2012届高考数学(理科)考前60天冲刺《导数专练》

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2012届高考数学（理）考前60天冲刺【六大解答题】导数专练1、已知函数()ln,()()6ln,afxxgxfxaxxx其中aR。（1）当1a时，判断()fx的单调性；（2）若()gx在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；（3）设函数2()4,2hxxmxa当时,若12(0,1),[1,2],xx总有12()()gxhx成立，求实数m2.已知函数)1(ln)(xaxxf，a∈R．(I)讨论函数)(xf的单调性；(Ⅱ)当1x时，)(xf≤1lnxx恒成立，求a的取值范围．3.已知函数()ln3()fxaxaxaR．（I）当1a时，求函数()fx的单调区间；（II）若函数()yfx的图象在点(2,(2))f处的切线的倾斜角为45o，问：m在什么范围取值时，对于任意的[1,2]t，函数32()[()]2mgxxxfx在区间(,3)t上总存在极值？4.已知三次函数)(xf的导函数axxxf33)(2，bf)0(，a．b为实数。m]（Ⅰ）若曲线y)(xf在点（1a，)1(af）处切线的斜率为12，求a的值；（Ⅱ）若)(xf在区间［-1，1］上的最小值．最大值分别为-2．1，且21a，求函数)(xf的解析式。5.已知函数22()lnaxfxxe，（aeR,为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数()fx的递增区间；（Ⅱ）当1a时，过点(0,)Pt()tR作曲线()yfx的两条切线，设两切点为111(,())Pxfx，222(,())Pxfx12()xx，求证12xx为定值，并求出该定值。6.已知函数xxxgkxxfln)(,)(（1）求函数xxxgln)(的单调区间；（2）若不等式)()(xgxf在区间),0(上恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：enn21ln33ln22ln4447.已知函数1()xaxfxe.（Ⅰ）当1a时，求()fx的单调区间；（Ⅱ）若对任意1,22t，()ftt恒成立，求实数a的取值范围．8.已知函数()ln,fxaxxaR(Ⅰ)求函数()fx的单调区间;(Ⅱ)是否存在实数a,使不等式2()fxax对(1,)x恒成立,若存在,求实数a的取值范围,若不存在,请说明理由.9设函数21()ln().2afxxaxxaR(Ⅰ)当1a时，求函数()fx的极值；（Ⅱ）当1a时，讨论函数()fx的单调性.（Ⅲ）若对任意(2,3)a及任意12,[1,2]xx，恒有12ln2()()mafxfx成立，求实数m的取值范围.10.设函数21()ln().2afxxaxxaR(Ⅰ)当1a时，求函数()fx的极值；（Ⅱ）当1a时，讨论函数()fx的单调性.（Ⅲ）若对任意(2,3)a及任意12,[1,2]xx，恒有12ln2()()mafxfx成立，求实数m的取值范围.11.已知函数xxbaxxfln2)(．（Ⅰ）若函数)(xf在1x，21x处取得极值，求a，b的值；（Ⅱ）若(1)2f，函数)(xf在),0(上是单调函数，求a的取值范围．12.设323()1312fxxaxax．（1）若函数()fx在区间1,4内单调递减，求a的取值范围；（2）若函数()fxxa在处取得极小值是1，求a的值，并说明在区间1,4内函数()fx的单调性．14.已知三次函数)(xf的导函数axxxf33)(2，bf)0(，a．b为实数。m]（Ⅰ）若曲线y)(xf在点（1a，)1(af）处切线的斜率为12，求a的值；（Ⅱ）若)(xf在区间［-1，1］上的最小值．最大值分别为-2．1，且21a，求函数)(xf的解析式。15.已知函数f(x)=21x2－ax+(a－1)lnx，1a．(Ⅰ)若2a，讨论函数()fx的单调性；（II）已知a=1，3()2()gxfxx，若数列{an}的前n项和为()nSgn，证明：231111(2,)3nnnNaaa．16.已知()2lnbfxaxxx在1x与12x处都取得极值。（I）求a，b的值；（Ⅱ）若对1[,1]4x时，()fxc恒成立，求实数c的取值范围。17.已知函数f(x)＝13x3＋ax2＋bx，a,bR．(Ⅰ)曲线C：y＝f(x)经过点P(1，2)，且曲线C在点P处的切线平行于直线y＝2x＋1，求a，b的值；(Ⅱ)已知f(x)在区间(1，2)内存在两个极值点，求证：0＜a＋b＜2．18.已知函数f(x)=21x2-ax+(a-1)lnx，1a。