2010年高考数学试题分类汇编--圆锥曲线+参考答案(通用版)

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2010年高考数学选择试题分类汇编——圆锥曲线（2010湖南文数）5.设抛物线28yx上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是A.4B.6C.8D.12（2010浙江理数）（8）设1F、2F分别为双曲线22221(0,0)xyabab＞＞的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足212PFFF，且2F到直线1PF的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（A）340xy（B）350xy（C）430xy（D）540xy解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，本题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察，属中档题（2010全国卷2理数）（12）已知椭圆2222:1(0)xyCabab＞＞的离心率为32，过右焦点F且斜率为(0)kk＞的直线与C相交于AB、两点．若3AFFB，则k（A）1（B）2（C）3（D）2【答案】B【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.【解析】设直线l为椭圆的有准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B为垂足，过B作BE垂直于AA1与E，由第二定义得，，由，得，∴即k=，故选B.（2010陕西文数）9.已知抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，则p的值为[C]（A）12（B）1（C）2（D）4解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系法一：抛物线y2＝2px（p>0）的准线方程为2px，因为抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，所以2,423pp法二：作图可知，抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切与点（-1,0）所以2,12pp（2010辽宁文数）（9）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（A）2（B）3（C）312（D）512解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为：22221(0,0)xyabab，则一个焦点为(,0),(0,)FcBb一条渐近线斜率为：ba，直线FB的斜率为：bc，()1bbac，2bac220caac，解得512cea.（2010辽宁文数）（7）设抛物线28yx的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF斜率为3，那么PF（A）43（B）8（C）83（D）16解析：选B.利用抛物线定义，易证PAF为正三角形，则4||8sin30PF（2010辽宁理数）(9)设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(A)2(B)3(C)312(D)512【答案】D【命题立意】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想。【解析】设双曲线方程为22221(0,0)xyabab，则F（c,0）,B(0,b)直线FB：bx+cy-bc=0与渐近线y=bxa垂直，所以1bbca，即b2=ac所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以152e或152e（舍去）（2010辽宁理数）(7)设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为-3,那么|PF|=(A)43(B)8(C)83(D)16【答案】B【命题立意】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，考查了等价转化的思想。【解析】抛物线的焦点F（2，0），直线AF的方程为3(2)yx，所以点(2,43)A、(6,43)P，从而|PF|=6+2=8（2010全国卷2文数）（12）已知椭圆C：22221xyab（a>b>0）的离心率为32，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线于C相交于A、B两点，若3AFFB。则k=（A）1（B）2（C）3（D）2【解析】B：1122(,),(,)AxyBxy，∵3AFFB，∴123yy，∵32e，设2,3atct，bt，∴222440xyt，直线AB方程为3xsyt。代入消去x∴222(4)230systyt，∴212122223,44sttyyyyss，222222232,344sttyyss，解得212s，2k（2010浙江文数）（10）设O为坐标原点，1F,2F是双曲线2222xy1ab（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠1FP2F=60°，∣OP∣=7a,则该双曲线的渐近线方程为（A）x±3y=0（B）3x±y=0（C）x±2y=0（D）2x±y=0解析：选D，本题将解析几何与三角知识相结合，主要考察了双曲线的定义、标准方程，几何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题（2010重庆理数）（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是A.直线B.椭圆C.抛物线D.双曲线解析：排除法轨迹是轴对称图形，排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除B（2010山东文数）（9）已知抛物线22(0)ypxp，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（A）1x(B)1x(C)2x(D)2x答案：B（2010四川理数）（9）椭圆22221()xyabab的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（A）20,2（B）10,2（C）21,1（D）1,12解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等而|FA|＝22abccc|PF|∈[a－c,a＋c]于是2bc∈[a－c,a＋c]即ac－c2≤b2≤ac＋c2∴222222accacacacc1112caccaa或又e∈(0,1)故e∈1,12答案：D（2010天津理数）(5)已知双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线方程是y=3x,它的一个焦点在抛物线224yx的准线上，则双曲线的方程为（A）22136108xy（B）221927xy（C）22110836xy（D）221279xy【答案】B【解析】本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题。