高考文科数学二轮专题复习题《专题5 第1讲 直线与圆》

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专题五　解析几何第1讲　直线与圆(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2014·福建卷)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(　　)．A．x＋y－2＝0B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0D．x－y＋3＝0解析　圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.答案　D2．“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(x－b)2＝2相切”的(　　)．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析　由直线与圆相切，得＝，即|a－b＋2|＝2，所以由a＝b可推出|a－b＋2|＝2，即直线与圆相切，充分性成立；反之|a－b＋2|＝2，解得a＝b或a－b＝－4，必要性不成立．答案　A3．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　)．A．2x＋y－3＝0B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0D．4x＋y－3＝0解析　如图，圆心坐标为(1,0)，易知A(1,1)，直线AB一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为，故直线AB的斜率为－2，故直线AB的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.答案　A4．(2014·青岛质检)已知圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆心为抛物线y2＝4x的焦点，且与直线3x＋4y＋2＝0相切，则该圆的方程为(　　)．A．(x－1)2＋y2＝B．x2＋(y－1)2＝C．(x－1)2＋y2＝1D．x2＋(y－1)2＝1解析　因为抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，所以a＝1，b＝0.又根据＝1＝r，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.答案　C5．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是(　　)．A．10B．20C．30D．40解析　配方可得(x－3)2＋(y－4)2＝25，其圆心为(3,4)，半径为r＝5，则过点(3,5)的最长弦AC＝2r＝10，最短弦BD＝2＝4，且有AC⊥BD，则四边形ABCD的面积为S＝AC×BD＝20.答案　B6．(2013·重庆卷)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)．A．5－4B．－1C．6－2D．解析　两圆心坐标分别为C1(2,3)，C2(3，4)．C1关于x轴对称的点C1′的坐标为(2，－3)，连接C2C1′，线段C2C1′与x轴的交点即为P点．(|PM|＋|PN|)min＝|C2C1′|－R1－R2＝－1－3＝－4＝5－4(R1，R2分别为两圆的半径)．故选A.答案　A7．(2013·江西卷)过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于(　　)．A.B．－C．±D．－解析　如图，∵S△AOB＝|OA||OB|sin∠AOB＝sin∠AOB≤，当∠AOB＝时，S△AOB面积最大．此时O到AB的距离d＝.设AB方程为y＝k(x－)(k<0)，即kx－y－k＝0.由d＝＝，得k＝－.(也可k＝－tan∠OPH＝－)答案　B二、填空题8．(2014·湖北卷)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝__________.解析　依题意，不妨设直线y＝x＋a与单位圆相交于A，B两点，则∠AOB＝90°.如图，此时a＝1，b＝－1，满足题意，所以a2＋b2＝2.答案　29．(2014·重庆卷)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.解析　圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为.因为△ABC为等边三角形，所以|AB|＝|BC|＝2，所以2＋12＝22，解得a＝4±.答案　4±10．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ax－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝________.解析　x2＋y2＋2ax－6＝0(a>0)可知圆心为(－a,0)，半径为，两圆公共弦所在方程为(x2＋y2＋2ax－6)－(x2＋y2)＝－4，即x＝，所以有2－2＝2解得a＝1或－1(舍去)．答案　111．(2014·绍兴检测)若直线l：4x＋3y－8＝0过圆C：x2＋y2－ax＝0的圆心且交圆C于A，B两点，O坐标原点，则△OAB的面积为________．解析　由题意知，圆C：x2＋y2－ax＝0的圆心为.又直线l：4x＋3y－8＝0过圆C的圆心，∴4×＋3×0－8＝0.∴a＝4.∴圆C的方程为x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4.∴|AB|＝2r＝4.又点O(0,0)到直线l：4x＋3y－8＝0的距离d＝＝，∴S△OAB＝|AB|·d＝×4×＝.答案　12．若直线ax＋by＝1过点A(b，a)，则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值是________．解析　由题意知，ab＝，半径r＝≥＝1，故面积的最小值为π.答案　π三、解答题13．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．解　(1)设点P的坐标为(x，y)，则＝2化简可得(x－5)2＋y2＝16，即为所求．(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．由直线l2是此圆的切线，连接CQ，则|QM|＝＝，当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，|CQ|＝＝4，此时|QM|的最小值为＝4.14．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．解　(1)曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点为(0,1)，(3±2，0)．故可设圆心坐标为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝2＋t2.解得t＝1，则圆的半径为＝3.所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组消去y得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0，由已知可得判别式Δ＝56－16a－4a2＞0，由根与系数的关系可得x1＋x2＝4－a，x1x2＝，①由OA⊥OB可得x1x2＋y1y2＝0.又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a.所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.由①②可得a＝－1，满足Δ＞0，故a＝－1.15．已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．(1)求证：△AOB的面积为定值；(2)设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程；(3)在(2)的条件下，设P，Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C上的动点，求|PB|＋|PQ|的最小值及此时点P的坐标．(1)证明　由题设知，圆C的方程为(x－t)2＋2＝t2＋，化简得x2－2tx＋y2－y＝0，当y＝0时，x＝0或2t，则A(2t,0)；当x＝0时，y＝0或，则B，∴S△AOB＝|OA|·|OB|＝|2t|·＝4为定值．(2)解　∵|OM|＝|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C，H，O三点共线，则直线OC的斜率k＝＝＝，∴t＝2或t＝－2.∴圆心为C(2,1)或(－2，－1)，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋1)2＝5，由于当圆方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝5时，直线2x＋y－4＝0到圆心的距离d>r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.(3)解　点B(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为B′(－4，－2)，则|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|－r＝－＝3－＝2.所以|PB|＋|PQ|的最小值为2，直线B′C的方程为y＝x，则直线B′C与直线x＋y＋2＝0的交点P的坐标为.