2015高三数学《文科》二轮复习《专题5 解析几何》PPT版

《2015高三数学《文科》二轮复习《专题5 解析几何》PPT版》是由用户上传到老师板报网，本为文库资料，大小为8.45 MB，总共有143页，格式为ppt。授权方式为VIP用户下载，成为老师板报网VIP用户马上下载此课件。文件完整，下载后可编辑修改。

第13讲　直线与圆　第14讲椭圆、双曲线、抛物线第15讲圆锥曲线中的热点问题专题五　解析几何专题五　解析几何第第1313讲　直线与圆讲　直线与圆返回目录考点考向探究核心知识聚焦第13讲　直线与圆体验高考体验高考返回目录1．[2014·新课标全国卷Ⅱ改编]已知直线过点（1，0），且斜率为－3①，则该直线的方程为________．[答案]3x＋y－3＝0[解析]由点斜式方程得y－0＝－3(x－1)，整理得3x＋y－3＝0.⇒直线方程关键词：点斜式如①、一般式．主干知识主干知识核心知识聚焦第13讲　直线与圆体验高考体验高考　　返回目录2．[2014·福建卷改编]已知直线l过点(0，3)，且与直线x＋y＋1＝0平行②，则l的方程是________．⇒两直线平行与垂直关键词：平行关系、垂直关系如②.主干知识主干知识[答案]x＋y－3＝0[解析]由直线l与直线x＋y＋1＝0平行，可知直线l的斜率为－1，又过点(0，3)，所以直线l的方程为x＋y－3＝0.核心知识聚焦3.[2013·江西卷]若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程③是________．第13讲　直线与圆体验高考体验高考　　返回目录⇒圆的方程关键词：标准方程如③、一般方程．主干知识主干知识[答案](x－2)2＋y＋322＝254[解析]r2＝4＋(r－1)2，得r＝52，圆心为2，－32.故圆C的方程是(x－2)2＋y＋322＝254.核心知识聚焦体验高考体验高考　　返回目录4．[2013·陕西卷改编]已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系④是________．[答案]相交[解析]由题意点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，则满足a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝1a2＋b2<1，故直线ax＋by＝1与圆O相交．⇒直线与圆的位置关系关键词：直线与圆如④⑤、圆与圆如⑥.主干知识主干知识　　第13讲　直线与圆核心知识聚焦体验高考体验高考　　返回目录5．[2014·浙江卷]已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度⑤为4，则实数a的值是________．[答案]－4[解析]圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，r2＝2－a，则圆心(－1，1)到直线x＋y＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝2.由22＋(2)2＝2－a，得a＝－4.第13讲　直线与圆核心知识聚焦第13讲　直线与圆体验高考体验高考　　返回目录[答案]96．[2014·湖南卷改编]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切⑥，则m＝________．[解析]依题意可得C1(0，0)，C2(3，4)，则|C1C2|＝32＋42＝5，又r1＝1，r2＝25－m，由r1＋r2＝25－m＋1＝5，解得m＝9.核心知识聚焦返回目录————教师教师知识必备知识必备————　　知识必备直线与圆第13讲　直线与圆倾斜角x轴正方向与直线向上的方向所成的角，直线与x轴平行或重合时倾斜角为0°概念斜率倾斜角为α，斜率k＝tanα(α≠90°)＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)在直线上点斜式y－y0＝k(x－x0)在y轴上的截距为b时，y＝kx＋b直线与圆直线的方程直线方程两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1≠x2，y1≠y2)在x，y轴上的截距分别为a，b时，xa＋yb＝1返回目录————教师教师知识必备知识必备————　　第13讲　直线与圆直线方程一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，B≠0时，斜率k＝－AB，纵截距为－CB平行当不重合的两条直线l1和l2的斜率都存在时，l1∥l2⇔k1＝k2；如果不重合的两条直线l1和l2的斜率都不存在，那么它们都与x轴垂直，则l1∥l2垂直当两条直线l1和l2的斜率都存在时，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1；当两条直线l1和l2中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，它们互相垂直直线与圆直线的方程位置关系交点两直线的交点的坐标就是由两直线的方程组成的方程组的解返回目录————教师教师知识必备知识必备————　　第13讲　直线与圆点点距P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离P1P2＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2点线距点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝Ax0＋By0＋CA2＋B2直线与圆直线的方程距离公式线线距若直线l1∥l2，则直线l1：Ax＋By＋C1＝0到直线l2：Ax＋By＋C2＝0距离d＝C1－C2A2＋B2返回目录————教师教师知识必备知识必备————　　第13讲　直线与圆定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹．定点叫作圆心，定长叫作半径标准方程圆心坐标(a，b)，半径r，方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2直线与圆圆的方程圆一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F>0)标准方程展开可得一般方程，一般方程配方可得标准方程．一般方程中圆心坐标为－D2，－E2，半径为D2＋E2－4F2返回目录————教师教师知识必备知识必备————　　第13讲　直线与圆相交相切相离代数法方程组有两组解方程组有一组解方程组无解直线与圆几何法dr代数法方程组有两组解方程组有一组解方程组无解直线与圆圆的方程圆与圆几何法r1－r2r1＋r2或d<r1－r2返回目录►考点一直线的方程及应用直线方程——1.求直线方程；2.求方程中的参数直线位置——1.判定直线平行；2.判定直线垂直；3.平行与垂直关系的应用交点与距离——1.求交点坐标；2.求点到直线的距离题型：选择，填空分值：5分难度：基础热点：直线方程及其应用第13讲　直线与圆考点考向探究返回目录例1(1)[2014·福建卷]已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是()A．