北京市西城区2011年高三二模试卷数学(理科)+参考答案

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北京市西城区2011年高三二模试卷数学（理科）2011.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{0,1}A，{1,0,3}Ba，且AB，则a等于（A）1（B）0（C）2（D）32.已知i是虚数单位，则复数23zi+2i3i所对应的点落在（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限3.在ABC中，“0ABBC”是“ABC为钝角三角形”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件4.已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC.则下列结论不正确的是（A）//CD平面PAF（B）DF平面PAF（C）//CF平面PAB（D）CF平面PAD5.双曲线22221xyab的渐近线与圆22(2)1xy相切，则双曲线离心率为（A）2（B）3（C）2（D）36.函数sin()(0)yx的部分图象如右图所示，设P是图象的最高点，,AB是图象与x轴的交点，则tanAPB（A）10（B）8（C）87（D）477．已知数列{}na的通项公式为13nan，那么满足119102kkkaaa的整数k（A）有3个（B）有2个（C）有1个（D）不存在xABPyO8．设点(1,0)A，(2,1)B，如果直线1axby与线段AB有一个公共点，那么22ab（A）最小值为15（B）最小值为55（C）最大值为15（D）最大值为55第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．在ABC中，若2BA，:1:3ab，则A_____.10.在521()xx的展开式中，2x的系数是_____.11．如图，AB是圆O的直径，P在AB的延长线上，PD切圆O于点C.已知圆O半径为3，2OP，则PC______；ACD的大小为______.12.在极坐标系中，点(2,)2A关于直线:cos1l的对称点的一个极坐标为_____.13．定义某种运算，ab的运算原理如右图所示.设()(0)(2)fxxxx.则(2)f______；()fx在区间[2,2]上的最小值为______.14.数列{}na满足11a，11nnnaan，其中R，12n，，．①当0时，20a_____；②若存在正整数m，当nm时总有0na，则的取值范围是_____.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）OABPDC•ab开始输入否结束SbSa输出是已知函数cos2()sin()4xfxx.（Ⅰ）求函数()fx的定义域；（Ⅱ）若4()3fx，求sin2x的值.16.（本小题满分13分）如图，已知菱形ABCD的边长为6，60BAD,ACBDO.将菱形ABCD沿对角线AC折起，使32BD，得到三棱锥BACD.（Ⅰ）若点M是棱BC的中点，求证://OM平面ABD；（Ⅱ）求二面角ABDO的余弦值；（Ⅲ）设点N是线段BD上一个动点，试确定N点的位置，使得42CN，并证明你的结论.17.（本小题满分13分）甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手，乙班有3名男乒乓球选手和1名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选2名选手参加体育交流活动.（Ⅰ）求选出的4名选手均为男选手的概率.（Ⅱ）记X为选出的4名选手中女选手的人数，求X的分布列和期望.18.（本小题满分14分）已知函数()(1)e(0)xafxxx，其中e为自然对数的底数.（Ⅰ）当2a时，求曲线()yfx在(1,(1))f处的切线与坐标轴围成的面积；（Ⅱ）若函数()fx存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e，求a的值.19.（本小题满分14分）M已知椭圆2222:1xyMab(0)ab的离心率为223，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为246．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于,AB两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求ABC面积的最大值．20.（本小题满分13分）若mAAA,,,21为集合2}(,,2,1{nnA且)n*N的子集，且满足两个条件：①12mAAAA；②对任意的Ayx},{，至少存在一个},,3,2,1{mi，使}{},{xyxAi或}{y.则称集合组mAAA,,,21具有性质P.如图，作n行m列数表，定义数表中的第k行第l列的数为)(0)(1llklAkAka.（Ⅰ）当4n时，判断下列两个集合组是否具有性质P，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；集合组1：123{1,3},{2,3},{4}AAA；集合组2：123{2,3,4},{2,3},{1,4}AAA.（Ⅱ）当7n时，若集合组123,,AAA具有性质P，请先画出所对应的7行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合123,,AAA；（Ⅲ）当100n时，集合组12,,,tAAA是具有性质P且所含集合个数最小的集合组，求t的值及12||||||tAAA的最小值.（其中||iA表示集合iA所含元素的个数）11a12a…ma121a22a…ma2…………1na2na…nma北京市西城区2011年高三二模试卷参考答案及评分标准数学（理科）2011.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案CCADCBBA二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.3010.511.1；7512.(22,)4（或其它等价写法）13.2；614.120；(21,2),kkk*N.注：11、13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意，sin()04x，………………2分所以()4xkkZ，………………3分所以()4xkkZ，………………4分函数()fx的定义域为{xx,4kkZ}.………………5分（Ⅱ）cos2cos2()sin()sincoscossin444xxfxxxx………………7分2cos2sincosxxx………………8分222(cossin)2(cossin)sincosxxxxxx.………………10分因为4()3fx，所以22cossin3xx.………………11分所以，2sin21(cossin)xxx………………12分81199.………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，所以O是AC的中点.又点M是棱BC的中点，所以OM是ABC的中位线，//OMAB.………………1分因为OM平面ABD,AB平面ABD,所以//OM平面ABD.………………3分（Ⅱ）解：由题意，3OBOD，因为32BD，所以90BOD，OBOD.………………4分又因为菱形ABCD，所以OBAC，ODAC.