北京市西城区2011年高三二模试卷数学(理科)+参考答案

出处:老师板报网 时间:2023-03-28

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北京市西城区2011年高三二模试卷数学(理科)2011.5第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{0,1}A,{1,0,3}Ba,且AB,则a等于(A)1(B)0(C)2(D)32.已知i是虚数单位,则复数23zi+2i3i所对应的点落在(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限3.在ABC中,“0ABBC”是“ABC为钝角三角形”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件4.已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形,PA平面ABC.则下列结论不正确的是(A)//CD平面PAF(B)DF平面PAF(C)//CF平面PAB(D)CF平面PAD5.双曲线22221xyab的渐近线与圆22(2)1xy相切,则双曲线离心率为(A)2(B)3(C)2(D)36.函数sin()(0)yx的部分图象如右图所示,设P是图象的最高点,,AB是图象与x轴的交点,则tanAPB(A)10(B)8(C)87(D)477.已知数列{}na的通项公式为13nan,那么满足119102kkkaaa的整数k(A)有3个(B)有2个(C)有1个(D)不存在xABPyO8.设点(1,0)A,(2,1)B,如果直线1axby与线段AB有一个公共点,那么22ab(A)最小值为15(B)最小值为55(C)最大值为15(D)最大值为55第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.在ABC中,若2BA,:1:3ab,则A_____.10.在521()xx的展开式中,2x的系数是_____.11.如图,AB是圆O的直径,P在AB的延长线上,PD切圆O于点C.已知圆O半径为3,2OP,则PC______;ACD的大小为______.12.在极坐标系中,点(2,)2A关于直线:cos1l的对称点的一个极坐标为_____.13.定义某种运算,ab的运算原理如右图所示.设()(0)(2)fxxxx.则(2)f______;()fx在区间[2,2]上的最小值为______.14.数列{}na满足11a,11nnnaan,其中R,12n,,.①当0时,20a_____;②若存在正整数m,当nm时总有0na,则的取值范围是_____.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)OABPDC•ab开始输入否结束SbSa输出是已知函数cos2()sin()4xfxx.(Ⅰ)求函数()fx的定义域;(Ⅱ)若4()3fx,求sin2x的值.16.(本小题满分13分)如图,已知菱形ABCD的边长为6,60BAD,ACBDO.将菱形ABCD沿对角线AC折起,使32BD,得到三棱锥BACD.(Ⅰ)若点M是棱BC的中点,求证://OM平面ABD;(Ⅱ)求二面角ABDO的余弦值;(Ⅲ)设点N是线段BD上一个动点,试确定N点的位置,使得42CN,并证明你的结论.17.(本小题满分13分)甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手,乙班有3名男乒乓球选手和1名女乒乓球选手,学校计划从甲乙两班各选2名选手参加体育交流活动.(Ⅰ)求选出的4名选手均为男选手的概率.(Ⅱ)记X为选出的4名选手中女选手的人数,求X的分布列和期望.18.(本小题满分14分)已知函数()(1)e(0)xafxxx,其中e为自然对数的底数.(Ⅰ)当2a时,求曲线()yfx在(1,(1))f处的切线与坐标轴围成的面积;(Ⅱ)若函数()fx存在一个极大值点和一个极小值点,且极大值与极小值的积为5e,求a的值.19.(本小题满分14分)M已知椭圆2222:1xyMab(0)ab的离心率为223,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为246.(Ⅰ)求椭圆M的方程;(Ⅱ)设直线l与椭圆M交于,AB两点,且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,求ABC面积的最大值.20.(本小题满分13分)若mAAA,,,21为集合2}(,,2,1{nnA且)n*N的子集,且满足两个条件:①12mAAAA;②对任意的Ayx},{,至少存在一个},,3,2,1{mi,使}{},{xyxAi或}{y.则称集合组mAAA,,,21具有性质P.如图,作n行m列数表,定义数表中的第k行第l列的数为)(0)(1llklAkAka.