2017年高考数学知识方法专题11《数学方法第47练 配方法与待定系数法》

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第47练　配方法与待定系数法[题型分析·高考展望]　配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简.如何配方，需要我们根据题目的要求，合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，完全配方.配方法是数学中化归思想应用的重要方法之一.待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程.使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解.高考必会题型题型一　配方法例1　(1)设x∈[2，8]时，函数f(x)＝loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－，则a的值是________.(2)函数y＝cos2x＋2sinx的最大值为________.(3)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量OA＝(2，2)，OB＝(4，1)，在x轴上取一点P，使AP·BP有最小值，则P点的坐标是________.答案　(1)　(2)　(3)(3，0)解析　(1)由题意知f(x)＝(logax＋1)·(logax＋2)＝＝(logax＋)2－.当f(x)取最小值－时，logax＝－，又∵x∈[2，8]，∴a∈(0，1).∵f(x)是关于logax的二次函数，∴函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8处取得.若(loga2＋)2－＝1，则a＝2，f(x)取得最小值时，x＝(2)＝∉[2，8]，舍去.若(loga8＋)2－＝1，则a＝，f(x)取得最小值时，x＝()＝2∈[2，8]，∴a＝.(2)y＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2(sin2x－sinx)＋1＝－2(sinx－)2＋2×＋1＝－2(sinx－)2＋.因为－1≤sinx≤1，所以当sinx＝时，y取最大值，最大值为.(3)设P点坐标为(x，0)，则AP＝(x－2，－2)，BP＝(x－4，－1)，AP·BP＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，当x＝3时，AP·BP有最小值1，∴此时点P坐标为(3，0).点评　配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，具体操作时通过加上一次项系数一半的平方，配凑成完全平方式，注意要减去所添的项，最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方.它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解等问题.如：y＝x2＋bx＋c＝x2＋2×x＋()2－()2＋c＝(x＋)2＋，y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋x)＋c＝a[x2＋2×x＋()2－()2]＋c＝a(x＋)2＋.变式训练1　(1)若函数f(x)＝m－的定义域为[a，b]，值域为[a，b]，则实数m的取值范围是________.(2)已知函数y＝－sin2x＋asinx－＋的最大值为2，则a的值为________.(3)已知向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)，b＝(m，＋sinα)，其中λ，m，α为实数，若a＝2b，则的取值范围是________.答案　(1)－1，即a>2时，函数y＝－(t－)2＋(a2－a＋2)在[－1，1]上单调递增，所以由ymax＝－1＋a－a＋＝2，得a＝.③当<－1，即a<－2时，函数y＝－(t－)2＋(a2－a＋2)在[－1，1]上单调递减，所以由ymax＝－1－a－a＋＝2，得a＝－2(舍去).综上，可得a＝－2或a＝.(3)由题意知，2b＝(2m，m＋2sinα)，所以λ＋2＝2m，且λ2－cos2α＝m＋2sinα，于是2λ2－2cos2α＝λ＋2＋4sinα，即2λ2－λ＝－2sin2α＋4sinα＋4＝－2(sinα－1)2＋6，故－2≤2λ2－λ≤6，即解得－≤λ≤2，则＝＝2－∈[－6，1].题型二　待定系数法例2　(1)(2015·课标全国Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.答案　解析　∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则得解得λ＝μ＝.(2)是否存在常数a，b，c，使得等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论.解　假设存在a，b，c使得等式成立，令n＝1，得4＝(a＋b＋c)；令n＝2，得22＝(4a＋2b＋c)；令n＝3，得70＝9a＋3b＋c，整理得解得于是n＝1，2，3，等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝(3n2＋11n＋10)成立.下面用数学归纳法证明，对任意自然数n，该等式都成立.假设对n＝k时等式成立，即1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＝(3k2＋11k＋10)；当n＝k＋1时，1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2＝(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2＝(k＋2)(3k＋5)＋(k＋1)(k＋2)2＝(3k2＋5k＋12k＋24)＝[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]，也就是说，等式对n＝k＋1也成立.综上所述，当a＝3，b＝11，c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立.点评　使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题是含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.变式训练2　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，它们满足S4＝2S2＋8，b2＝，T2＝，且当n＝4或5时，Sn取得最小值.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)令cn＝(Sn－λ)(－Tn)，n∈N*，如果{cn}是单调数列，求实数λ的取值范围.解　(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，因为当n＝4或5时，Sn取得最小值，所以a5＝0，所以a1＝－4d，所以an＝(n－5)d，又由a3＋a4＝a1＋a2＋8，得d＝2，a1＝－8，所以an＝2n－10；由b2＝，T2＝得b1＝，所以q＝，所以bn＝.(2)由(1)得Sn＝n2－9n，Tn＝－，cn＝，当{cn}为递增数列时，cnn2－10n＋4恒成立，∴λ∈∅，当{cn}为递减数列时，cn>cn＋1，即λak－1且ak>ak＋1成立(其中k≥2，k∈N*)，则称ak为数列{an}的峰值，若an＝－3n2＋15n－18，则{an}的峰值为(　　)A.0B.4C.D.答案　A解析　因为an＝－3(n－)2＋，且n∈N*，所以当n＝2或n＝3时，an取最大值，最大值为a2＝a3＝0，故峰值为0.2.若点O和点F(－2，0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OP·FP的取值范围为______________.