高考文科数学二轮专题复习题《专题5 第1讲 直线与圆》

出处:老师板报网 时间:2023-02-21

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专题五 解析几何第1讲 直线与圆(建议用时:60分钟)一、选择题1.(2014·福建卷)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是(  ).A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0解析 圆x2+(y-3)2=4的圆心为点(0,3),又因为直线l与直线x+y+1=0垂直,所以直线l的斜率k=1.由点斜式得直线l:y-3=x-0,化简得x-y+3=0.答案 D2.“a=b”是“直线y=x+2与圆(x-a)2+(x-b)2=2相切”的(  ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由直线与圆相切,得=,即|a-b+2|=2,所以由a=b可推出|a-b+2|=2,即直线与圆相切,充分性成立;反之|a-b+2|=2,解得a=b或a-b=-4,必要性不成立.答案 A3.过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为(  ).A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0解析 如图,圆心坐标为(1,0),易知A(1,1),直线AB一定与点(3,1),(1,0)的连线垂直,这两点连线的斜率为,故直线AB的斜率为-2,故直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0.答案 A4.(2014·青岛质检)已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点,且与直线3x+4y+2=0相切,则该圆的方程为(  ).A.(x-1)2+y2=B.x2+(y-1)2=C.(x-1)2+y2=1D.x2+(y-1)2=1解析 因为抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),所以a=1,b=0.又根据=1=r,所以圆的方程为(x-1)2+y2=1.答案 C5.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积是(  ).A.10B.20C.30D.40解析 配方可得(x-3)2+(y-4)2=25,其圆心为(3,4),半径为r=5,则过点(3,5)的最长弦AC=2r=10,最短弦BD=2=4,且有AC⊥BD,则四边形ABCD的面积为S=AC×BD=20.答案 B6.(2013·重庆卷)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为(  ).A.5-4B.-1C.6-2D.解析 两圆心坐标分别为C1(2,3),C2(3,4).C1关于x轴对称的点C1′的坐标为(2,-3),连接C2C1′,线段C2C1′与x轴的交点即为P点.(|PM|+|PN|)min=|C2C1′|-R1-R2=-1-3=-4=5-4(R1,R2分别为两圆的半径).故选A.答案 A7.(2013·江西卷)过点(,0)引直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于(  ).A.B.-C.±D.-解析 如图,∵S△AOB=|OA||OB|sin∠AOB=sin∠AOB≤,当∠AOB=时,S△AOB面积最大.此时O到AB的距离d=.设AB方程为y=k(x-)(k<0),即kx-y-k=0.由d==,得k=-.(也可k=-tan∠OPH=-)答案 B二、填空题8.(2014·湖北卷)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2=__________.解析 依题意,不妨设直线y=x+a与单位圆相交于A,B两点,则∠AOB=90°.如图,此时a=1,b=-1,满足题意,所以a2+b2=2.答案 29.(2014·重庆卷)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=________.解析 圆心C(1,a)到直线ax+y-2=0的距离为.因为△ABC为等边三角形,所以|AB|=|BC|=2,所以2+12=22,解得a=4±.答案 4±10.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ax-6=0(a>0)的公共弦的长为2,则a=________.解析 x2+y2+2ax-6=0(a>0)可知圆心为(-a,0),半径为,两圆公共弦所在方程为(x2+y2+2ax-6)-(x2+y2)=-4,即x=,所以有2-2=2解得a=1或-1(舍去).答案 111.(2014·绍兴检测)若直线l:4x+3y-8=0过圆C:x2+y2-ax=0的圆心且交圆C于A,B两点,O坐标原点,则△OAB的面积为________.解析 由题意知,圆C:x2+y2-ax=0的圆心为.又直线l:4x+3y-8=0过圆C的圆心,∴4×+3×0-8=0.∴a=4.∴圆C的方程为x2+y2-4x=0,即(x-2)2+y2=4.∴|AB|=2r=4.又点O(0,0)到直线l:4x+3y-8=0的距离d==,∴S△OAB=|AB|·d=×4×=.答案 12.若直线ax+by=1过点A(b,a),则以坐标原点O为圆心,OA长为半径的圆的面积的最小值是________.解析 由题意知,ab=,半径r=≥=1,故面积的最小值为π.答案 π三、解答题13.已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C,求此曲线的方程;(2)若点Q在直线l1:x+y+3=0上,直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M,求|QM|的最小值.解 (1)设点P的坐标为(x,y),则=2化简可得(x-5)2+y2=16,即为所求.(2)曲线C是以点(5,0)为圆心,4为半径的圆,如图.由直线l2是此圆的切线,连接CQ,则|QM|==,当CQ⊥l1时,|CQ|取最小值,|CQ|==4,此时|QM|的最小值为=4.14.在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.(1)求圆C的方程;(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB,求a的值.解 (1)曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点为(0,1),(3±2,0).故可设圆心坐标为(3,t),则有32+(t-1)2=2+t2.解得t=1,则圆的半径为=3.所以圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组消去y得到方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0,由已知可得判别式Δ=56-16a-4a2>0,由根与系数的关系可得x1+x2=4-a,x1x2=,①由OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0.又y1=x1+a,y2=x2+a.所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.由①②可得a=-1,满足Δ>0,故a=-1.15.已知以点C(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为原点.(1)求证:△AOB的面积为定值;(2)设直线2x+y-4=0与圆C交于点M,N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程;(3)在(2)的条件下,设P,Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标.(1)证明 由题设知,圆C的方程为(x-t)2+2=t2+,化简得x2-2tx+y2-y=0,当y=0时,x=0或2t,则A(2t,0);当x=0时,y=0或,则B,∴S△AOB=|OA|·|OB|=|2t|·=4为定值.(2)解 ∵|OM|=|ON|,则原点O在MN的中垂线上,设MN的中点为H,则CH⊥MN,∴C,H,O三点共线,则直线OC的斜率k===,∴t=2或t=-2.∴圆心为C(2,1)或(-2,-1),∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5,由于当圆方程为(x+2)2+(y+1)2=5时,直线2x+y-4=0到圆心的距离d>r,此时不满足直线与圆相交,故舍去,∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.(3)解 点B(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为B′(-4,-2),则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|,又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|-r=-=3-=2.所以|PB|+|PQ|的最小值为2,直线B′C的方程为y=x,则直线B′C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为.
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