（1）讨论函数()fx的单调性；（2）证明：若5a，则对任意x1，x2(0,)，x1x2，有1212()()1fxfxxx。19．已知xxxgexxaxxfln)(],,0(,ln)(，其中e是自然常数，.aR（Ⅰ）当1a时,研究()fx的单调性与极值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：1()()2fxgx；（Ⅲ）是否存在实数a，使()fx的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．20.设函数()|1||1|fxxax=+++，已知)1()1(ff，且)1()1(afaf（a∈R，且a≠0），函数32()gxaxbxcx（b∈R，c为正整数）有两个不同的极值点，且该函数图象上取得极值的两点A、B与坐标原点O在同一直线上。（1）试求a、b的值；（2）若0x时，函数()gx的图象恒在函数()fx图象的下方，求正整数c的值。22.已知函数f(x)＝x2＋bsinx－2(b∈R)，F(x)＝f(x)＋2，且对于任意实数x，恒有F(x)－F(－x)＝0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知函数g(x)＝f(x)＋2(x＋1)＋alnx在区间(0,1)上单调递减，求实数a的取值范围．23.已知()2lnbfxaxxx在1x与12x处都取得极值。(Ⅰ)若1x为()fx的极大值点，求()fx的单调区间（用c表示）；(Ⅱ)若()0fx恰有两解，求实数c的取值范围．25.已知抛物线)0(2:2ppyxC的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为1x)0(1x，过点A作抛物线C的切线1l交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线:2ply于点M，当2||FD时，60AFD．（Ⅰ）求证：AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程；（Ⅱ）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线2l交直线1l于点P，交直线l于点N，26.已知函数（x）=1xa,a是正常数。（1）若f(x)=（x）+lnx,且a=29,求函数f(x)的单调递增区间；（2）若g(x)=∣lnx∣+（x）,且对任意的x1,x2∈（0,2〕，且x1≠x2，都有1212x)()(xxgxg＜-1，求a的取值范围27.已知函数)(ln21)(2Raxaxxf（1）求)(xf的单调区间；（2）设xxfxg2)()(，若)(xg在],1[e上不单调且仅在ex处取得最大值，求a的取值范围．27.已知函数baRxxbxaxxf,,()(23是常数)，且当1x和2x时，函数)(xf取得极值（Ⅰ）求函数)(xf的解析式；（Ⅱ）若曲线)(xfy与)02(3)(xmxxg有两个不同的交点，求实数m的取值范围28.已知抛物线D的顶点是椭圆13422yx的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.(1)求抛物线D的方程;(2)已知动直线l过点0,4P,交抛物线D于A、B两点.i若直线l的斜率为1,求AB的长;ii是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由.29.已知函数1)(2xbxaxxf在处取得极值2。（1）求函数)(xf的表达式；（2）当m满足什么条件时，函数)(xf在区间)12,(mm上单调递增？（3）若),(00yxP为bxaxxf2)(图象上任意一点，直线l与bxaxxf2)(的图象切于点P，求直线l的斜率k的取值范围。30.已知动圆G过点F(，0)，且与直线l：x＝－相切，动圆圆心G的轨迹为曲线E.曲线E上的两个动点A(x1，y1)和B(x2，y2).(1)求曲线E的方程；(2)已知·＝－9(O为坐标原点)，探究直线AB是否恒过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过，请说明理由.(3)已知线段AB的垂直平分线交x轴于点C，其中x1≠x2且x1＋x2＝4.求△ABC面积的最大值.31.已知函数xaxxfln)(2(a为实常数).(1)若2a，求证：函数)(xf在(1，+．∞)上是增函数；(2)求函数)(xf在[1，e]上的最小值及相应的x值；(3)若存在],1[ex，使得xaxf)2()(成立，求实数a的取值范围.32.设2()1xefxax，其中a为正实数.