(Ⅰ)当4n时,判断下列两个集合组是否具有性质P,如果是请画出所对应的表格,如果不是请说明理由;集合组1:123{1,3},{2,3},{4}AAA;集合组2:123{2,3,4},{2,3},{1,4}AAA.(Ⅱ)当7n时,若集合组123,,AAA具有性质P,请先画出所对应的7行3列的一个数表,再依此表格分别写出集合123,,AAA;(Ⅲ)当100n时,集合组12,,,tAAA是具有性质P且所含集合个数最小的集合组,求t的值及12||||||tAAA的最小值.(其中||iA表示集合iA所含元素的个数)11a12a…ma121a22a…ma2…………1na2na…nma北京市西城区2011年高三二模试卷参考答案及评分标准数学(理科)2011.5一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.题号12345678答案CCADCBBA二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.3010.511.1;7512.(22,)4(或其它等价写法)13.2;614.120;(21,2),kkk*N.注:11、13、14题第一问2分,第二问3分.三、解答题:本大题共6小题,共80分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分.15.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)由题意,sin()04x,………………2分所以()4xkkZ,………………3分所以()4xkkZ,………………4分函数()fx的定义域为{xx,4kkZ}.………………5分(Ⅱ)cos2cos2()sin()sincoscossin444xxfxxxx………………7分2cos2sincosxxx………………8分222(cossin)2(cossin)sincosxxxxxx.………………10分因为4()3fx,所以22cossin3xx.………………11分所以,2sin21(cossin)xxx………………12分81199.………………13分16.(本小题满分13分)(Ⅰ)证明:因为点O是菱形ABCD的对角线的交点,所以O是AC的中点.又点M是棱BC的中点,所以OM是ABC的中位线,//OMAB.………………1分因为OM平面ABD,AB平面ABD,所以//OM平面ABD.………………3分(Ⅱ)解:由题意,3OBOD,因为32BD,所以90BOD,OBOD.………………4分又因为菱形ABCD,所以OBAC,ODAC.建立空间直角坐标系Oxyz,如图所示.(33,0,0),(0,3,0),AD(0,0,3)B.所以(33,0,3),(33,3,0),ABAD………………6分设平面ABD的法向量为n(,,)xyz,则有0,0ABADnn即:3330,3330xzxy令1x,则3,3yz,所以n(1,3,3).………………7分因为,ACOBACOD,所以AC平面BOD.平面BOD的法向量与AC平行,所以平面BOD的法向量为0(1,0,0)n.………………8分00017cos,717nnnnnn,因为二面角ABDO是锐角,所以二面角ABDO的余弦值为77.……………9分ABCODxyzM(Ⅲ)解:因为N是线段BD上一个动点,设111(,,)Nxyz,BNBD,则111(,,3)(0,3,3)xyz,所以1110,3,33xyz,……………10分则(0,3,33)N,(33,3,33)CN,由42CN得22279(33)42,即29920,…………11分解得13或23,……………12分所以N点的坐标为(0,2,1)或(0,1,2).……………13分(也可以答是线段BD的三等分点,2BNND或2BNND)17.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)事件A表示“选出的4名选手均为男选手”.由题意知232254()CPACC………………3分11110220.………………5分(Ⅱ)X的可能取值为0,1,2,3.………………6分23225431(0)10620CPXCC,………………7分11212333225423337(1)10620CCCCPXCC,………………9分21332254333(3)10620CCPXCC,………………10分(2)1(0)(1)(3)PXPXPXPX920.………………11分X的分布列:X0123P120720920320………………12分179317()01232020202010EX.………………13分18、(本小题满分14分)解:(Ⅰ)22()exxaxafxx,………………3分当2a时,2222()exxxfxx,12122(1)ee1f,(1)ef,所以曲线()yfx在(1,(1))f处的切线方程为e2eyx,………………5分切线与x轴、y轴的交点坐标分别为(2,0),(0,2e),………………6分所以,所求面积为122e2e2.………………7分(Ⅱ)因为函数()fx存在一个极大值点和一个极小值点,所以,方程20xaxa在(0,)内存在两个不等实根,………………8分则240,0.aaa………………9分所以4a.