x＋y－2＝0B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0D．x－y＋3＝0(2)经过两条直线3x＋4y－5＝0和3x－4y－13＝0的交点，且斜率为2的直线的方程是()A．2x＋y－7＝0B．2x－y－7＝0C．2x＋y＋7＝0D．2x－y＋7＝0第13讲　直线与圆考点考向探究返回目录[解析](1)由直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，可设直线l的方程为x－y＋m＝0.又直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心(0，3)，则m＝3，所以直线l的方程为x－y＋3＝0，故选D.(2)由3x＋4y－5＝0，3x－4y－13＝0，可得交点的坐标为(3，－1)，所以经过点(3，－1)，且斜率为2的直线的方程是y＋1＝2(x－3)，即2x－y－7＝0.[答案](1)D(2)B第13讲　直线与圆考点考向探究返回目录第13讲　直线与圆[小结]两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)与l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，有l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.考点考向探究返回目录变式题(1)与直线2x－y＋1＝0关于x轴对称的直线方程为()A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－1＝0C．2x＋y－1＝0D．x－2y＋1＝0(2)已知直线l1：ax＋(3－a)y＋1＝0，l2：2x－y＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________．第13讲　直线与圆[答案](1)A(2)1考点考向探究返回目录[解析](1)因为点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，若点(x，y)在直线2x－y＋1＝0上，则点(x，－y)一定在其关于x轴对称的直线上，所以得对称直线方程为2x＋y＋1＝0.(2)l1⊥l2⇔a·2＋(3－a)·(－1)＝0⇔a＝1.第13讲　直线与圆考点考向探究返回目录►考点二直线的方程及应用圆的标准方程——1.求圆心；2.求半径；3.求圆的方程圆的一般方程——1.求圆心；2.求半径；3.求圆的方程题型：选择，填空分值：5分难度：基础热点：求圆的方程第13讲　直线与圆考点考向探究返回目录例2(1)若直线y＝kx与圆x2＋y2－4x＋3＝0的两个交点关于直线x＋y＋b＝0对称，则()A．k＝－1，b＝2B．k＝1，b＝2C．k＝1，b＝－2D．k＝－1，b＝－2(2)已知⊙M的圆心在第一象限，图像过原点O，被x轴截得的弦长为6，且与直线3x＋y＝0相切，则圆M的方程为________．第13讲　直线与圆考点考向探究返回目录第13讲　直线与圆[答案](1)C(2)(x－3)2＋(y－1)2＝10.[解析](1)根据题意，直线x＋y＋b＝0过圆的圆心，且与直线y＝kx垂直，所以k＝1，圆心坐标为(2，0)，代入x＋y＋b＝0，得b＝－2.(2)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，a，b＞0.根据题意得a2＋b2＝r2①，r2－b2＝9②，3a＋b10＝r③.由①②解得a＝3，代入③中并把③式两边平方得（9＋b）210＝r2，将r2＝b2＋9代入得(9＋b)2＝10(b2＋9)，即9b2－18b＋9＝0，解得b＝1，代入②中得r2＝10.所以所求圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.考点考向探究返回目录[小结](1)确定圆必须确定圆心的位置和半径的大小，这是求解圆的方程的准则；(2)圆上任意两点连线的对称轴一定过圆心．第13讲　直线与圆变式题(1)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则PQ的最小值为()A．6B．4C．3D．2(2)圆心在曲线y＝－3x(x＞0)上，且与直线3x－4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程是__________________．考点考向探究　返回目录[解析](1)|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d＝3－(－3)－2＝4.(2)设圆心坐标为a，－3a(a>0)，则d＝r＝3a＋12a＋35≥23a·12a＋35＝3，当且仅当3a＝12a，即a＝2时，等号成立，此时圆的半径最小，即圆的面积最小，所以圆的方程为(x－2)2＋y＋322＝9.[答案](1)B(2)(x－2)2＋y＋322＝9第13讲　直线与圆考点考向探究返回目录►考点三直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆——1.直线与圆的位置关系判定；2.求参圆与圆——1.两圆位置关系的判断；2.据两圆的位置关系求参题型：选择，填空分值：5分难度：中等热点：直线与圆的位置关系第13讲　直线与圆考点考向探究返回目录第13讲　直线与圆例3(1)对任意的实数k，直线y＝kx－1与圆x2＋y2－2x－2＝0的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．以上三个选项均有可能(2)过点M(1，2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B两点，点C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是______________．考点考向探究返回目录第13讲　直线与圆[解析]直线y＝kx－1恒过点(0，－1)，而点(0，－1)在圆x2＋y2－2x－2＝0的内部，故直线y＝kx－1与圆x2＋y2－2x－2＝0的位置关系是相交．(2)当∠ACB最小时，弦长AB最短，而点M在圆内，所以过点M且与CM垂直的弦长最短．由kCM＝4－23－1＝1，得kAB＝－1，所以直线AB的方程为x＋y－3＝0.[答案](1)C(2)x＋y－3＝0考点考向探究返回目录第13讲　直线与圆[小结]直线被圆所截得的弦长是直线与圆相交时产生的，是直线与圆的位置关系的一个衍生问题．对于此类问题，虽然可通过公式计算的方法来解决，但用数形结合的思想方法，结合圆的几何性质，可以快速解决问题．考点考向探究　返回目录变式题(1)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．相离(2)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上的点到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点有()A．1个B．2个C．3个D．