(1)当43a时，求()fx的极值点；(2)若()fx为R上的单调函数，求a的取值范围.答案1、已知函数()ln,()()6ln,afxxgxfxaxxx其中aR。（1）当1a时，判断()fx的单调性；（2）若()gx在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；（3）设函数2()4,2hxxmxa当时,若12(0,1),[1,2],xx总有12()()gxhx成立，求实数m的取值范围。答案：解析：由()ln,()afxxfxx得的定义域为(0,+)，2\'(),xafxx当1a时，21\'()0(0),xfxxx()fx在（0,）上单调递增。（2）由已知得，5()5ln,gxaxxx其定义域为（0,），22255\'().aaxxagxaxxx因为()gx在其定义域内为增函数，所以(0,),\'()0,xgx即22550,.1xaxxaax则而2555112xxxx，当且仅当x=1时，等号成立，所以52a（3）当a=2时，222252()25ln,\'(),xxgxxxgxxx由\'()0gx得，12x或2x，当1(0,)2x时，1()0;(,1)()02gxxgx当时,所以在（0，1）上，max1()()35ln22gxg而“1212(0,1),[1,2],()()xxgxhx总有成立”等价于“()gx在（0，1）上的最大值不小于()hx在[1,2]上的最大值”。又()[1,2](1),(2)hxhh在上的最大值为max{},2.已知函数)1(ln)(xaxxf，a∈R．(I)讨论函数)(xf的单调性；(Ⅱ)当1x时，)(xf≤1lnxx恒成立，求a的取值范围．解：(Ⅰ)若1a时，xxxf1)(/，(0x)………………2分由0)(/xf得012xx，又0x解得1x，所以函数)(xf的单调递增区间为),1(．…………4分(Ⅱ)依题意得0ln)(xxf,即0lnln212xxax，∴221ln)1(xxa，∵1x，∴0lnx，∴xxaln2112，∴max2)ln21(1xxa…………6分设)(xgxxln212，2/)(ln21ln)(xxxxxg，令0)(/xg，解得21ex当211ex时，0)(/xg，)(xg在),0(21e单调递增；…………8分当21ex时，0)(/xg，)(xg在),(21e单调递减；…………10分∴max)(xg=eeg)(21，∴ea1即ea1．3.已知函数()ln3()fxaxaxaR．（I）当1a时，求函数()fx的单调区间；（II）若函数()yfx的图象在点(2,(2))f处的切线的倾斜角为45o，问：m在什么范围取值时，对于任意的[1,2]t，函数32()[()]2mgxxxfx在区间(,3)t上总存在极值？()(0)afxaxx（I）当1a时，11()1xfxxx，…………………………………2分令()0fx时，解得01x，所以()fx在（0，1）上单调递增；……4分令()0fx时，解得1x，所以()fx在（1，+∞）上单调递减．………6分（II）因为函数()yfx的图象在点（2，(2)f）处的切线的倾斜角为45o，所以(2)1f．所以2a，2()2fxx．………………………………………………8分322()[2]2mgxxxx32(2)22mxxx，2()3(4)2gxxmx，……………………………………………10分因为任意的[1,2]t，函数32()[()]2mgxxxfx在区间(,3)t上总存在极值，所以只需(2)0,(3)0,gg……………………………………………………12分解得3793m．………………………………………………………14分4.已知三次函数)(xf的导函数axxxf33)(2，bf)0(，a．b为实数。m]（Ⅰ）若曲线y)(xf在点（1a，)1(af）处切线的斜率为12，求a的值；（Ⅱ）若)(xf在区间［-1，1］上的最小值．最大值分别为-2．1，且21a，求函数)(xf的解析式。解析：（Ⅰ）由导数的几何意义)1(af=12……………1分∴12)1(3)1(32aaa……………2分∴93a∴3a………………………3分（Ⅱ）∵axxxf33)(2，bf)0(∴baxxxf2323)(……5分由0)(3)(axxxf得01x，ax2∵x［-1，1］，21a∴当x［-1，0）时，0)(xf，)(xf递增；当x（0，1］时，0)(xf，)(xf递减。……………8分∴)(xf在区间［-1，1］上的最大值为)0(f∵bf)0(，∴b=1……………………10分∵aaf2321231)1(，aaf231231)1(∴)1()1(ff∴)1(f是函数)(xf的最小值，∴223a∴34a∴)(xf=1223xx5.