答案　[3＋2，＋∞)解析　由条件知a2＋1＝22＝4，∴a2＝3，∴双曲线方程为－y2＝1，设P点坐标为(x，y)，则OP＝(x，y)，FP＝(x＋2，y)，∵y2＝－1，∴OP·FP＝x2＋2x＋y2＝x2＋2x＋－1＝x2＋2x－1＝(x＋)2－.又∵x≥(P为右支上任意一点)，∴OP·FP≥3＋2.3.已知a为正的常数，若不等式≥1＋－对一切非负实数x恒成立，则a的最大值为________.答案　8解析　原不等式即≥1＋－，(*)令＝t，t≥1，则x＝t2－1，所以(*)即≥1＋－t＝＝对t≥1恒成立，所以≥对t≥1恒成立，又a为正的常数，所以a≤[2(t＋1)2]min＝8，故a的最大值是8.4.设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R，若e1，e2的夹角为，则的最大值等于________.答案　2解析　∵|b|2＝(xe1＋ye2)2＝x2＋y2＋2xye1·e2＝x2＋y2＋xy.∴＝，当x＝0时，＝0；当x≠0时，＝＝≤2.5.(2015·浙江)已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2＝，若空间向量b满足b·e1＝2，b·e2＝，且对于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，则x0＝__________，y0＝________，|b|＝________.答案　1　2　2解析　方法一　由题意得x＝x0，y＝y0时，|b－(xe1＋ye2)|取得最小值1，把|b－(xe1＋ye2)|平方，转化为|b|2＋x2＋y2＋xy－4x－5y，把x2＋y2＋xy－4x－5y看成关于x的二次函数，利用二次函数的性质确定最值及取最值的条件.对于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，说明当x＝x0，y＝y0时，|b－(xe1＋ye2)|取得最小值1.|b－(xe1＋ye2)|2＝|b|2＋(xe1＋ye2)2－2b·(xe1＋ye2)＝|b|2＋x2＋y2＋xy－4x－5y，要使|b|2＋x2＋y2＋xy－4x－5y取得最小值，需要把x2＋y2＋xy－4x－5y看成关于x的二次函数，即f(x)＝x2＋(y－4)x＋y2－5y，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x＝2－，所以当x＝2－时，f(x)取得最小值，代入化简得f(x)＝(y－2)2－7，显然当y＝2时，f(x)min＝－7，此时x＝2－＝1，所以x0＝1，y0＝2.此时|b|2－7＝1，可得|b|＝2.方法二　∵e1·e2＝|e1|·|e2|cos〈e1，e2〉＝，∴〈e1，e2〉＝.不妨设e1＝，e2＝(1，0，0)，b＝(m，n，t).由题意知解得n＝，m＝，∴b＝.∵b－(xe1＋ye2)＝，∴|b－(xe1＋ye2)|2＝2＋2＋t2＝x2＋xy＋y2－4x－5y＋t2＋7＝2＋(y－2)2＋t2.由题意知，当x＝x0＝1，y＝y0＝2时，2＋(y－2)2＋t2取到最小值.此时t2＝1，故|b|＝＝2.6.已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1，1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是________________.答案　(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析　由于对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，则f(x)的对称轴为x＝1，所以a＝2，f(x)＝－x2＋2x＋b2－b＋1＝－(x－1)2＋b2－b＋2，则f(x)在区间[－1，1]上单调递增，当x∈[－1，1]时，要使f(x)>0恒成立，只需f(－1)>0，即b2－b－2>0，则b<－1或b>2.7.(2015·陕西)若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________.答案　2解析　由于双曲线x2－y2＝1的焦点为(±，0)，故应有＝，p＝2.8.(2015·北京改编)已知双曲线－y2＝1(a>0)的一条渐近线为x＋y＝0，则该双曲线的方程为________________.答案　3x2－y2＝1解析　双曲线－y2＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±x，x＋y＝0⇒y＝－x，∵a>0，则－＝－，a＝，则该双曲线的方程为3x2－y2＝1.9.设函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数，若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值.解　∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝0，∴k－1＝0，即k＝1.∵f(1)＝，∴a－＝，即2a2－3a－2＝0，∴a＝2或a＝－(舍去)，∴g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)＋2.令t(x)＝2x－2－x(x≥1)，则t′(x)＝2xln2＋2－xln2＞0，∴t(x)在[1，＋∞)上为增函数，即t(x)≥t(1)＝，∴原函数变为w(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2，∴当t＝2时，w(t)min＝－2，此时x＝log2(1＋).即g(x)在x＝log2(1＋)时取得最小值－2.10.(2015·安徽)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程.解　(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM＝，从而＝，进而得a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为＋＝1，点N的坐标为.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上，且kNS·kAB＝－1，从而有解得b＝3.所以a＝3，故椭圆E的方程为＋＝1.11.(2015·浙江)已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称.(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).解　(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.由消去y，得x2－x＋b2－1＝0.因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0，①将AB中点M代入直线方程y＝mx＋，解得b＝－，②由①②得m＜－或m＞.(2)令t＝∈∪，则|AB|＝·，且O到直线AB的距离为d＝.设△AOB的面积为S(t)，所以S(t)＝|AB|·d＝≤，当且仅当t2＝时，等号成立.故△AOB面积的最大值为.12.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an＋(－1)n(n∈N*).(1)求数列{an}的前三项a1，a2，a3；(2)求证：数列{an＋(－1)n}为等比数列，并求出{an}的通项公式.解　(1)在Sn＝2an＋(－1)n(n∈N*)中分别令n＝1，2，3，得解得(2)由Sn＝2an＋(－1)n(n∈N*)得，Sn－1＝2an－1＋(－1)n－1(n≥2)，两式相减得an＝2an－1－2(－1)n(n≥2)，an＝2an－1－(－1)n－(－1)n＝2an－1＋(－1)n－1－(－1)n(n≥2)，∴an＋(－1)n＝2[an－1＋(－1)n－1](n≥2).故数列{an＋(－1)n}是以a1－＝为首项，2为公比的等比数列.∴an＋(－1)n＝×2n－1，an＝×2n－1－×(－1)n＝－(－1)n.