4个第13讲　直线与圆考点考向探究返回目录第13讲　直线与圆[解析](1)两圆心间的距离d＝（2＋2）2＋1＝17，两圆半径的差为1，和为5，因为1<17<5，所以两圆相交．(2)圆心(3，3)到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝2，而圆的半径为3，所以圆上的点到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点有3个．[答案](1)B(2)C考点考向探究【备选理由】例1考查解析法思想，通过建立坐标系求解直线方程，以及直线方程的应用；例2考查直线位置关系；例3求三角形的外接圆及圆心轨迹问题；例4考查直线与圆、圆与圆的综合问题．返回目录例1[配合例1使用]在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图所示)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长等于()A．2B．1C.83D.43————教师备用例题教师备用例题————　　第13讲　直线与圆返回目录第13讲　直线与圆[解析]不妨设AP＝m(0b>0)，则c＝1，e＝ca＝12，解得a＝2，b＝3，故椭圆C的方程是x24＋y23＝1.⇒椭圆及其性质关键词：定义、标准方程如①、离心率如②.主干知识主干知识核心知识聚焦第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线体验高考体验高考　　返回目录[答案]222．[2014·北京卷改编]已知椭圆C：x2＋2y2＝4，则其离心率②为________．[解析]由题意，椭圆C的标准方程为x24＋y22＝1.所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝2，故椭圆C的离心率e＝ca＝22.核心知识聚焦体验高考体验高考　　返回目录3.[2014·北京卷]设双曲线C的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1，0)，则C的方程③为________．[答案]x2－y2＝1[解析]由题意设双曲线的方程为x2－y2b2＝1(b＞0)，又∵1＋b2＝22，∴b2＝1，即双曲线C的方程为x2－y2＝1.⇒双曲线及其性质关键词：定义、标准方程如③、离心率、渐近线如④.主干知识主干知识　　第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线核心知识聚焦体验高考体验高考　　返回目录4.[2013·新课标全国卷Ⅰ改编]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为52，则C的渐近线方程④为________．[答案]y＝±12x[解析]52＝ca＝1＋ba2，所以ba＝12，故所求的双曲线渐近线方程是y＝±12x.第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线核心知识聚焦5．[2014·安徽卷改编]抛物线y＝14x2的准线方程⑤是________．体验高考体验高考　　返回目录[答案]y＝－1第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线⇒抛物线及其性质关键词：定义、标准方程、准线如⑤.主干知识主干知识　　[解析]因为抛物线y＝14x2的标准方程为x2＝4y，所以其准线方程为y＝－1.核心知识聚焦体验高考体验高考　　返回目录6.[2013·新课标全国卷Ⅱ改编]设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，斜率为3的直线l过F且与C交于A，B两点⑥，则|AB|＝________．第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线⇒直线与圆锥曲线的位置关系关键词：交点、弦长如⑥，弦所在直线斜率．主干知识主干知识　　核心知识聚焦返回目录第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线[答案]163[解析]焦点坐标为(1，0)，直线l的方程为y＝3(x－1)．由y＝3（x－1），y2＝4x，得交点坐标分别为13，－233，3，23，所以|AB|＝163.核心知识聚焦返回目录————教师教师知识必备知识必备————　　知识必备圆锥曲线的定义、方程与性质几何性质定义标准方程范围顶点焦点对称性离心率x2a2＋y2b2＝1x≤ay≤b(±a，0)(0，±b)(±c，0)圆锥曲线的定义、方程与性质椭圆平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数2a(大于F1F2＝2c)的点的轨迹叫作椭圆(b2＝a2－c2，a>b)y2a2＋x2b2＝1y≤ax≤b(0，±a)(±b，0)(0，±c)x轴、y轴、坐标原点椭圆中a>c，01第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线返回目录————教师教师知识必备知识必备————　　几何性质定义标准方程范围顶点焦点对称性离心率x2a2－y2b2＝1||x≥ay∈R(±a，0)(±c，0)圆锥曲线的定义、方程与性质双曲线平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a(小于||F1F2＝2c)的点的轨迹叫作双曲线(b2＝c2－a2)y2a2－x2b2＝1||y≥ax∈R(0，±a)(0，±c)x轴、y轴、坐标原点椭圆中a>c，01第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线返回目录————教师教师知识必备知识必备————　　几何性质定义标准方程范围顶点焦点对称性离心率y2＝2pxx≥0y∈Rp2，0y2＝－2pxx≤0y∈R－p2，0x轴x2＝2pyy≥0x∈R0，p2圆锥曲线的定义、方程与性质抛物线平面内到一个定点F和一条定直线l(定点F不在定直线l上)距离相等的点的轨迹是抛物线(焦点到准线的距离等于p，p>0，焦参数)x2＝－2pyy≤0x∈R(0，0)0，－p2y轴1(离心率是曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比)第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线返回目录►考点一圆锥曲线的定义与标准方程定义——考查圆锥曲线的定义标准方程——1.求标准方程；2.求方程中的参量；3.圆锥曲线方程的应用题型：选择，填空，解答分值：5分难度：中等热点：求圆锥曲线的方程第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线考点考向探究返回目录例1(1)已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为()A.x24－y212＝1B.x212－y24＝1C.x210－y26＝1D.x26－y210＝1(2)[2014·安徽卷改编]设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋yb22＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，则|AF2|＝________．