已知函数22()lnaxfxxe，（aeR,为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数()fx的递增区间；（Ⅱ）当1a时，过点(0,)Pt()tR作曲线()yfx的两条切线，设两切点为111(,())Pxfx，222(,())Pxfx12()xx，求证12xx为定值，并求出该定值。解：（Ⅰ）函数()fx的定义域是(,0)(0,)．222()()aeaxfxxeex……………………………………………….2分当0a时，由2()0fxx，解得0x；当0a时，由2()()0eaxfxex，解得0exa；当0a时，由2()()0eaxfxex，解得0x，或exa．-------------4分所以当0a时，函数()fx的递增区间是(0,)；当0a时，函数()fx的递增区间是(0,)ea；当0a时，函数()fx的递增区间是(,)ea，(0,)．…………….6分（Ⅱ）因为222()()exfxxeex，所以以111(,())Pxfx为切点的切线的斜率为112()exex；以222(,())Pxfx为切点的切线的斜率为222()exex．………………………….8分又因为切线过点(0,)Pt，所以21111122()ln(0)xextxxeex；22222222()ln(0)xextxxeex…………………………………………..10分解得，221txe，222txe.则2212xx.由已知12xx¹,从而有120xx+=．所以12xx为定值0.6.已知函数xxxgkxxfln)(,)(（1）求函数xxxgln)(的单调区间；（2）若不等式)()(xgxf在区间),0(上恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：enn21ln33ln22ln444解：（Ⅰ）xxxgln)(，故其定义域为),0(2ln-1)(xxxg‘，令)(xg‘>0,得ex0，令)(xg‘<0,得ex故函数xxxgln)(的单调递增区间为),0(e单调递减区间为),(e…………4分（Ⅱ）,ln,0xxkxx2lnxxk，令2ln)(xxxh又3ln2-1)(xxxh‘，令0)(xh‘解得ex当x在),0(内变化时，)(xh‘，)(xh变化如下表x),0(ee),(exh(‘)+0-)(xh↗e21↘由表知，当ex时函数)(xh有最大值，且最大值为e21所以，e21k…………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知e21ln2xx)2(1e21ln24xxxx)13121(21ln33ln22ln222444nennnnn)1(132121113121222111)111()3121()211(nnnenenn21)13121(21ln33ln22ln222444即enn21ln33ln22ln4447.已知函数1()xaxfxe.（Ⅰ）当1a时，求()fx的单调区间；（Ⅱ）若对任意1,22t，()ftt恒成立，求实数a的取值范围．（I）当1a时，1()xxfxe2()xxfxe………………………………………………………………2分由()0fx得2,x()0fx得2x()fx的单调递增区间为(,2)，单调递减区间为(2,).………………4分（II）若对任意1,22t，使得()ftt恒成立，则1,22x时，1xaxxe>恒成立，即1,22x时，1xaex恒成立………………………………6分设1()xgxex，1[,2]2x，则21()xgxex，1[,2]2x设21()xhxex，Q32()0xhxex在1[,2]2x上恒成立()hx在1[,2]2x上单调递增即21()xgxex在1[,2]2x上单调递增………………8分121()402geQ，21(2)04geQ21()xgxex在1[,2]2有零点m21()xgxex在1[,]2m上单调递减，在(,2]m上单调递增……………10分1()2(2)agag，即2212aeae，212ae8.已知函数()ln,fxaxxaR(Ⅰ)求函数()fx的单调区间;(Ⅱ)是否存在实数a,使不等式2()fxax对(1,)x恒成立,若存在,求实数a的取值范围,若不存在,请说明理由.【解】(Ⅰ)1\'(),0fxaxx……………………1分①当0a时,\'()0fx,函数()fx在(0,)内是增函数,即函数的单调增区间为(0,)……………………2分②当0a时,令\'()0,fx得10xa,且1(0,)xa时,\'()0,fx又1(,)xa时,\'()0,fx…………4分所以函数()fx递增区间为1(0,)a,递减区间为1(,)a.