.所以1tkA.从而kA也具有性质P.……15分现用数学归纳法证明：1iiqx，i=1,2,…,n.当n=2时，结论显然成立；假设n=k时，},,,1,1{2kkxxA有性质P，则1iiqx，i=1,2,…,k；当n=k+1时，若},,,,1,1{121kkkxxxA有性质P，则},,,1,1{2kkxxA也有性质P，所以},,,,1,1{111kkkxqqA.取),(11qxak，并设),(2tsa满足021aa，即01qtsxk.由此可得s与t中有且只有一个为-1.若1t，则1，不可能；所以1s，kkkqqqqtx11，又11kkqx，所以kkqx1.综上所述，1iiqx1iiqx，i=1,2,…,n.……18分[解法二]设),(111tsa，),(222tsa，则021aa等价于2211stts.记|}|||,,|{tsXtXsBts，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于原点对称.……14分注意到-1是X中的唯一负数，},,,{)0,(32nxxxB共有n-1个数，所以),0(B也只有n-1个数.由于1221xxxxxxxxnnnnnn，已有n-1个数，对以下三角数阵1221xxxxxxxxnnnnnn113121xxxxxxnnnnn……12xx注意到12111xxxxxxnn，所以12211xxxxxxnnnn，从而数列的通项公式为111)(12kkxxkqxx，k=1,2,…,n.……18分