依题意知22222369,27bacabcab，所以双曲线的方程为221927xy【温馨提示】选择、填空中的圆锥曲线问题通常考查圆锥曲线的定义与基本性质，这部分内容也是高考的热点内容之一，在每年的天津卷中三种软件曲线都会在题目中出现。（2010广东文数）7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是A.54B.53C.52D.51（2010福建文数）11．若点O和点F分别为椭圆22143xy的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OPFP的最大值为A．2B．3C．6D．8【答案】C【解析】由题意，F（-1，0），设点P00(,)xy，则有2200143xy,解得22003(1)4xy，因为00(1,)FPxy，00(,)OPxy，所以2000(1)OPFPxxy=00(1)OPFPxx203(1)4x=20034xx，此二次函数对应的抛物线的对称轴为02x，因为022x，所以当02x时，OPFP取得最大值222364，选C。【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。（2010全国卷1文数）（8）已知1F、2F为双曲线C:221xy的左、右焦点，点P在C上，∠1FP2F=060，则12||||PFPF(A)2(B)4(C)6(D)88.B【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析1】.由余弦定理得cos∠1FP2F=222121212||||||2||||PFPFFFPFPF22221212121201212222221cos60222PFPFPFPFPFPFFFPFPFPFPF12||||PFPF4【解析2】由焦点三角形面积公式得：120220121260113cot1cot3sin6022222FPFSbPFPFPFPF12||||PFPF4（2010全国卷1理数）(9)已知1F、2F为双曲线C:221xy的左、右焦点，点P在C上，∠1FP2F=060，则P到x轴的距离为(A)32(B)62(C)3(D)6（2010四川文数）（10）椭圆222210xyaab＞b＞的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A．在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（A）（0，22]（B）（0，12]（C）[21，1）（D）[12，1）解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等而|FA|＝22abccc|PF|∈[a－c,a＋c]于是2bc∈[a－c,a＋c]即ac－c2≤b2≤ac＋c2∴222222accacacacc1112caccaa或又e∈(0,1)故e∈1,12答案：D（2010四川文数）(3)抛物线28yx的焦点到准线的距离是(A)1(B)2(C)4(D)8解析：由y2＝2px＝8x知p＝4又交点到准线的距离就是p答案：C（2010湖北文数）9.若直线yxb与曲线234yxx有公共点，则b的取值范围是A.[122,122]B.[12,3]C.[-1,122]D.[122,3]（2010山东理数）(7)由曲线y=2x,y=3x围成的封闭图形面积为（A）112(B)14(C)13(D)712【答案】A【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为1230x-x)dx=（1111-1=3412,故选A。【命题意图】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积。（2010安徽理数）5、双曲线方程为2221xy，则它的右焦点坐标为A、2,02B、5,02C、6,02D、3,05.C【解析】双曲线的2211,2ab，232c，62c，所以右焦点为6,02.【误区警示】本题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用222cab求出c即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为21b或22b，从而得出错误结论.（2010湖北理数）9.若直线y=x+b与曲线234yxx有公共点，则b的取值范围是A.1,122B.122,122C.122,3D.12,39．【答案】C【解析】曲线方程可化简为22(2)(3)4(13)xyy，即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，依据数形结合，当直线yxb与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b距离等于2，解得122122bb或，因为是下半圆故可得122b（舍），当直线过（0，3）时，解得b=3,故1223,b所以C正确.（2010福建理数）A．①④B．②③C．②④　　　　　D．③④【答案】C【解析】经分析容易得出②④正确，故选C。【命题意图】本题属新题型，考查函数的相关知识。（2010福建理数）7．若点O和点(2,0)F分别是双曲线2221(a>0)axy的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则OPFP的取值范围为()A．[3-23,)B．[323,)C．7[-,)4D．7[,)4【答案】B【解析】因为(2,0)F是已知双曲线的左焦点，所以214a，即23a，所以双曲线方程为2213xy，设点P00(,)xy，则有220001(3)3xyx，解得220001(3)3xyx，因为00(2,)FPxy，00(,)OPxy，所以2000(2)OPFPxxy=00(2)xx2013x2004213xx，此二次函数对应的抛物线的对称轴为034x，因为03x，所以当03x时，OPFP取得最小值432313323，故OPFP的取值范围是[323,)，选B。【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。（2010福建理数）2．以抛物线24yx的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为()A．22x+y+2x=0B．22x+y+x=0C．22x+y-x=0D．22x+y-2x=0【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为22x-1)+y=1（，即22x-2x+y=0，选D。【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。