2011年高考一轮课时训练(理)10.5曲线与方程及轨迹问题+答案解析(通用版)

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第五节　曲线与方程及轨迹问题一、选择题1．(2008年北京卷)若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为(　　)A．圆　　　B．椭圆　　C．双曲线　　D．抛物线解析：把P到直线x＝－1向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义．答案：D2．一条线段AB的长为2，两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹是()A．双曲线B．双曲线的一分支C．圆D．椭圆答案：C3．已知|AB|＝3，A、B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，OP＝OA＋OB，则动点P的轨迹方程是(　　)A.＋y2＝1B．x2＋＝1C.＋y2＝1D．x2＋＝1答案：A4．已知两定点F1(－1,0)、F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹是(　　)A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．线段答案：D5.设过点P的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP＝2PA，且OQ·AB＝1，则P点的轨迹方程是(　　)A．3x2＋y2＝1B．3x2－y2＝1C.x2－3y2＝1D.x2＋3y2＝1解析：由BP＝2PA及A，B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上知，A(x,0)，B(0,3y)，AB＝(－x,3y)，由点Q与点P关于y轴对称知，Q(－x，y)，OQ＝(－x，y)，则OQ·AB＝·(－x，y)＝x2＋3y2＝1(x>0，y>0)．答案：D二、填空题6．已知两定点A(－2,0)、B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹方程为：________.解析：设动点P的坐标为P(x，y)，由|PA|＝2|PB|⇒＝2平方整理得：x2＋y2－4x＝0，故点P的轨迹方程是x2＋y2－4x＝0.答案：x2＋y2－4x＝07．一动圆与两圆⊙M：x2＋y2＝1和⊙N：x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为_____________________________________________________．　　　答案：双曲线4(x＋2)2－y2＝1的左支8．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是________________________________________________．答案：x2＝2y－2三、解答题9.(2009年福建卷)已知直线x－2y＋2＝0经过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS、BS与直线l：x＝分别交于M、N两点．(1)求椭圆C的方程；(2)求线段MN的长度的最小值；(3)当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由．解析：(1)由已知得，椭圆C的左顶点为A(－2,0)，上顶点为D(0,1)，∴a＝2，b＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)直线AS的斜率k显然存在，且k＞0，故可设直线AS的方程为y＝k(x＋2)，从而M，由得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.设S(x1，y1)，则(－2)·x1＝得x1＝，从而y1＝，即S，又B(2,0)，由得，∴N，故|MN|＝，又k＞0，∴|MN|＝＋≥2＝.当且仅当＝，即k＝时等号成立．∴k＝时，线段MN的长度取最小值.(3)由(2)可知，当MN取最小值时，k＝，此时BS的方程为x＋y－2＝0，S，∴|BS|＝，要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于，只需T到直线BS的距离等于，所以T在平行于BS且与BS距离等于的直线l上．设直线l′：x＋y＋t＝0，则由＝，解得t＝－或t＝－.①当t＝－时，由得5x2－12x＋5＝0，由于Δ＝44＞0，故l′与椭圆C有两个不同的支点；②当t＝－时，由得5x2－20x＋21＝0，由于Δ＝－20＜0，故直线l′与椭圆没有交点．综上所述，当线段MN的长度最小时，椭圆上仅存在两个不同的点T，使△TSB的面积为.10．(2009年安徽卷)点P(x0，y0)在椭圆＋＝1(a＞b＞0)上，x0＝acosβ，y0＝bsinβ，0＜β＜.直线l2与直线l1：x＋y＝1垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为γ.(1)证明：点P是椭圆＋＝1与直线l1的唯一交点；(2)证明：tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．证明：(1)法一：由x＋y＝1得y＝(a2－x0x)，代入椭圆＋＝1，得x2－x＋＝0.将，代入上式，得x2－2acosβ·x＋a2cos2β＝0，从而x＝acosβ.因此，方程组有唯一解，即直线l1与椭圆有唯一交点P.法二：显然P是椭圆与l1的交点，若Q(acosβ1，bsinβ1)，0≤β1＜2π是椭圆与l1的交点，代入l1的方程x＋y＝1，得cosβcosβ1＋sinβsinβ1＝1，即cos(β－β1)＝1，β＝β1，故P与Q重合．法三：在第一象限内，由＋＝1可得y＝，y0＝，椭圆在点P处的切线斜率k＝y′(x0)＝－＝－，切线方程为y＝－(x－x0)＋y0，即＋＝1.因此，l1就是椭圆在点P处的切线．根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线l1的唯一交点．(2)tanα＝＝tanβ，l1的斜率为－，l2的斜率为tanγ＝＝tanβ，由此得tanαtanγ＝tan2β≠0，tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．