揭阳市高考一模试题(数学理科)+参考答案

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绝密★启用前2010年揭阳市高考“一模”试题数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时l20分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率knkknnPPCkP)1()(．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,2},{,},aABab若1{}2AB,则AB为.A．1{,1,}2bB．1{1,}2C．1{1,}2D．1{1,,1}22．设函数()cos(2)fxx，xR，则()fx是A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为2的奇函数D．最小正周期为2的偶函数3．已知随机变量服从正态分布2(2,)N，(4)0.84,P则(0)P=A．0.16B．0.32C．0.68D．0.844．数列{}na是公差不为0的等差数列，且137,,aaa为等比数列{}nb的连续三项，则数列{}nb的公比为A．2B．4C．2D．12DCBAoxy1455x-y=0x+y-5=0x=1x=4oxy1455x-y=0x+y-5=0x=1x=4oxy1455x-y=0x+y-5=0x=1x=4x=4x=1x+y-5=0x-y=05541yxo俯视图侧视图主视图10101010205．一质点受到平面上的三个力123,,FFF（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知12,FF成120角，且12,FF的大小分别为1和2，则有A．13,FF成90角B．13,FF成150角C．23,FF成90角D．23,FF成60角6．已知函数2()54fxxx，则不等式组()()0;14.fxfyx表示的平面区域为7．一物体A以速度232vt（t的单位：s，v的单位：m/s），在一直线上运动，在此直线上在物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方8m处以8vt（t的单位：s，v的单位：m/s）的速度与A同向运动，设ns后两物体相遇，则n的值为A．4103B．210C．4D．58．平面内称横坐标为整数的点为“次整点”.过函数29yx图象上任意两个次整点作直线，则倾斜角大于45°的直线条数为．A．10B．11C．12D．13二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9－13题）9．已知函数lg(4)yx的定义域为A，集合{|}Bxxa，若P：“xA”是Q：“xB”的充分不必要条件，则实数a的取值范围．10．双曲线221169xy上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P点到左焦点的距离为．11．某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其直观图的三视图如右图示（单位长度：cm，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的DABCD0月收入（元）/频率组距40003500300025002000150010000.00080.00040.00030.0001否输入A1，A2，.……A6i=i+1开始结束输出Si<7？S＝0,i＝2S＝S+Ai是OEDFP铁皮的面积为2cm．（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）12．已知函数1(),4;()2(1),4.xxfxfxx则2(log3)f＝．13．下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为4000.在样本中记月收入在1000,1500，[1500,2000),[2000,2500),[2500,3000),[3000,3500),[3500,4000]的人数依次为1A、2A、……、6A．图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，则样本的容量n；图乙输出的S．（用数字作答）图甲图乙（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．(坐标系与参数方程选做题)设直线1l的参数方程为1,3.xtyat（t为参数），以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系得另一直线2l的方程为sin3cos40，若直线1l与2l间的距离为10，则实数a的值为．15．（几何证明选做题）如图，已知P是O外一点，PD为O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若12,43PFPD,则EFD的度数为．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本题满分12分）PABCDEyx0MF1F2PPABCDE已知复数1sin2zxi,2(3cos2)(,,,)zmmximxR,且12zz．（1）若0且0x，求x的值；（2）设＝()fx，已知当x时，12，试求cos(4)3的值．17．（本题满分12分）某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如右表所示：已知分3期付款的频率为0.2，4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元.用表示经销一辆汽车的利润.（1）求上表中的,ab值；（2）若以频率作为概率，求事件A:“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”的概率()PA；（3）求的分布列及数学期望E.18．（本题满分14分）右图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，//ECPD，且2PDEC，（1）求证：BE//平面PDA；（2）若N为线段PB的中点，求证：EN平面PDB；（3）若2PDAD，求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的大小．19．（本题满分14分）已知如图，椭圆方程为222116xyb(40)b.P为椭圆上的动点,F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线F1M,垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．（1）求M点的轨迹T的方程；（2）已知(0,0)O、(2,1)E，试探究是否存在这样的点Q：Q是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积2OEQS？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．20．（本题满分14分）设函数()|1|,()ln.fxxxmgxx（1）当1m时，求函数()yfx在[0,]m上的最大值；付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数4020a10b（2）记函数()()()pxfxgx，若函数()px有零点，求m的取值范围.21．（本题满分14分）已知：12,xx（12xx）是方程2650xx的两根，且1nnnxyx，211(5)nnnxxy.（1）求123,,yyy的值；（2）设1nnnzyy，求证：126niizn；（3）求证：对nN有2211||62526nnnyy．揭阳市2010年高中毕业班第一次高考模拟考数学试题(理科)参考答案及评分说明1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一．