2015泉州五校高中毕业班摸底联考数学(理科)试卷+答案

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2015年秋季南侨中学、永春三中、永春侨中、荷山中学、南安三中高中毕业班摸底统一考试第I卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出分四个选项中只有一项是符合题目要求的。1.已知集合2{cos0,sin270},{|0}ABxxx则AB为（）A．{0,1}B．{1,1}　C．{1}　D．{0}2．如果复数iaaaaz)23(222为纯虚数，那么实数a的值为（）A．－2B．1C．2D．1或－23.在ABC中，若322,60ACABB，,则ABC的面积()A、3B、32C、332D、3344．下列命题中，真命题是（）A．0,00xeRxB．22,xRxxC．12xxD．222(),,2abababR5.函数)1(),1|(|logaxya的大致图像是（）A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　Ｄ6．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了右边一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（）A.22yxB.21(1)2yx　C.2logyxD.1()2xyx1.99345.16.12y1.54.047.51218.017．若l、m、n是互不相同的空间直线，、是不重合的平面，则下列结论正确的是（）A．//,,ln//lnB．,llC．,lnmn//lmD．,//ll8.如图过拋物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则拋物线的方程为(　　)A．2yx23　B2yx3C．2yx29　D．2yx99.设f为实系数三次多项式函数﹒已知五个方程式的相异实根个数如下表所述﹕方程式相异实根的个数200fx1100fx30fx3100fx1200fx1关于f的极小值﹐试问下列哪一个选项是正确的（）A.2010B.100C.010D.1020﹒10.将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点O为中心﹐其中x﹐y分别为原点O到两个顶点的向量﹒若将原点O到正六角星12个顶点的向量﹐都写成为axby的形式﹐则ab的最大值为（）A.2B.3C.4D.5第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。11．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是.12.已知两个单位向量a，b的夹角为30°，ctab，datb.若c0d，则正实数t=____________13.若变量x，y满足约束条件且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是____________14、函数log(3)1ayx(01)aa且，的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+2=0上，其中0mn，则12mn的最小值为15、2008年高考福建省理科数学第11题是：“双曲线2222xyab-=1（0ab0，）的两个焦点为1F、2F，若P为其上一点，且12||2||PFPF，则双曲线离心率的取值范围为：A．（1，3）；B．（1，3]；C．（3，+∞）；D．[3，+∞）”其正确选项是B。若将其中的条件“12||2||PFPF”更换为“12||||PFkPF，0k且1k”，试经过合情推理，得出双曲线离心率的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤。）C1B1A1CBA16.（本小题满分13分）已知向量)sin,cos2(xxm，)cos32,(cosxxnxR，设函数1)(nmxf．（1）求函数fx的单调增区间；（2）已知锐角ABC的三个内角分别为ABC，，，若2)(Af，4B，边3AB，求边BC．17.（本小题满分13分）已知等差数列{}na的各项均为正数，133,7aa，其前n项和为nS，{}nb为等比数列,12b，且2232,bS．(Ⅰ)求na与nb；（Ⅱ）证明4311121nsss.18.（本小题满分13分）如图，在三棱柱111CBAABC中，CCAA11是边长为4的正方形，平面ABC平面CCAA11，5,3BCAB.（1）求证：1AA平面ABC；（2）求二面角111BBCA的余弦值；（3）证明：在线段1BC上存在点D，使得BAAD1，并求1BCBD的值。19.（本小题满分13分）设椭圆E:22221xyab（a,b>0），短轴长为4，离心率为22，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB？若存在，求出该圆的方程，若不存在说明理由。20.（本小题满分14分）已知函数xaxxfln1)(()aR．