………………10分设12,xx为函数()fx的极大值点和极小值点,则12xxa,12xxa,………………11分因为,512()()efxfx,所以,1251212eeexxxaxaxx,………………12分即1225121212()eexxxxaxxaxx,225eeaaaaa,5eea,解得,5a,此时()fx有两个极值点,所以5a.………………14分19.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为246,所以24622ca,……………1分又椭圆的离心率为223,即223ca,所以223ca,………………2分所以3a,22c.………………4分所以1b,椭圆M的方程为1922yx.………………5分(Ⅱ)方法一:不妨设BC的方程(3),(0)ynxn,则AC的方程为)3(1xny.由22(3),19ynxxy得0196)91(2222nxnxn,………………6分设),(11yxA,),(22yxB,因为222819391nxn,所以19327222nnx,………………7分同理可得2219327nnx,………………8分所以1961||22nnBC,222961||nnnnAC,………………10分964)1()1(2||||212nnnnACBCSABC,………………12分设21nnt,则22236464899tSttt,………………13分当且仅当38t时取等号,所以ABC面积的最大值为83.………………14分方法二:不妨设直线AB的方程xkym.由22,1,9xkymxy消去x得222(9)290kykmym,………………6分设),(11yxA,),(22yxB,则有12229kmyyk,212299myyk.①………………7分因为以AB为直径的圆过点C,所以0CACB.由1122(3,),(3,)CAxyCBxy,得1212(3)(3)0xxyy.………………8分将1122,xkymxkym代入上式,得221212(1)(3)()(3)0kyykmyym.将①代入上式,解得125m或3m(舍).………………10分所以125m(此时直线AB经过定点12(,0)5D,与椭圆有两个交点),所以121||||2ABCSDCyy2212122213925(9)144()425525(9)kyyyyk.……………12分设211,099ttk,则29144525ABCStt.所以当251(0,]2889t时,ABCS取得最大值83.……………14分20.(本小题满分13分)(Ⅰ)解:集合组1具有性质P.………………1分所对应的数表为:………………3分集合组2不具有性质P.………………4分因为存在{2,3}1,2,3,4},有123{2,3}{2,3},{2,3}{2,3},{2,3}AAA,与对任意的Ayx},{,都至少存在一个{1,2,3}i,有}{},{xyxAi或}{y矛盾,所以集合组123{2,3,4},{2,3},{1,4}AAA不具有性质P.………………5分(Ⅱ)……………7分123{3,4,5,7},{2,4,6,7},{1,5,6,7}AAA.………………8分(注:表格中的7行可以交换得到不同的表格,它们所对应的集合组也不同)(Ⅲ)设12,,,tAAA所对应的数表为数表M,因为集合组12,,,tAAA为具有性质P的集合组,所以集合组12,,,tAAA满足条件①和②,由条件①:12tAAAA,可得对任意xA,都存在{1,2,3,,}it有iAx,所以1xia,即第x行不全为0,所以由条件①可知数表M中任意一行不全为0.………………9分由条件②知,对任意的Ayx},{,都至少存在一个{1,2,3,,}it,使111111111111000000000011000011001}{},{xyxAi或}{y,所以yixiaa,一定是一个1一个0,即第x行与第y行的第i列的两个数一定不同.所以由条件②可得数表M中任意两行不完全相同.………………10分因为由0,1所构成的t元有序数组共有2t个,去掉全是0的t元有序数组,共有21t个,又因数表M中任意两行都不完全相同,所以10021t,所以7t.又7t时,由0,1所构成的7元有序数组共有128个,去掉全是0的数组,共127个,选择其中的100个数组构造100行7列数表,则数表对应的集合组满足条件①②,即具有性质P.所以7t.………………12分因为12||||||tAAA等于表格中数字1的个数,所以,要使12||||||tAAA取得最小值,只需使表中1的个数尽可能少,而7t时,在数表M中,1的个数为1的行最多7行;1的个数为2的行最多2721C行;1的个数为3的行最多3735C行;1的个数为4的行最多4735C行;因为上述共有98行,所以还有2行各有5个1,所以此时表格中最少有722133543552304个1.所以12||||||tAAA的最小值为304.………………14分
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