第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线考点考向探究返回目录[解析](1)由已知得c＝4，e＝ca＝4a＝2，得a＝2，且b2＝c2－a2＝12，所以双曲线的方程为x24－y212＝1.(2)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，所以|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.[答案](1)A(2)5第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线考点考向探究返回目录第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线[小结]根据椭圆和双曲线的定义可以建立曲线上的点到两焦点之间距离的关系，在抛物线中应用定义可以实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的相互转化．考点考向探究返回目录变式题(1)抛物线x2＝my上一点M(x0，－3)到焦点的距离为5，则实数m的值为()A．－8B．－4C．8D．4(2)若椭圆C：x29＋y22＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF1|＝4，则∠F1PF2＝()图141A．30°B．60°C．120°D．150°第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线考点考向探究返回目录[解析](1)由抛物线的方程x2＝my及点Mx0，－3可知，m<0，排除C，D；又M到焦点的距离为5，且该抛物线准线的方程为y＝－m4，所以－m4－(－3)＝5，解得m＝－8.(2)|PF2|＝2a－|PF1|＝2，|F1F2|＝2c＝27，根据余弦定理得cos∠F1PF2＝－12，故∠F1PF2＝120°.第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线[答案](1)A(2)C考点考向探究返回目录►考点二圆锥曲线的几何性质椭圆的几何性质——1.求离心率；2.求焦点坐标；3.范围的应用；4.据几何性质求参双曲线的几何性质——1.求离心率；2.求渐近线；3.求焦点坐标；4.据几何性质求参抛物线的几何性质——1.求焦点坐标；2.求准线方程；3.据几何性质求参题型：选择，填空，解答分值：5分难度：中等较难热点：求离心率第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线考点考向探究返回目录例2(1)[2014·广东卷]若实数k满足00，16－k>0.对于双曲线x216－y25－k＝1，其焦距是25－k＋16＝221－k；对于双曲线x216－k－y25＝1，其焦距是216－k＋5＝221－k.故焦距相等．(2)由2，m，8成等比数列，得m2＝16，所以m＝±4.当m＝4时，圆锥曲线为椭圆，离心率e＝4－22＝22；当m＝－4时，圆锥曲线为双曲线，离心率e＝4＋22＝3.第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线考点考向探究返回目录第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线[小结]圆锥曲线的简单几何性质主要考查椭圆和双曲线的离心率，主要有两类试题：一类是求解离心率的值，另一类是求解离心率的取值范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中a，b，c的关系式，求值时建立a，b，c的等式，求取值范围时建立a，b，c的不等式．考点考向探究返回目录变式题(1)抛物线y＝2x2的准线方程为()A．y＝－14B．y＝－18C．x＝12D．x＝－14(2)已知双曲线x29－y2m＝1的一个焦点在圆x2＋y2－4x－5＝0上，则双曲线的渐近线方程为()A.y＝±34xB．y＝±43xC.y＝±223xD.y＝±324x第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线考点考向探究　返回目录[解析](1)抛物线y＝2x2的标准方程为x2＝12y，得p＝14，所以其准线方程为y＝－18.(2)双曲线的焦点在x轴上，令方程x2＋y2－4x－5＝0中的y＝0，得x＝5或x＝－1，即c＝5或c＝－1(不合题意，舍去)，所以b＝c2－a2＝25－9＝4，所以渐近线方程为y＝±43x.[答案](1)B(2)B第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线考点考向探究　返回目录►考点三直线与圆锥曲线的位置关系位置关系——1.位置关系的判断；2.求交点坐标；3.求弦长；4.由位置关系求参量对称问题——1.求对称点；2.对称关系的应用分点问题——1.弦的中点问题；2.分点分弦所成的比题型：选择，填空，解答分值：5－7分难度：偏难热点：求弦长及参量第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线考点考向探究返回目录►考向一求弦长问题例3已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A，B，则|AB|等于()A．3B．4C．32D．42第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线考点考向探究　返回目录[解析]设直线AB的方程为y＝x＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝－x2＋3y＝x＋b⇒x2＋x＋b－3＝0⇒x1＋x2＝－1，得AB的中点M－12，－12＋b.又M－12，－12＋b在直线x＋y＝0上，可求出b＝1，∴x2＋x－2＝0，则|AB|＝1＋12×（－1）2－4×（－2）＝32.[答案]C第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线考点考向探究返回目录[小结]如果直线与圆锥曲线有两个不同交点，可将直线方程y＝kx＋c代入圆锥曲线方程整理出关于x(或y)的一元二次方程Ax2＋Bx＋C＝0，有Δ＝B2－4AC>0，可利用根与系数之间的关系求弦长弦长为1＋k2|x1－x2|＝1＋k2Δ|A|.第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线考点考向探究　返回目录变式题过抛物线C：y2＝4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，若点A到抛物线的准线的距离为4，则|AB|＝________．[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，点A到准线的距离即点A到焦点的距离，|AF|＝x1＋p2＝x1＋1＝4，得x1＝3，所以y1＝23，于是kAB＝3，直线AB的方程为y＝3(x－1)．