(Ⅰ)讨论函数)(xf在定义域内的极值点的个数；(Ⅱ)若函数)(xf在1x处取得极值，且对x),0(,2)(bxxf恒成立，求实数b的取值范围；(Ⅲ)当20eyx且ex时，试比较xyxyln1ln1与的大小．21.本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换二阶矩阵M对应的变换T将点(2，－2)与(－4,2)分别变换成点(－2，－2)与(0，－4)．①求矩阵M；②设直线l在变换T作用下得到了直线m：x－y＝6，求l的方程．（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合．若曲线1C的方程为sin()2306，曲线2C的参数方程为cos,sin.xy（Ⅰ）将1C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点Q为2C上的动点，P为1C上的动点，求PQ的最小值．（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x+3|－|x－2|.①求不等式f(x)≥3的解集；②若f(x)≥|a－4|有解，求a的取值范围．2015年秋季南侨中学、永春三中、永春侨中、荷山中学、南安三中高中毕业班摸底统一考试答题卡一、选择题（本大题共10小题，共50分。）题号12345678910答案二、填空题（本大题共5小题，共20分。）11、12、13、14、15、三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤。）16.C1B1A1CBA17.18.19.20.21.2015年秋季南侨中学、永春三中、永春侨中、荷山中学、南安三中高中毕业班摸底统一考试答案第I卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出分四个选项中只有一项是符合题目要求的。1.已知集合2{cos0,sin270},{|0}ABxxx则AB为（）A．{0,1}B．{1,1}　C．{1}　D．{0}解析：∵{1,1},{0,1}AB∴AB={1},选C.2．如果复数iaaaaz)23(222为纯虚数，那么实数a的值为（）A．－2B．1C．2D．1或－2解析：0230222aaaa即2a，故选择答案A3.在ABC中，若322,60ACABB，,则ABC的面积()A、3B、32C、332D、334解析：改编自2014福建理科高考12题，考查三角形的解法和面积公式，答案C4．下列命题中，真命题是（）A．0,00xeRxB．22,xRxxC．12xxD．222(),,2abababR解析：答案为D5.函数)1(),1|(|logaxya的大致图像是（）A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　Ｄ解析：该函数为偶函数，答案为B6．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了右边一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（）B.22yxB.21(1)2yx　C.C.2logyxD.1()2xy解析：由该表提供的信息知，该模拟函数在(0,)应为增函数，故排除D,将3x、4…代入选项A、B、C易得B最接近，故答案应选B.7．若l、m、n是互不相同的空间直线，、是不重合的平面，则下列结论正确的是（）A．//,,ln//lnB．,llC．,lnmn//lmD．,//ll解析：对于A，//ln或,ln异面，所以错误；对于B，l与可能相交可能平行，所以错误；对于C，l与m还可能异面或相交，所以错误.故答案应选D8.如图过拋物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则拋物线的方程为(　　)A．2yx23　B2yx3C．2yx29　D．2yx9【答案】B解析:如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴123p,求得p=32，因此抛物线方程为y2=3x．9.设f为实系数三次多项式函数﹒已知五个方程式的相异实根个数如下表所述﹕方程式相异实根的个数200fx1100fx30fx3100fx1200fx1关于f的极小值﹐试问下列哪一个选项是正确的（）A.2010B.100C.010D.1020﹒解析﹕「方程式()0()fxkfxk的相异实根数」等于「函数()yfx与水平线yk两图形的交点数﹒」依题意可得两图形的略图有以下两种情形﹕(1)当()fx的最高次项系数为正时﹕(2)当()fx的最高次项系数为负时﹕因极小值点A位于水平线0y与10y之间﹐所以其y坐标（即极小值）的范围为100﹒故选(B)﹒10.