建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示.(33,0,0),(0,3,0),AD(0,0,3)B.所以(33,0,3),(33,3,0),ABAD………………6分设平面ABD的法向量为n(,,)xyz，则有0,0ABADnn即：3330,3330xzxy令1x，则3,3yz，所以n(1,3,3).………………7分因为,ACOBACOD,所以AC平面BOD.平面BOD的法向量与AC平行，所以平面BOD的法向量为0(1,0,0)n.………………8分00017cos,717nnnnnn，因为二面角ABDO是锐角，所以二面角ABDO的余弦值为77.……………9分ABCODxyzM（Ⅲ）解：因为N是线段BD上一个动点，设111(,,)Nxyz，BNBD，则111(,,3)(0,3,3)xyz，所以1110,3,33xyz，……………10分则(0,3,33)N，(33,3,33)CN，由42CN得22279(33)42，即29920，…………11分解得13或23，……………12分所以N点的坐标为(0,2,1)或(0,1,2).……………13分（也可以答是线段BD的三等分点，2BNND或2BNND）17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）事件A表示“选出的4名选手均为男选手”.由题意知232254()CPACC………………3分11110220.………………5分（Ⅱ）X的可能取值为0,1,2,3.………………6分23225431(0)10620CPXCC，………………7分11212333225423337(1)10620CCCCPXCC，………………9分21332254333(3)10620CCPXCC，………………10分(2)1(0)(1)(3)PXPXPXPX920.………………11分X的分布列：X0123P120720920320………………12分179317()01232020202010EX.………………13分18、（本小题满分14分）解：（Ⅰ）22()exxaxafxx，………………3分当2a时，2222()exxxfxx，12122(1)ee1f，(1)ef，所以曲线()yfx在(1,(1))f处的切线方程为e2eyx，………………5分切线与x轴、y轴的交点坐标分别为(2,0)，(0,2e)，………………6分所以，所求面积为122e2e2.………………7分（Ⅱ）因为函数()fx存在一个极大值点和一个极小值点，所以，方程20xaxa在(0,)内存在两个不等实根，………………8分则240,0.aaa………………9分所以4a.………………10分设12,xx为函数()fx的极大值点和极小值点，则12xxa，12xxa，………………11分因为，512()()efxfx，所以，1251212eeexxxaxaxx，………………12分即1225121212()eexxxxaxxaxx，225eeaaaaa，5eea，解得，5a，此时()fx有两个极值点，所以5a.………………14分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为246，所以24622ca，……………1分又椭圆的离心率为223，即223ca，所以223ca，………………2分所以3a，22c.………………4分所以1b，椭圆M的方程为1922yx.………………5分（Ⅱ）方法一：不妨设BC的方程(3),(0)ynxn，则AC的方程为)3(1xny.由22(3),19ynxxy得0196)91(2222nxnxn，………………6分设),(11yxA，),(22yxB，因为222819391nxn，所以19327222nnx，………………7分同理可得2219327nnx，………………8分所以1961||22nnBC，222961||nnnnAC，………………10分964)1()1(2||||212nnnnACBCSABC，………………12分设21nnt，则22236464899tSttt，………………13分当且仅当38t时取等号，所以ABC面积的最大值为83.………………14分方法二：不妨设直线AB的方程xkym.由22,1,9xkymxy消去x得222(9)290kykmym，………………6分设),(11yxA，),(22yxB，则有12229kmyyk，212299myyk.①………………7分因为以AB为直径的圆过点C，所以0CACB.由1122(3,),(3,)CAxyCBxy，得1212(3)(3)0xxyy.………………8分将1122,xkymxkym代入上式，得221212(1)(3)()(3)0kyykmyym.将①代入上式，解得125m或3m（舍）.………………10分所以125m（此时直线AB经过定点12(,0)5D，与椭圆有两个交点），所以121||||2ABCSDCyy2212122213925(9)144()425525(9)kyyyyk.……………12分设211,099ttk，则29144525ABCStt.所以当251(0,]2889t时，ABCS取得最大值83.……………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：集合组1具有性质P.………………1分所对应的数表为：………………3分集合组2不具有性质P.………………4分因为存在{2,3}1,2,3,4}，有123{2,3}{2,3},{2,3}{2,3},{2,3}AAA，与对任意的Ayx},{，都至少存在一个{1,2,3}i，有}{},{xyxAi或}{y矛盾，所以集合组123{2,3,4},{2,3},{1,4}AAA不具有性质P.………………5分（Ⅱ）……………7分123{3,4,5,7},{2,4,6,7},{1,5,6,7}AAA.………………8分（注：表格中的7行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同）（Ⅲ）设12,,,tAAA所对应的数表为数表M，因为集合组12,,,tAAA为具有性质P的集合组，所以集合组12,,,tAAA满足条件①和②，由条件①：12tAAAA，可得对任意xA，都存在{1,2,3,,}it有iAx，所以1xia，即第x行不全为0，所以由条件①可知数表M中任意一行不全为0.………………9分由条件②知，对任意的Ayx},{，都至少存在一个{1,2,3,,}it，使111111111111000000000011000011001}{},{xyxAi或}{y，所以yixiaa,一定是一个1一个0，即第x行与第y行的第i列的两个数一定不同.所以由条件②可得数表M中任意两行不完全相同.………………10分因为由0,1所构成的t元有序数组共有2t个，去掉全是0的t元有序数组，共有21t个，又因数表M中任意两行都不完全相同，所以10021t，所以7t.又7t时，由0,1所构成的7元有序数组共有128个，去掉全是0的数组，共127个，选择其中的100个数组构造100行7列数表，则数表对应的集合组满足条件①②，即具有性质P.所以7t.………………12分因为12||||||tAAA等于表格中数字1的个数，所以，要使12||||||tAAA取得最小值，只需使表中1的个数尽可能少，而7t时，在数表M中，1的个数为1的行最多7行；1的个数为2的行最多2721C行；1的个数为3的行最多3735C行；1的个数为4的行最多4735C行；因为上述共有98行，所以还有2行各有5个1，所以此时表格中最少有722133543552304个1.所以12||||||tAAA的最小值为304.………………14分