由y＝3（x－1），y2＝4x，可得B13，－233，所以|AB|＝163.[答案]163第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线考点考向探究　返回目录例4过点M(1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C：x2a2＋y24＝1(a>2)相交于A，B两点，若点M是AB的中点，则a等于________．第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线►考向二中点问题考点考向探究　返回目录第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M是AB的中点，所以有x1＋x2＝2xM＝2，y1＋y2＝2yM＝2，且有x21a2＋y214＝1，x22a2＋y224＝1，两式作差可得x21－x22a2＝－（y21－y22）4，即（x1＋x2）（x1－x2）a2＝－（y1＋y2）（y1－y2）4，即2（x1－x2）a2＝－2（y1－y2）4，变形为y1－y2x1－x2＝－4a2，即kAB＝－4a2.由题意得直线AB的斜率为－12，故－4a2＝－12，得a＝22.[答案]22考点考向探究返回目录[小结]对弦中点问题而言，最基本的解法是用韦达定理得出关于点的坐标的两个方程，而用点差法解决弦中点问题，更高效和简洁．第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线考点考向探究　返回目录变式题设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若AF＝3BF，则l的方程为()A．y＝x－1或y＝－x＋1B．y＝33(x－1)或y＝－33(x－1)C.y＝3(x－1)或y＝－3(x－1)D.y＝22(x－1)或y＝－22(x－1)第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线[答案]C考点考向探究返回目录第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线[解析]方法一：易知F(1，0)．设直线l：x＝ty＋1，与y2＝4x联立得y2－4ty－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.|AF|＝3|BF|，即AF→＝3FB→，即(1－x1，－y1)＝3(x2－1，y2)，由此得y1＝－3y2，代入y1＋y2＝4t，得y2＝－2t，y1＝6t，代入y1y2＝－4，得t2＝13，解得±33.直线l的方程是x＝±33y＋1，即y＝±3(x－1)．考点考向探究　返回目录方法二：抛物线的焦点为F(1，0)，若A在第一象限，如图，设|AF|＝3m，|BF|＝m.过B作AD的垂线交AD于G，则|AG|＝2m，由于|AB|＝4m，故|BG|＝23m，tan∠GAB＝3.∴直线AB的斜率为3.同理，若A在第四象限，直线AB的斜率为－3，故答案为C.第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线考点考向探究返回目录第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线►考向三求直线中的参量例5[2013·浙江卷]已知抛物线C的顶点为O(0，0)，焦点为F(0，1)．(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点，若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值．图142考点考向探究　返回目录解：(1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，则p2＝1，p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1.由y＝kx＋1，x2＝4y消去y，整理得x2－4kx－4＝0.所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.从而|x1－x2|＝4k2＋1.由y＝y1x1x，y＝x－2，解得点M的横坐标xM＝2x1x1－y1＝2x1x1－x214＝84－x1.同理点N的横坐标xN＝84－x2.第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线考点考向探究返回目录第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线所以|MN|＝2|xM－xN|＝284－x1－84－x2＝82x1－x2x1x2－4（x1＋x2）＋16＝82k2＋1|4k－3|.令4k－3＝t，t≠0，则k＝t＋34.当t>0时，|MN|＝2225t2＋6t＋1>22；当t<0时，|MN|＝225t＋352＋1625≥852.综上所述，当t＝－253，即k＝－43时，|MN|的最小值是852.考点考向探究　返回目录[小结]与直线参数有关的问题，应首先设好直线方程，根据条件列出方程，根据函数与方程思想，得到关于直线参数的方程或函数，最后求出直线参数的取值范围或值．第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线考点考向探究　返回目录第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线变式题如图143所示，曲线Γ：x2m＋y2n＝1(m>0，n>0)与正方形L：|x|＋|y|＝4的边界相切．图143(1)求m＋n的值．(2)设直线l：y＝x＋b交曲线Γ于A，B两点，交L于C，D两点，是否存在这样的曲线Γ，使得|CA|，|AB|，|BD|成等差数列？若存在，求出实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．考点考向探究　返回目录解：(1)由x2m＋y2n＝1，x＋y＝4得(n＋m)x2－8mx＋16m－mn＝0，∴Δ＝64m2－4(m＋n)(16m－mn)＝0，化简得4mn(m＋n)－64mn＝0.又m>0，n>0，所以mn>0，从而有m＋n＝16.(2)若|CA|，|AB|，|BD|成等差数列，则2|AB|＝|CA|＋|BD|，得3|AB|＝42，即|AB|＝423.由x2m＋y2n＝1，y＝x＋b得(n＋m)x2＋2bmx＋mb2－mn＝0.由Δ＝－4nmb2＋4n2m＋4m2n>0可得b2AB，由椭圆的定义可知，F1，F2在以A，B为焦点的椭圆上．返回目录例２[配合例2使用]已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，直线x＝a2c与其渐近线交于A，B两点，且△ABF为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是()A.3，＋∞B.1，3C.2，＋∞D.1，2[解析]设AB与x轴交于点C，点A在第一象限，问题等价于|AC|>|CF|.由y＝bax与x＝a2c，得Aa2c，abc，即abc>c－a2c，即a>b，所以e＝1＋ba2<2.所以12时，求△OAB面积S的最大值．