2017年高考数学知识方法专题11《数学方法第48练 整体策略与换元法》

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第48练　整体策略与换元法[题型分析·高考展望]　整体思想是指把研究对象的某一部分(或全部)看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径.换元法又称辅助元素法、变量代换法，通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.高考必会题型题型一　整体策略例1　(1)计算(1－－－－…－)×(＋＋＋＋…＋)－(1－－－－－…－－)×(＋＋＋…＋)；(2)解方程(x2＋5x＋1)(x2＋5x＋7)＝7.解　(1)设＋＋＋…＋＝t，则原式＝(1－t)(t＋)－(1－t－)t＝t＋－t2－t－t＋t2＋t＝.(2)设x2＋5x＝t，则原方程化为(t＋1)(t＋7)＝7，∴t2＋8t＝0，解得t＝0或t＝－8，当t＝0时，x2＋5x＝0，x(x＋5)＝0，x1＝0，x2＝－5；当t＝－8时，x2＋5x＝－8，x2＋5x＋8＝0，Δ＝b2－4ac＝25－4×1×8<0，此时方程无解；即原方程的解为x1＝0，x2＝－5.点评　整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个(或多个)未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决.变式训练1　计算：(1－－－)×(＋＋＋)－(1－－－－)×(＋＋).解　令＋＋＝t，则原式＝(1－t)(t＋)－(1－t－)t＝t＋－t2－t－t＋t2＝.题型二　换元法例2　(1)已知函数f(x)＝4x－2xt＋t＋1在区间(0，＋∞)上的图象恒在x轴上方，则实数t的取值范围是________________.(2)已知点A是椭圆＋＝1上的一个动点，点P在线段OA的延长线上，且OA·OP＝48，则点P的横坐标的最大值为________.答案　(1)(－∞，2＋2)　(2)10解析　(1)令m＝2x(m>1)，则问题转化为函数f(m)＝m2－mt＋t＋1在区间(1，＋∞)上的图象恒在x轴上方，即Δ＝t2－4(t＋1)<0或解得t<2＋2，即实数t的取值范围是(－∞，2＋2).(2)当点P的横坐标最大时，射线OA的斜率k>0，设OA：y＝kx，k>0，与椭圆＋＝1联立解得x＝，又OA·OP＝xAxP＋k2xAxP＝48，解得xP＝＝＝，令9＋25k2＝t>9，即k2＝，则xP＝＝×25＝80≤80×＝10，当且仅当t＝16，即k2＝时取等号，所以点P的横坐标的最大值为10.(3)已知函数f(x)＝ax－ln(1＋x2).①当a＝时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的极值；②证明：当x>0时，ln(1＋x2)g(0)＝0，∴ln(1＋x2)1)，则f(x)的最小值为________.答案　2＋2解析　f(x)＝＋2(x－1)＋2，令x－1＝t，则f(t)＝＋2t＋2(t>0)，∴f(t)≥2＋2＝2＋2.当且仅当＝2t时等号成立，故f(x)的最小值为2＋2，当且仅当＝2(x－1)，即x＝＋1时等号成立.(2)已知在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an.①求Sn的表达式；②设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明Tn<.①解　∵S＝an，an＝Sn－Sn－1(n≥2)，∴S＝(Sn－Sn－1)，即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，(*)由题意得Sn－1·Sn≠0，(*)式两边同除以Sn－1·Sn，得－＝2，∴数列是首项为＝＝1，公差为2的等差数列.∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝.②证明　∵bn＝＝＝，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝＝<，∴Tn<.高考题型精练1.已知长方体的表面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为(　　)A.2B.C.5D.6答案　C解析　设长方体长，宽，高分别为x，y，z，由已知“长方体的表面积为11，其12条棱的长度之和为24”，得长方体所求对角线长为＝＝＝5，故选C.2.设实数x，y，m，n满足x2＋y2＝1，m2＋n2＝3，那么mx＋ny的最大值是______.答案　解析　设x＝sinα，y＝cosα，m＝sinβ，n＝cosβ，其中α，β∈(0°，180°)，∴mx＋ny＝sinβsinα＋cosβcosα＝cos(α－β)，故最大值为.3.函数y＝3－4的最小值为________.答案　－8解析　由解得－2≤x≤2，所以函数的定义域为[－2，2].因为()2＋()2＝4，故可设(θ∈[0，])，则y＝3×2sinθ－4×2cosθ＝6sinθ－8cosθ＝10sin(θ－φ)(φ∈(0，)，cosφ＝，sinφ＝)，因为θ∈[0，]，所以θ－φ∈[－φ，－φ]，所以当θ＝0时，函数取得最小值10sin(－φ)＝10×(－)＝－8.4.已知不等式>ax＋的解集是(4，b)，则a＝______，b＝________.答案　　36解析　令＝t，则t>at2＋，即at2－t＋<0，其解集为(2，)，故解得a＝，b＝36.5.已知y＝f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝－x2＋2x，则满足f(f(a))＝的实数a的个数为________.答案　8解析　由题意知，f(x)＝其图象如图所示，令t＝f(a)，则t≤1，令f(t)＝，解得t＝1－或t＝－1±，即f(a)＝1－或f(a)＝－1±，由数形结合得，共有8个交点.6.设f(x2＋1)＝loga(4－x4)(a>1)，则f(x)的值域是________.答案　(－∞，loga4]解析　设x2＋1＝t(t≥1)，∴f(t)＝loga[－(t－1)2＋4]，∴值域为(－∞，loga4].7.已知m∈R，函数f(x)＝g(x)＝x2－2x＋2m－1，若函数y＝f(g(x))－m有6个零点，则实数m的取值范围是________.答案　(0，)解析　函数f(x)＝的图象如图所示，令g(x)＝t，y＝f(t)与y＝m的图象最多有3个交点，当有3个交点时，02m－2，①又0

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