……………5分(Ⅱ)假设存在这样的实数a,使不等式2()fxax对(1,)x恒成立即2ln0(1)axaxxx恒成立.令2()ln(1)hxaxaxxx,则(1)0h,且()0(1)hxx恒成立…………………………6分2121()2axaxhxaxaxx……………………………7分①当0a时,1()0hxx,则函数()hx在[1,)上单调递减,于是()(1)0hxh与()0(1)hxx矛盾,故舍去.……………………8分②当0a时,21()ln(1)ln()hxaxaxxaxxxx而当1x时,由函数2yaxax和lnyx都单调递减.且由图象可知,x趋向正无穷大时,1()(1)lnhxaxxx趋向于负无穷大.这与()0(1)hxx恒成立矛盾,故舍去.…………10分(注:若考生给出抛物线2,lnyaxaxyx草图以说明,如右,同样也按该步骤应得分给分)③当0a时,221()0axaxhxx等价于2210axax(280aa)记其两根为120xx(这是因为12102xxa)易知12(,)xxx时,()0hx,而2(,)xx时,()0hx,(i)若21x时,则函数()hx在2(1,)x上递减,于是()(1)0hxh矛盾,舍去;………11分(ii)若21x时,则函数()hx在(1,)上递增,于是()(1)0hxh恒成立.所以201x,即2281(0)4aaaxaa,解得1a………………12分综上①②③可知,存在这样的实数1a,使不等式2()fxax对(1,)x恒成立…………13分9设函数21()ln().2afxxaxxaR(Ⅰ)当1a时，求函数()fx的极值；（Ⅱ）当1a时，讨论函数()fx的单调性.（Ⅲ）若对任意(2,3)a及任意12,[1,2]xx，恒有12ln2()()mafxfx成立，求实数m的取值范围.解：(Ⅰ)函数的定义域为(0,).当1a时，\'11()ln,()1.xfxxxfxxx令\'()0,fx得1x.当01x时，\'()0;fx当1x时，\'()0.fx()=(1)1,fxf极小值无极大值.4分（Ⅱ）\'1()(1)fxaxax2(1)1axaxx[(1)1](1)axxxy=lnx(x>1)y=ax2-ax(a<0)xOy1(1)()(1)1axxax5分当111a，即2a时，2\'(1)()0,xfxx()fx在(0,)上是减函数；当111a，即2a时，令\'()0,fx得101xa或1;x令\'()0,fx得11.1xa当111a，即12a时，令\'()0,fx得01x或1;1xa令\'()0,fx得11.1xa7分综上，当2a时，()fx在定义域上是减函数；当2a时，()fx在1(0,)1a和(1,)单调递减，在1(,1)1a上单调递增；当12a时，()fx在(0,1)和1(,)1a单调递减，在1(1,)1a上单调递8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当(2,3)a时，()fx在[1,2]上单调递减，当1x时，()fx有最大值，当2x时，()fx有最小值.123()()(1)(2)ln222afxfxffln2ma3ln222a10分而0a经整理得1322ma由23a得1130422a，所以0.m10.设函数21()ln().2afxxaxxaR(Ⅰ)当1a时，求函数()fx的极值；（Ⅱ）当1a时，讨论函数()fx的单调性.（Ⅲ）若对任意(2,3)a及任意12,[1,2]xx，恒有12ln2()()mafxfx成立，求实数m的取值范围.解：(Ⅰ)函数的定义域为(0,).当1a时，\'11()ln,()1.xfxxxfxxx令\'()0,fx得1x.当01x时，\'()0;fx当1x时，\'()0.fx()=(1)1,fxf极小值无极大值.4分（Ⅱ）\'1()(1)fxaxax2(1)1axaxx[(1)1](1)axxx1(1)()(1)1axxax5分当111a，即2a时，2\'(1)()0,xfxx()fx在(0,)上是减函数；当111a，即2a时，令\'()0,fx得101xa或1;x令\'()0,fx得11.1xa当111a，即12a时，令\'()0,fx得01x或1;1xa令\'()0,fx得11.1xa7分综上，当2a时，()fx在定义域上是减函数；当2a时，()fx在1(0,)1a和(1,)单调递减，在1(,1)1a上单调递增；当12a时，()fx在(0,1)和1(,)1a单调递减，在1(1,)1a上单调递8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当(2,3)a时，()fx在[1,2]上单调递减，当1x时，()fx有最大值，当2x时，()fx有最小值.123()()(1)(2)ln222afxfxffln2ma3ln222a10分而0a经整理得1322ma由23a得1130422a，所以0.m解(Ⅰ)可知()fx的定义域为(0,)．