第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线返回目录解：(1)设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1a>b>0，依题意有2b＝2，a2－b2＝1，则b＝1，a2＝2，故椭圆C的方程为x22＋y2＝1.(2)设直线l的方程为x＝my＋t，点Ax1，y1，Bx2，y2，由x＝my＋t，x22＋y2＝1得m2＋2y2＋2mty＋t2－2＝0.所以Δ＝2mt2－4m2＋2t2－2＝8m2＋2－t2，y1＋y2＝－2mtm2＋2，y1·y2＝t2－2m2＋2.又△OAB的面积S＝t2y1－y2，则S＝t2y1－y2＝t2y1＋y22－4y1y2第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线返回目录＝t2－2mtm2＋22－4·t2－2m2＋2＝2·t·m2＋2－t2m2＋2≤2m2＋2·t2＋m2＋2－t22＝22，当且仅当t2＝m2＋2－t2(由t>2知存在实数m使t2＝m2＋2－t2成立，同时，也存在实数m使Δ＝8m2＋2－t2>0成立)时，S取得最大值22.第14讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线第第1515讲　圆锥曲线中的热讲　圆锥曲线中的热点问题点问题返回目录考点考向探究核心知识聚焦第15讲　圆锥曲线中的热点问题体验高考体验高考返回目录1.[2014·湖北卷改编]在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C，则轨迹C的方程①为__________．[答案]y2＝4x，x≥0，0，x<0⇒轨迹方程关键词：求曲线方程如①，定义法、待定系数法、代入法.主干知识主干知识[解析]设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1，即（x－1）2＋y2＝|x|＋1，化简整理得y2＝2(|x|＋x)．故点M的轨迹C的方程为y2＝4x，x≥0，0，x<0.核心知识聚焦体验高考体验高考　　返回目录2.[2012·新课标全国卷改编]是否存在②中心在原点，焦点在x轴上的等轴双曲线截直线x＝－4所得的线段长为43？________．(填“存在”或“不存在”)[答案]存在[解析]设等轴双曲线方程为x2－y2＝m(m>0),直线x＝－4与双曲线交于点A，B.由截得线段长为43，得yA＝23，把坐标(－4，23)代入双曲线方程得m＝x2－y2＝16－12＝4，故存在符合要求的双曲线.⇒存在探索性问题关键词：存在、不存在、探索，如②.主干知识主干知识　　第15讲　圆锥曲线中的热点问题核心知识聚焦体验高考体验高考　　返回目录3．[2013·江西卷改编]已知椭圆C：x24＋y2＝1，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M(如图151)，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，则2m－k③的值为________．图151⇒定值问题关键词：参数、定值，如③.主干知识主干知识第15讲　圆锥曲线中的热点问题核心知识聚焦返回目录第15讲　圆锥曲线中的热点问题[答案]12[解析]因为B(2，0)，P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为y＝k(x－2)k≠0，k≠±12，①①代入x24＋y2＝1，解得P8k2－24k2＋1，－4k4k2＋1.直线AD的方程为y＝12x＋1.②①与②联立解得M4k＋22k－1，4k2k－1.核心知识聚焦返回目录由D(0，1)，P8k2－24k2＋1，－4k4k2＋1，N(x，0)三点共线知－4k4k2＋1－18k2－24k2＋1－0＝0－1x－0，解得N4k－22k＋1，0.所以MN的斜率为m＝4k2k－1－04k＋22k－1－4k－22k＋1＝4k（2k＋1）2（2k＋1）2－2（2k－1）2＝2k＋14，则2m－k＝2k＋12－k＝12.第15讲　圆锥曲线中的热点问题核心知识聚焦体验高考体验高考　　返回目录4．[2013·广东卷改编]设P为直线l：x－y－2＝0上的点，过点P作抛物线C：x2＝4y的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．当点P(x0，y0)为直线l上的定点④时，则直线AB的方程为________．[答案]x0x－2y－2y0＝0⇒定点问题关键词：参数、定点，如④.主干知识主干知识第15讲　圆锥曲线中的热点问题核心知识聚焦返回目录[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x2＝4y得y′＝12x，抛物线C在点A处的切线PA的方程为y－y1＝x12(x－x1)，即y＝x12x＋y1－12x21，又x21＝4y1，所以y＝x12x－y1.因为点P在切线上，所以有y0＝x12x0－y1，①，同理有y0＝x22x0－y2.②综合①②得，A，B的坐标满足方程y0＝x2x0－y，而过A，B两点的直线是确定的，所以直线AB的方程为x0x－2y－2y0＝0.第15讲　圆锥曲线中的热点问题核心知识聚焦体验高考体验高考　　返回目录5．[2014·湖南卷]平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k的直线，则k⑤的取值范围是________．⇒范围问题关键词：参数、范围如⑤.主干知识主干知识第15讲　圆锥曲线中的热点问题核心知识聚焦返回目录第15讲　圆锥曲线中的热点问题[答案](－∞，－1)∪(1，＋∞)[解析]依题意可知机器人运行的轨迹方程为y2＝4x.设直线l：y＝k(x＋1)，联立y＝k（x＋1），y2＝4x，消去y得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，由Δ＝(2k2－4)2－4k4＜0，得k2＞1，解得k＜－1或k＞1.核心知识聚焦体验高考体验高考　　返回目录6.[2014·北京卷改编]已知椭圆C：x2＋2y2＝4，设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，则线段AB长度的最小值⑥为________．⇒最值问题关键词：参数、函数、不等式、最值如⑥.主干知识主干知识第15讲　圆锥曲线中的热点问题核心知识聚焦返回目录第15讲　圆锥曲线中的热点问题[解析]设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0.因为OA⊥OB，所以OA→·OB→＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－2y0x0.又x20＋2y20＝4，所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝x0＋2y0x02＋(y0－2)2＝x20＋y20＋4y20x20＋4＝x20＋4－x202＋2（4－x20）x20＋4＝x202＋8x20＋4(0＜x20≤4)．因为x202＋8x20≥4(0＜x20≤4)，当x20＝4时等号成立，所以|AB|2≥8,故线段AB长度的最小值为22.