将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点O为中心﹐其中x﹐y分别为原点O到两个顶点的向量﹒若将原点O到正六角星12个顶点的向量﹐都写成为axby的形式﹐则ab的最大值为（）A.2B.3C.4D.5解析﹕因为想求ab的最大值﹐所以考虑图中的6个顶点之向量即可﹒讨论如下﹕(1)因为OAx﹐所以,1,0ab﹒(2)因为3OBOFFByx﹐所以,3,1ab﹒(3)因为2OCOFFCyx﹐所以,2,1ab﹒(4)因为223ODOFFEEDyxOCyxyxyx﹐所以,3,2ab﹒(5)因为OEOFFEyx﹐所以,1,1ab﹒(6)因为OFy﹐所以,0,1ab﹒因此﹐ab的最大值为325﹒故选D﹒第Ⅱ卷（非选择题共100分）三、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。11．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是.解析：由俯视图与侧视图可知三棱锥的底面积为14362，由侧视图可知棱锥的高为2，所以棱锥的体积为16243，13.已知两个单位向量a，b的夹角为30°，ctab，datb.若c0d，则正实数t=____________解析：t=113.若变量x，y满足约束条件且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，a－b的值是____________解析：本题主要考查线性规划的应用，意在考查考生对基础知识的掌握．约束条件表示以(0,0)，(0,2)，(4,4)，(8,0)为顶点的四边形区域，检验四个顶点的坐标可知，当x＝4，y＝4时，a＝zmax＝5×4－4＝16；当x＝8，y＝0时，b＝zmin＝5×0－8＝－8，∴a－b＝24.14、函数log(3)1ayx(01)aa且，的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+2=0上，其中0mn，则12mn的最小值为2007山东卷改编答案：415、2008年高考福建省理科数学第11题是：“双曲线2222xyab-=1（0ab0，）的两个焦点为1F、2F，若P为其上一点，且12||2||PFPF，则双曲线离心率的取值范围为：A．（1，3）；B．（1，3]；C．（3，+∞）；D．[3，+∞）”其正确选项是B。若将其中的条件“12||2||PFPF”更换为“12||||PFkPF，0k且1k”，试经过合情推理，得出双曲线离心率的取值范围是答案：1(1,]|1|kk三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤。）16.（本小题满分13分）已知向量)sin,cos2(xxm，)cos32,(cosxxnxR，设函数1)(nmxf．（1）求函数fx的单调增区间；（2）已知锐角ABC的三个内角分别为ABC，，，若2)(Af，4B，边3AB，求边BC．解：（1）1)(nmxf1cossin32cos22xxxxx2sin32cos．)62sin(2x…………………………4分∵xR，由kxk226222得)(63Zkkxk………6分∴函数fx的单调增区间为．)(6,3Zkkk……………………7分（2）∵2)(Af，即2)62sin(2A，∵角A为锐角，得6A，………9分又4B，∴127C，∴426)34sin(127sinsinC∵3AB，由正弦定理得2)26(3sinsinCAABBC………13分本题由练习改编，考查向量的坐标运算，三角恒等变换，及正弦定理的应用。17.（本小题满分13分）已知等差数列{}na的各项均为正数，133,7aa，其前n项和为nS，{}nb为等比数列,12b，且2232,bS．(Ⅰ)求na与nb；（Ⅱ）证明4311121nsss.解：（1）设}na的公差为d，且0;d}nb的公比为q13223(1),2327(6)23222nnnandbqadSbdqdq21,2nnnanb…………………7分（2）35(21)(2)nSnnn，………9分∴121111111132435(2)nSSSnn11111111(1)2324352nn1111(1)2212nn43)2)(1(23243nnn…………………13分C1B1A1CBA19.（本小题满分13分）如图，在三棱柱111CBAABC中，CCAA11是边长为4的正方形，平面ABC平面CCAA11，5,3BCAB.（1）求证：1AA平面ABC；（2）求二面角111BBCA的余弦值；（3）证明：在线段1BC上存在点D，使得BAAD1，并求1BCBD的值。解：（I）因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC.因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1⊥平面ABC.………3分(II)由（I）知AA1⊥AC，AA1⊥AB.由题知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB⊥AC.如图，以A为原点建立空间直角坐标系A－xyz,则B(0，3，0),A1(0，0，4),B1(0，3，4),C1(4，0，4)，设平面A1BC1的法向量为,,)xyzn=(，则11100ABACnn,即34040yzx，令3z，则0x，4y，所以(0,4,3)n=.