有2/11(1)[(1)]()axaxaxxafxxaxxx————2分因为2a，所以11a．故当11xa时/()0fx；当01x或1xa时/()0fx．综上，函数()fx在区间(1,1)a上单调递减，在区间(0,1)和(1,)a上单调增加.——————6分（II）由1a，知32()2gxxxx，所以322nSnnn．可得2232,(2)320,(1)nnnnannn．　　　　　　——————８分所以11(2)(32)(1)nnann．因为11111()(32)(1)3(1)31nnnnnn　　　　　——————11分所以23111111111[(1)()()]32231naaann11111(1)3333nn综上，不等式得证．——————14分11.已知函数xxbaxxfln2)(．（Ⅰ）若函数)(xf在1x，21x处取得极值，求a，b的值；（Ⅱ）若(1)2f，函数)(xf在),0(上是单调函数，求a的取值范围．21解：（Ⅰ）21()2bfxaxx，由(1)01()02ff，可得1313ab．（Ⅱ）函数)(xf的定义域是),0(，因为(1)2f，所以12ab．所以2222(21)(1)[2(21)]()axxaxaxafxxx要使)(xf在),0(上是单调函数，只要()0fx≥或()0fx≤在),0(上恒成立．……………………10分当0a时，21()0xfxx恒成立，所以)(xf在),0(上是单调函数；当0a时，令()0fx，得11x，12112122aaax，此时)(xf在),0(上不是单调函数；当0a时，要使)(xf在),0(上是单调函数，只要120a≥，即102a≤综上所述，a的取值范围是1[0,]2a．12.设323()1312fxxaxax．（1）若函数()fx在区间1,4内单调递减，求a的取值范围；（2）若函数()fxxa在处取得极小值是1，求a的值，并说明在区间1,4内函数()fx的单调性．解：2331331fxxaxaxxa（1）∵函数fx在区间1,4内单调递减，∵(4)0f≤，∴4,a．…………5分（2）∵函数fx在xa处有极值是1，∴()1fa．即3223231313111222aaaaaa．∴2(3)0aa，所以0a或3．…………9分当0a时，fx在,0上单调递增，在0,1上单调递减，所以0f为极大值，这与函数fx在xa处取得极小值是1矛盾，所以0a．当3a时，fx在1,3上单调递减，在3,上单调递增，即3f为极小值，所以3a时，此时，在区间1,4内函数fx的单调性是：fx在1,3内减，在3,4内增．13.已知函数()ln()1afxxaxR．（1）当29a时，如果函数kxfxg)()(仅有一个零点，求实数k的取值范围；（2）当2a时，试比较)(xf与1的大小；（3）求证：121715131)1ln(nn（n*N）．解：（1）当29a时，)1(29ln)(xxxf，定义域是),0(，22)1(2)2)(12()1(291)(xxxxxxxf，令0)(xf，得21x或2x．当210x或2x时，0)(xf，当221x时，0)(xf，函数)(xf在)21,0(．),2(上单调递增，在)2,21(上单调递减．)(xf的极大值是2ln3)21(f，极小值是2ln23)2(f．当0x时，)(xf；当x时，)(xf，当)(xg仅有一个零点时，k的取值范围是2ln3k或2ln23k．（2）当2a时，12ln)(xxxf，定义域为),0(．令112ln1)()(xxxfxh，0)1(1)1(21)(222xxxxxxh，)(xh在),0(上是增函数．①当1x时，0)1()(hxh，即1)(xf；②当10x时，0)1()(hxh，即1)(xf；③当1x时，0)1()(hxh，即1)(xf．（3）（法一）根据（2）的结论，当1x时，112lnxx，即11lnxxx．令kkx1，则有1211lnkkk，nknkkkk111211ln．nkkkn11ln)1ln(，1215131)1ln(nn．14.已知三次函数)(xf的导函数axxxf33)(2，bf)0(，a．b为实数。m]（Ⅰ）若曲线y)(xf在点（1a，)1(af）处切线的斜率为12，求a的值；（Ⅱ）若)(xf在区间［-1，1］上的最小值．最大值分别为-2．1，且21a，求函数)(xf的解析式。解析：（Ⅰ）由导数的几何意义)1(af=12……………1分∴12)1(3)1(32aaa……………2分∴93a∴3a………………………3分（Ⅱ）∵axxxf33)(2，bf)0(∴baxxxf2323)(……5分由0)(3)(axxxf得01x，ax2∵x［-1，1］，21a∴当x［-1，0）时，0)(xf，)(xf递增；当x（0，1］时，0)(xf，)(xf递减。