选择题：DBACACCB解析：1．由1{}2AB得1212aa，12b，故选D.2．()cos(2)cos2fxxx，可知答案选B.．3-321-2-1OyXP7P6P5P4P3P2P1DCBAP-F3F3F2F1043．由正态分布的特征得(0)P＝1(4)10.840.16P，选A.4．设数列{}na的公差为d（0d），由2317aaa得2111(2)(6)adaad12ad故311111222aadaqaaa，选C.5．由1233120()FFFFFF22223121212()2||||cos120FFFFFFF1144()323||3F由123||1,||2,||3FFF知，13,FF成90角，故选A.6.不等式组()()0;14.fxfyx即0;50;14.xyxyx或0;50;14.xyxyx故其对应平面区域应为图C．7．依题意得200(32)88nntdttdt，32284nnn2(4)(2)0nn4n,选C.8．如图，设曲线29yx的次整点分别为127,,PPP,过点1P倾斜角大于45°的直线有1213,PPPP，过点2P的有27PP,过点3P有36PP、37PP，过点4P有45PP、46PP、47PP，过点5P有5657,PPPP,过点6P的有67PP,共11条，故选B.二、填空题：9.4a；10.13、；11.100(35)；12.124；13．10000、6000；14.9或－11；15.30°.解析：9.{|4}Axx，由右图易得4a.10．由4,3,ab得5c设左焦点为1F，右焦点为2F,则21||()52PFaccac，PFDEO由双曲线的定义得：12||2||8513PFaPF.11．该几何体的形状如图，它是底面为正方形，各个侧面均为直角三角形的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积100(35)S2cm12．由已知得222(log3)(log31)(log32)fff22(log33)(log24)ff122log24log(24)1()2212413．∵月收入在[1000,1500)的频率为0.00085000.4，且有4000人∴样本的容量4000100000.4n，由图乙知输出的S236AAA=10000－4000=6000.14．将直线1l的方程化为普通方程得330xya，将直线2l的方程化为直角坐标方程得340xy，由两平行线的距离公式得|34|10|1|1010aa9a或11a15．由切割线定理得2PDPEPF2163412PDPEPF8EF,4OD,∵ODPD,12ODPO∴30P,60,30PODPDEEFD.三．解答题：16．解：（1）∵12zz∴sin23cos2xmmx∴sin23cos2xx＝--------------------------------------2分若0则sin23cos20xx得tan23x-----------------------------------------------4分∵0,x022x∴2,3x或423x∴6x或23------------------------------------------------------------------------------------------6分（2）∵13()sin23cos22(sin2cos2)22fxxxxx＝2(sin2coscos2sin)33xx2sin(2)3x-----------------------------------------8分∵当x时，12∴12sin(2)32，1sin(2)34，1sin(2)34------------------------------9分∵cos(4)3＝2cos2(2)2cos(2)166＝22sin(2)13----------11分∴cos(4)32172()148.------------------------------------------------------------12分17．解：（1）由0.2100a得20a∵402010100ab∴10b------------------------------------------------------2分（2）记分期付款的期数为，依题意得：40(1)0.4100P,20(2)0.2100P,(3)0.2P,10(4)0.1100P,10(5)0.1100P------------------------------------------------------5分则“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率:()PA＝31230.80.2(10.2)0.896C-----------------------------------------------------------7分（3）∵的可能取值为：1，1.5，2（单位万元）(1)(1)0.4PP-----------------------------------------------------------------------------8分(1.5)(2)(3)0.4PPP-----------------------------------------------------------9分(2)(4)(5)0.10.10.2PPP----------------------------------------------10分∴的分布列为NEDCBAPFzyxNEDCBAP∴的数学期望10.41.50.420.21.4E(万元)-12分.18．解：（1）证明：∵//ECPD，PD平面PDA，EC平面PDA∴EC//平面PDA,同理可得BC//平面PDA----------------------------------------------------------------------------------2分∵EC平面EBC,BC平面EBC且ECBCC∴平面BEC//平面PDA---------------------------------------------------------------------------------3分又∵BE平面EBC∴BE//平面PDA--------------------------------------------------------------4分（2）证法1：连结AC与BD交于点F,连结NF，∵F为BD的中点，∴//NFPD且12NFPD,--------------------------6分又//ECPD且12ECPD∴//NFEC且NFEC∴四边形NFCE为平行四边形-------------------------7分∴//NEFC∵DBAC,PD平面ABCD,AC面ABCD∴ACPD，又PDBDD∴AC面PBD∴NE面PDB------------------------------------------------------------9分[证法2：如图以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示：设该简单组合体的底面边长为1，PDa则(1,1,0),(0,1,0),(0,0,),BCPa(0,1,)2aE,11(,,)222aN--------------------------------6分∴11(,,0)22EN,(1,1,)PBa,(1,1,0)DB∵11110022ENPBa,111100022ENDB∴,ENPBENDB------------------------------------------------------------------------------------------8分∵PB、DB面PDB，且PBDBB∴NE面PDB11.52P0.40.40.2yx0MF1F2PNGPABCDE--------------------------------------------------------------------------------------------9分（3）解法1：连结DN，由（2）知NE面PDB∴DNNE,∵2PDAD，2