[答案]22核心知识聚焦返回目录————教师教师知识必备知识必备————　　概念曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，以f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上，则称曲线C为方程f(x，y)＝0的曲线，方程f(x，y)＝0为曲线C的方程直接法把动点坐标直接代入已知几何条件的方法定义法已知曲线类型，求出确定曲线的系数得出曲线方程的方法（待定系数法）代入法动点P(x，y)随动点Q(x0，y0)运动，Q在曲线C：f(x，y)＝0上，以x，y表示x0，y0，代入曲线C的方程得到动点P轨迹方程的方法参数法把动点坐标(x，y)用参数t进行表达的方法，此时x＝φ(t)，y＝ψ(t)，消掉t即得动点轨迹方程曲线方程与圆锥曲线热点问题曲线方程求法交规法轨迹是由两动直线(或曲线)交点构成的，在两动直线(曲线)中消掉参数即得轨迹方程的方法第15讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线知识必备曲线方程与圆锥曲线热点问题返回目录————教师教师知识必备知识必备————　　含义含有可变参数的曲线系所经过的点中不随参数变化的某个点或某几个点定点解法把曲线系方程按照参数进行集项，使得方程对任意参数恒成立的方程组的解即为曲线系恒过的定点含义不随其他量的变化而发生数值变化的量定值解法建立这个量关于其他量的关系式，最后的结果与其他变化的量无关含义一个量变化时的变化范围范围解法建立这个量关于其他量的函数关系式或者不等式，求解这个函数的变化范围或者解不等式含义一个量在变化时的最大值和最小值曲线方程与圆锥曲线热点问题圆热点问题最值解法建立这个量的函数关系式，求解这个函数的最值第15讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线返回目录►考点一轨迹方程﹑存在探索性问题轨迹问题——1.求点的轨迹；2.求轨迹方程存在探究性问题——1.存在性问题；2.探究性问题题型：选择，填空，解答分值：5－8分难度：中等偏难热点：轨迹方程与存在性问题第15讲　圆锥曲线中的热点问题考点考向探究返回目录例1已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x－2y＋35＝0相切，点A为圆上一动点，AM⊥x轴于点M，且动点N满足ON→＝33OA→＋1－33OM→，设动点N的轨迹为曲线C，求曲线C的方程．第15讲　圆锥曲线中的热点问题►考向一求点的轨迹问题考点考向探究返回目录解：设动点N(x，y)，A(x0，y0)，因为AM⊥x轴于M，所以M(x0，0)．设圆C1的方程为x2＋y2＝r2，由题意得r＝351＋4＝3，所以圆C1的程为x2＋y2＝9.根据题意，ON→＝33OA→＋1－33OM→，所以(x，y)＝33(x0，y0)＋1－33(x0，0)，所以x＝x0，y＝33y0，即x0＝x，y0＝3y.将Ax，3y代入x2＋y2＝9，得曲线C的方程为x29＋y23＝1.第15讲　圆锥曲线中的热点问题考点考向探究返回目录[小结]求动点的轨迹方程的基本方法是直接法、待定系数法(定义法)和代入法．第15讲　圆锥曲线中的热点问题考点考向探究　返回目录变式题如图152所示，在△ABC中，已知A(－22，0)，B(22，0)，且三内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB．建立适当的坐标系，则顶点C的轨迹方程是________．图152第15讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线考点考向探究返回目录[解析]∵2sinA＋sinC＝2sinB，∴由正弦定理得2|CB|＋|AB|＝2|CA|，从而有|CA|－|CB|＝12|AB|＝22<|AB|，由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支，且a＝2，c＝22，∴b2＝c2－a2＝6，所以顶点C的轨迹方程为x22－y26＝1x>2.第15讲　圆锥曲线中的热点问题[答案]x22－y26＝1(x>2)考点考向探究返回目录例2已知椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)和直线l：y＝bx＋2，椭圆Γ的离心率e＝63，原点O到直线l的距离为2.(1)求椭圆Γ的方程．(2)已知定点E(－1，0)，若直线y＝kx＋2(k≠0)与椭圆Γ相交于C，D两点，试判断是否存在k值，使以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k值；若不存在，说明理由．第15讲　圆锥曲线中的热点问题►考向二存在性问题考点考向探究返回目录解：(1)由原点O到直线l的距离为2，得2＝2b2＋1，解得b＝1①，又e＝63，所以c2a2＝a2－b2a2＝23.②由①②可解得a2＝3，∴椭圆Γ的方程是x23＋y2＝1.(2)联立y＝kx＋2，x23＋y2＝1消去y得1＋3k2x2＋12kx＋9＝0.Δ＝144k2－4×9(1＋3k2)＝36k2－36＞0⇒k＞1或k＜－1.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则有x1＋x2＝－12k1＋3k2，x1x2＝91＋3k2，y1·y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝第15讲　圆锥曲线中的热点问题考点考向探究返回目录k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4.∵EC→＝(x1＋1，y1)，ED→＝(x2＋1，y2)，且以CD为直径的圆过定点E，∴EC⊥ED，则(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝0，即(1＋k2)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝0，∴9（1＋k2）1＋3k2＋(2k＋1)－12k1＋3k2＋5＝0，解得k＝76＞1，∴当k＝76时，以CD为直径的圆过定点E.第15讲　圆锥曲线中的热点问题考点考向探究返回目录第15讲　圆锥曲线中的热点问题[小结]存在探索性问题的解法一般是在假设其存在的情况下进行计算和推理，根据得出的结果是否合理确定其存在与否．考点考向探究　返回目录变式题已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，假设在双曲线的右支上存在一点P，使得PF1＝3PF2，则双曲线的离心率e的取值范围为()A．10，a为常数)上任取一点P分别作两条渐近线的平行线，得矩形PQOR，求证：矩形面积为定值．第15讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线证明：两渐近线方程为x±y＝0，设P(x1，y1)是双曲线上任一点，则有x21－y21＝a2，又|PQ|＝12|x1＋y1|，|PR|＝12|x1－y1|，故S矩形PQOR＝|PQ|·|PR|＝12|x21－y21|＝12a2.即矩形面积为定值．