……………8分∴)(xf在区间［-1，1］上的最大值为)0(f∵bf)0(，∴b=1……………………10分∵aaf2321231)1(，aaf231231)1(∴)1()1(ff∴)1(f是函数)(xf的最小值，∴223a∴34a∴)(xf=1223xx………………12分15.已知函数f(x)=21x2－ax+(a－1)lnx，1a．(Ⅰ)若2a，讨论函数()fx的单调性；（II）已知a=1，3()2()gxfxx，若数列{an}的前n项和为()nSgn，证明：231111(2,)3nnnNaaa．解(Ⅰ)可知()fx的定义域为(0,)．有2/11(1)[(1)]()axaxaxxafxxaxxx————2分因为2a，所以11a．故当11xa时/()0fx；当01x或1xa时/()0fx．综上，函数()fx在区间(1,1)a上单调递减，在区间(0,1)和(1,)a上单调增加.——————6分（II）由1a，知32()2gxxxx，所以322nSnnn．可得2232,(2)320,(1)nnnnannn．　　　　　　——————８分所以11(2)(32)(1)nnann．因为11111()(32)(1)3(1)31nnnnnn　　　　　——————11分所以23111111111[(1)()()]32231naaann11111(1)3333nn综上，不等式得证．——————14分16.已知()2lnbfxaxxx在1x与12x处都取得极值。（I）求a，b的值；（Ⅱ）若对1[,1]4x时，()fxc恒成立，求实数c的取值范围。解：（1）21()2ln,\'()2bbfxaxxfxaxxx()2lnbfxaxxx在1x与12x处都取得极值\'(1)0f，1\'()02f。2102420abab，即13ab--------------7分（2）由（1）可知21()ln33fxxxx，令22211(21)(1)\'()0333xxfxxxx得1x或12x1[,1]4x，()fx在11[,]42上单调递减，在1[,1]2上单调递增。--------------10分171()ln4,(1),463ff而1715()(1)(ln4)()ln41ln404636ff，所以1()(1)4ff，即()fx在1[,1]4上的最大值为13。--------------15分要使对任意[1,4]x时，()fxc恒成立，必须13c。17.已知函数f(x)＝13x3＋ax2＋bx，a,bR．(Ⅰ)曲线C：y＝f(x)经过点P(1，2)，且曲线C在点P处的切线平行于直线y＝2x＋1，求a，b的值；(Ⅱ)已知f(x)在区间(1，2)内存在两个极值点，求证：0＜a＋b＜2．(Ⅰ)解:)(xf＝22xaxb，由题设知：1(1)2,3(1)122,fabfab解得2,37.3ab…………6分(Ⅱ)解：因为()fx在区间(1,2)内存在两个极值点，所以()0fx，即220xaxb在(1,2)内有两个不等的实根．故2(1)120,(1)(2)440,(2)12,(3)4()0.(4)fabfabaab由(1)+(3)得0ab.由（4）得2abaa，因21a，故2211()224aaa，从而2ab.所以02ab．18.已知函数f(x)=21x2-ax+(a-1)lnx，1a。（1）讨论函数()fx的单调性；（2）证明：若5a，则对任意x1，x2(0,)，x1x2，有1212()()1fxfxxx。解：(1)()fx的定义域为(0,)。2\'11(1)(1)()axaxaxxafxxaxxx2分（i）若11a即2a,则2\'(1)()xfxx故()fx在(0,)单调增加。(ii)若11a,而1a,故12a,则当(1,1)xa时，\'()0fx;当(0,1)xa及(1,)x时，\'()0fx故()fx在(1,1)a单调减少，在(0,1),(1,)a单调增加。(iii)若11a,即2a,同理可得()fx在(1,1)a单调减少，在(0,1),(1,)a单调增加.(II)考虑函数()()gxfxx21(1)ln2xaxaxx则211()(1)2(1)1(11)aagxxaxaaxxg由于10.y1y2＝，x1x2＝·＝＝.·＝x1x2＋y1y2＝＋＝－9，∴b2＋6kb＋9k2＝0，(b＋3k)2＝0，b＝－3k，满足Δ>0.∴直线AB方程为y＝kx－3k，即y＝k(x－3)，∴直线AB恒过定点(3,0).(7分)当直线AB垂直x轴时，可推得直线AB方程为x＝3，也过点(3,0).综上，直线AB恒过定点(3,0).