DBAD∴PDDB∴DNPB∴DN为平面PBE的法向量，设1AD，则112(,,)222N∴DN=112(,,)222---11分∵DP为平面ABCD的法向量，(0,0,2)DP，---------------------------------------------12分设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为，则12cos2||||2DNDPDNDP----------------------------------------------------------------13分∴45即平面PBE与平面ABCD所成的二面角为45°---------------------------------14分[解法2：延长PE与DC的延长线交于点G,连结GB，则GB为平面PBE与ABCD的交线------------------------------------------------------------------10分∵2PDEC∴CDCGCB∴D、B、G在以C为圆心、以BC为半径的圆上，∴DBBG-------------------11分∵PD平面ABCD,BG面ABCD∴PDBG且PDDBD∴BG面PDB∵PB面PDB∴BGPB∴PBD为平面PBE与平面ABCD所成的二面角的平面角-------------------------------------------------------------------------------------13分在RtPDB中∵PDDB∴PBD＝45°即平面PBE与平面ABCD所成的二面角为45°----------------------------14分其它解法请参照给分19．解：（1）当点P不在x轴上时，延长F1M与F2P的延长线相交于点N,连结OM，∵1NPMMPF,1NMPPMF∴PNM≌1PFM∴M是线段1NF的中点，1||||PNPF|----------------------------------------------------2分∴OM=21NF2=PNPF221=1221PFPFE0yx(2,1)4-4∵点P在椭圆上∴21PFPF＝8∴OM＝4，----------------------4分当点P在x轴上时，M与P重合∴M点的轨迹T的方程为：2224xy.----------------------6分（2）连结OE，易知轨迹T上有两个点A(4,0)，B(4,0)满足2OEAOEBSS,分别过A、B作直线OE的两条平行线1l、2l.∵同底等高的两个三角形的面积相等∴符合条件的点均在直线1l、2l上.------------------------------------7分∵12OEk∴直线1l、2l的方程分别为：1(4)2yx、1(4)2yx-------------------8分设点(,)Qxy（,xyZ）∵Q在轨迹T内，∴2216xy--------------------------------9分分别解22161(4)2xyyx与22161(4)2xyyx得2425x与2245x--------------------------------------------------------------------11分∵,xyZ∴x为偶数，在2(4,2)5上2,,0,2x对应的1,2,3y在2(2,4)5上2,0,2x，对应的3,2,1y------------------------------------------------13分∴满足条件的点Q存在，共有6个，它们的坐标分别为：(2,1),(0,2),(2,3),(2,3),(0,2),(2,1)．-----------------------------------------------------14分20．解：（1）当[0,1]x时，()(1)fxxxm＝2211()24xxmxm∴当12x时，max1()4fxm-----------------------------------------------------------------2分当(1,]xm时，()(1)fxxxm＝2211()24xxmxm∵函数()yfx在(1,]m上单调递增∴2max()()fxfmm------------------------------4分由214mm得2104mm又1m122m∴当122m时，2max()fxm，当1212m时，max1()4fxm.----------6分（2）函数()px有零点即方程()()|1|ln0fxgxxxxm有解即ln|1|mxxx有解-------------------------------------------------------------------------------7分令()ln|1|hxxxx当(0,1]x时2()lnhxxxx∵1\'()212210hxxx--------------------------------------------------------------------9分∴函数()hx在(0,1]上是增函数，∴()(1)0hxh---------------------------------------------10分当(1,)x时，2()lnhxxxx∵1\'()21hxxx221(1)(21)xxxxxx0--------------------------------12分∴函数()hx在(1,)上是减函数，∴()(1)0hxh-----------------------------------------13分∴方程ln|1|mxxx有解时0m即函数()px有零点时0m---------------------------------------------------------------------------14分21．解：（1）解方程2650xx得11x，25x，---------------------------------------------1分∴2115,xyx---------------------------------------------------------------------------------------------2分3211(5)26xxy，∴322265xyx，------------------------------------------------------------------------------------------3分4321(5)135xxy,∴43313526xyx---------------------------------------------------------4分（2）由211(5)nnnxxy得2115nnnxxy即115nnyy151nnnyyy----------------------------------------------------------------6分当2n时5ny，于是11226,zyy1nnnzyy＝51ny26（2n）∴12126ninizzzzn--------------------------------------------------------------------9分（3）当1n时211||25yy2526625625，结论成立；------------------------------------------10分当2n时，有11111111|||5(5)|||||26nnnnnnnnnnyyyyyyyyyy1221||26nnyy2111||26nyy＝1112526n----------------------------------------12分∵22212122221||||nnnnnnnnnyyyyyyyyy∴212122221||||||||nnnnnnnnyyyyyyyy123221111[]25262626nnn＝11211(1)12611126261256252662526126nnnn∴对nN有2211||62526nnnyy()nN----------------------------------------------14分