………6分同理可得，平面BB1C1的法向量为(3,4,0)m=,所以16cos25nmn,m|n||m|.由题知二面角A1－BC1－B1为锐角，所以二面角A1－BC1－B1的余弦值为1625.………8分(III)设D(,,)xyz是直线BC1上一点，且1BDBC.所以(,3,)(4,3,4)xyz.解得4x，33y，4z.所以(4,33,4)AD.由1·0ADAB，即9250.解得925.………11分因为9[0,1]25，所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B.此时，1925BDBC.………13分19.（本小题满分13分）设椭圆E:22221xyab（a,b>0），短轴长为4，离心率为22，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB？若存在，求出该圆的方程，若不存在说明理由。解:（1）因为椭圆E:22221xyab（a,b>0）,b=2,e=22所以解得所以2284ab椭圆E的方程为22184xy………5分（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB,设该圆的切线方程为ykxm解方程组22184xyykxm得222()8xkxm,即222(12)4280kxkmxm,………7分则△=222222164(12)(28)8(84)0kmkmkm,即22840km②12221224122812kmxxkmxxk,22222222212121212222(28)48()()()121212kmkmmkyykxmkxmkxxkmxxmmkkk要使OAOB,需使12120xxyy,即2222228801212mmkkk,所以223880mk,所以223808mk又22840km,所以22238mm,所以283m,即263m或263m,因为直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为21mrk,222228381318mmrmk,263r,所求的圆为2283xy,………11分此时圆的切线ykxm都满足263m或263m,而当切线的斜率不存在时切线为263x与椭圆22184xy的两个交点为2626(,)33或2626(,)33满足OAOB,综上,存在圆心在原点的圆2283xy，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB.………13分20.（本小题满分14分）已知函数xaxxfln1)(()aR．(Ⅰ)讨论函数)(xf在定义域内的极值点的个数；(Ⅱ)若函数)(xf在1x处取得极值，且对x),0(,2)(bxxf恒成立，求实数b的取值范围；(Ⅲ)当20eyx且ex时，试比较xyxyln1ln1与的大小．解：(Ⅰ)，当时，在上恒成立，函数在单调递减，∴在上没有极值点；当时，得，得，∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．∴当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．………4分(Ⅱ)∵函数在处取得极值，∴，∴，令，可得在上递减，在上递增，∴，即．………9分(Ⅲ)解：令，由(Ⅱ)可知在上单调递减，则在上单调递减∴当时，>，即．当时，∴，当时，∴          ………14分           21.本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换二阶矩阵M对应的变换T将点(2，－2)与(－4,2)分别变换成点(－2，－2)与(0，－4)．①求矩阵M；②设直线l在变换T作用下得到了直线m：x－y＝6，求l的方程．解　(1)设M＝，所以，且，解得，所以M＝.………4分(2)因为＝＝且m：x′－y′＝6，所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝6，即x＋y＋3＝0，∴直线l的方程是x＋y＋3＝0………7分（3）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合．若曲线1C的方程为sin()2306，曲线2C的参数方程为cos,sin.xy（Ⅰ）将1C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点Q为2C上的动点，P为1C上的动点，求PQ的最小值．解：（Ⅰ）由已知得31sincos23022，即3430xy………3分（Ⅱ）由2C得221xy，所以圆心为2(0,0)C，半径为1．又圆心到直线1C的距离为23d,…………………5分所以PQ的最大值为231．…………………………7分（4）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x+3|－|x－2|.①求不等式f(x)≥3的解集；②若f(x)≥|a－4|有解，求a的取值范围．解：(1)[1,+)………3分(2)|a－4|≤5∴-1≤a≤9………7分