(8分)(3)设线段AB的中点为M(x0，y0)，则x0＝＝2，y0＝，kAB＝＝＝＝.∴线段AB的垂直平分线的方程为y－y0＝－(x－2).令y＝0，得x＝5，故C(5,0)为定点.又直线AB的方程为y－y0＝(x－2)，与y2＝6x联立，消去x得y2－2y0y＋2y－12＝0.由韦达定理得y1＋y2＝2y0，y1y2＝2y－12.∴|AB|＝·|y1－y2|＝＝＝.又点C到直线AB的距离为h＝|CM|＝，∴S△ABC＝|AB|·h＝令t＝9＋y(t>9)，则12－y＝21－t.设f(t)＝(9＋y)2(12－y)＝t2(21－t)＝－t3＋21t2，则f′(t)＝－3t2＋42t＝－3t(t－14).当90；当t>14时，f′(t)<0.∴f(t)在(9,14)上单调递增，在(14，＋∞)上单调递减.∴当t＝14时，[f(t)]max＝142×7.故△ABC面积的最大值为.(13分)注：第(3)问也可由AB直线方程y＝kx＋b及x1＋x2＝4，推出b＝－2k，然后转化为求关于k的函数的最值问题.31.已知函数xaxxfln)(2(a为实常数).(1)若2a，求证：函数)(xf在(1，+．∞)上是增函数；(2)求函数)(xf在[1，e]上的最小值及相应的x值；(3)若存在],1[ex，使得xaxf)2()(成立，求实数a的取值范围.（1）当2a时，xxxfln2)(2，当),1(x，0)1(2)(2xxxf，故函数)(xf在),1(上是增函数．…………………………………………………4分（2）)0(2)(2xxaxxf，当],1[ex，]2,2[222eaaax．若2a，)(xf在],1[e上非负（仅当2a，x=1时，0)(xf），故函数)(xf在],1[e上是增函数，此时min)]([xf1)1(f．　………………………………………………6分若222ae，当2ax时，0)(xf；当21ax时，0)(xf，此时)(xf是减函数；当exa2时，0)(xf，此时)(xf是增函数．故min)]([xf)2(af2)2ln(2aaa．若22ea，)(xf在],1[e上非正（仅当2e2a，x=e时，0)(xf），故函数)(xf在],1[e上是减函数，此时)()]([minefxf2ea．……………………………………8分综上可知，当2a时，)(xf的最小值为1，相应的x值为1；当222ae时，)(xf的最小值为2)2ln(2aaa，相应的x值为2a；当22ea时，)(xf的最小值为2ea，相应的x值为e．……………………………………………………………………10分（3）不等式xaxf)2()(，可化为xxxxa2)ln(2．∵],1[ex,∴xx1ln且等号不能同时取，所以xxln，即0lnxx，因而xxxxaln22（],1[ex）………………………………………………12分令xxxxxgln2)(2（],1[ex），又2)ln()ln22)(1()(xxxxxxg，…………………14分当],1[ex时，1ln,01xx，0ln22xx，从而0)(xg（仅当x=1时取等号），所以)(xg在],1[e上为增函数，故)(xg的最小值为1)1(g，所以a的取值范围是),1[．………………………16分32.设2()1xefxax，其中a为正实数.(1)当43a时，求()fx的极值点；(2)若()fx为R上的单调函数，求a的取值范围.19解：(Ⅰ)当43a时，2()413xefxx∴2\'22483()4313xexxfxx令\'()0fx得1213,22xxx1,21213,22323,2\'()fx00()fx∴()fx的极大值点是12；极小值点是32(Ⅱ)2\'2221()1xeaxaxfxax∵()fx为R上的单调函数，且a为正实数∴2240aa即01a（1）a=1b=03分（2）∵xxtxlnln恒成立∴xxtln2恒成立xxhxxxhln22)(,ln2)(则令exxh1,0)(则令∴当0)(,10xhex时，∴)(xh的最小值为eeh2)1(∴et28分（3）mxmxmxmmxxxF)1)((11)(2，令)(xF=0，得mxmx1或当210m时，21m，mx为)(xF在区间（0,2）上的极大值点当121m时，211m，mxmx1和为)(xF在区间（0,2）上的极值点当1m时，)(xF在区间（0,2）上无极值点当21m时，1121m，mxmx1和为)(xF在区间（0,2）上的极值点当2m时，211m，mx1为)(xF在区间（0,2）上的极大值点当2m时，2110m，mx1为)(xF在区间（0,2）上的极大值点由以上可知：当121m或21m时，)(xF在区间（0,2）上有两个极值点当210m或2m时，)(xF在区间（0,2）上有一个极值点；当1m时，)(xF在区间（0,2）上无极值点