考点考向探究　返回目录►考点三圆锥曲线中的参数范围与最值问题题型：解答分值：5－10分难度：较难热点：参数范围与最值范围问题——1.确定参数范围；2.确定参数的最值最值问题——1.求距离的最值；2.求面积的最值第15讲　圆锥曲线中的热点问题考点考向探究返回目录例５如图154所示，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点(2，1)．图154(1)求抛物线的标准方程；(2)与圆x2＋(y＋1)2＝1相切的直线l：y＝kx＋t交抛物线于不同的两点M，N，若抛物线上一点C满足OC→＝λ(OM→＋ON→)(λ>0)，求λ的取值范围．第15讲　圆锥曲线中的热点问题►考向一确定参数范围考点考向探究返回目录解：(1)根据已知设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，代入点(2，1)的坐标得p＝2，故所求的抛物线方程为x2＝4y.(2)由圆心0，－1到直线l的距离d＝t＋1k2＋1＝1⇒k2＝t2＋2t.设Mx1，y1，Nx2，y2，由y＝kx＋t，x2＝4y得x2－4kx－4t＝0，则Δ＝16k2＋16t>0⇒t2＋3t>0⇒t>0或t<－3，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4t，y1＋y2＝4k2＋2t，第15讲　圆锥曲线中的热点问题考点考向探究返回目录∴OC→＝λOM→＋ON→＝λ(x1＋x2，y1＋y2)＝λ(4k，4k2＋2t)，代入x2＝4y得4kλ2＝4λ(4k2＋2t)，即λ＝2k2＋t2k2＝1＋t2k2＝1＋12·1t＋2.∵t>0或t<－3，令h(t)＝1＋12·1t＋2，∴h(t)在区间－∞，－3，(0，＋∞)上都单调递减，∴λ∈12，1∪1，54.第15讲　圆锥曲线中的热点问题考点考向探究返回目录第15讲　圆锥曲线中的热点问题[小结]解析几何中产生范围的有如下几个因素：(1)直线与曲线相交(判别式)；(2)曲线上点的坐标的范围；(3)题目中要求的限制条件．这些产生范围的因素可能同时出现在一个问题中，在解题时要注意全面把握范围的产生原因．．考点考向探究　返回目录变式题过点(0，6)的直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两支交于不同的两点，则直线l的斜率k的取值范围是________．第15讲　椭圆﹑双曲线﹑抛物线[答案](－1，1)[解析]设直线l的方程为y＝kx＋6，由y＝kx＋6，x2－y2＝2得(1－k2)x2－26kx－8＝0.直线与双曲线的两支交于不同的两点的充要条件是1－k2≠0且x1x2＝－81－k2<0，解得－1b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点B(0，3)为短轴的一个端点，∠OF2B＝60°.(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，过右焦点F2，且斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于E，F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′.求证：k·k′为定值．返回目录解：(1)由条件得a＝2，b＝3.故所求椭圆方程为x24＋y23＝1.(2)证明：设过点F2(1，0)的直线l的方程为y＝k(x－1)．由y＝k（x－1），x24＋y23＝1，可得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，因为点F2(1，0)在椭圆内，所以直线l和椭圆都相交，即Δ>0恒成立．设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则x1＋x2＝8k24k2＋3，x1x2＝4k2－124k2＋3.因为直线AE的方程为y＝y1x1－2(x－2)，直线AF的方程为y＝y2x2－2(x－2)，第15讲　圆锥曲线中的热点问题返回目录令x＝3，可得M3，y1x1－2，N3，y2x2－2，所以点P的坐标为3，12y1x1－2＋y2x2－2.直线PF2的斜率k′＝12y1x1－2＋y2x2－2－03－1＝14y1x1－2＋y2x2－2＝14·x1y2＋x2y1－2（y1＋y2）x1x2－2（x1＋x2）＋4＝14·2kx1x2－3k（x1＋x2）＋4kx1x2－2（x1＋x2）＋4＝14·2k·4k2－124k2＋3－3k·8k24k2＋3＋4k4k2－124k2＋3－2·8k24k2＋3＋4＝－34k，所以k·k′为定值－34.第15讲　圆锥曲线中的热点问题返回目录例3[配合例5使用]已知直线x＋ky－3＝0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知圆O：x2＋y2＝1，直线l：mx＋ny＝1，试证：当点P(m，n)在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围．第15讲　圆锥曲线中的热点问题返回目录解：(1)设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1，直线x＋ky－3＝0所经过的定点是(3，0)，即点F(3，0)，∵椭圆C上的点到点F的最大距离为8，∴a＋3＝8，a＝5，∴b2＝a2－c2＝16，∴椭圆C的方程为x225＋y216＝1.(2)∵点P(m，n)在椭圆C上，∴m225＋n216＝1，n2＝16－16m225，∴原点到直线l：mx＋ny＝1的距离d＝1m2＋n2＝1925m2＋16＜1，∴直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1恒相交，L2＝4(r2－d2)＝41－1925m2＋16.∵－5≤m≤5，∴152≤L≤465.第15讲　圆锥曲线中的热点问题返回目录例4[配合例6使用][2014·北京卷]已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．第15讲　圆锥曲线中的热点问题返回目录解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为x24＋y22＝1.所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝2.故椭圆C的离心率e＝ca＝22.(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0.因为OA⊥OB，所以OA→·OB→＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－2y0x0.又x20＋2y20＝4，所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝x0＋2y0x02＋(y0－2)2＝x20＋y20＋4y20x20＋4＝x20＋4－x202＋2（4－x20）x20＋4＝x202＋8x20＋4(0＜x20≤4)．因为x202＋8x20≥4(0＜x20≤4)，当x20＝4时等号成立，所以|AB|2≥8.故线段AB长度的最小值为22.第15讲　圆锥曲线中的热点问题