北京市西城区2011年高三一模试卷数学(理科)+参考答案

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开始是否i输出结束2iSS1ii①1,1Si北京市西城区2011年高三一模试卷数学（理科）2011.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{5}AxxZ，{20}Bxx，则AB等于（A）(2,5)（B）[2,5)（C）{2,3,4}（D）{3,4,5}2．下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（A）2xy（B）2yxx（C）2yx（D）3yx3.设3log2a，3log4b，5.0c，则（A）abc（B）bca（C）cab（D）bac4．设向量(1,sin)a，(3sin,1)b，且//ab，则cos2等于（A）3（B）3（C）3（D）35.阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（A）4（B）5（C）6（D）76.已知函数①xxycossin，②xxycossin22，则下列结论正确的是（A）两个函数的图象均关于点(,0)4成中心对称（B）两个函数的图象均关于直线4x成中心对称（C）两个函数在区间(,)44上都是单调递增函数（D）两个函数的最小正周期相同7．已知曲线1:(0)Cyxx及两点11(,0)Ax和22(,0)Ax，其中210xx.过1A，2A分别作x轴的垂线，交曲线C于1B，2B两点，直线12BB与x轴交于点33(,0)Ax，那么（A）312,,2xxx成等差数列（B）312,,2xxx成等比数列（C）132,,xxx成等差数列（D）132,,xxx成等比数列8．如图，四面体OABC的三条棱OCOBOA,,两两垂直，2OBOA,3OC，D为四面体OABC外一点.给出下列命题.①不存在点D,使四面体ABCD有三个面是直角三角形②不存在点D,使四面体ABCD是正三棱锥③存在点D,使CD与AB垂直并且相等④存在无数个点D,使点O在四面体ABCD的外接球面上其中真命题的序号是（A）①②（B）②③（C）③（D）③④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.在复平面内，复数2i1i对应的点到原点的距离为_____.10.如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知22PA，4PC，圆心O到BC的距离为3，则圆O的半径为_____.11.已知椭圆:Ccos,()2sinxyR经过点1(,)2m，则m______，离心率e______.12.一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为_____.13.某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____种.14.已知数列{}na的各项均为正整数，对于,3,2,1n，有1135,2nnnnnnkkaaaaaa为奇数为偶数.其中为使为奇数的正整数，,当111a时，100a______；若存在*mN，当nm且na为奇数时，na恒为常数p，则p的值为______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）PABCO•OABDC正(主)视图俯视图侧(左)视图344333设ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且54cosB,2b.（Ⅰ）当35a时，求角A的度数；（Ⅱ）求ABC面积的最大值.16．（本小题满分13分）甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为11,,23p.且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为14.（Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；（Ⅱ）求p的值；（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X，求X的分布列和数学期望EX.17.（本小题满分13分）如图,ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，DEAF//，AFDE3，BE与平面ABCD所成角为060.(Ⅰ)求证：AC平面BDE；(Ⅱ)求二面角DBEF的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得//AM平面BEF，并证明你的结论.18.（本小题满分14分）已知函数2(1)()axfxx，其中0a.（Ⅰ）求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）若直线10xy是曲线()yfx的切线，求实数a的值；（Ⅲ）设2()ln()gxxxxfx，求()gx在区间[1,e]上的最大值.（其中e为自然对数的底数）ABCDFE19.（本小题满分14分）已知抛物线22(0)ypxp的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点P，交抛物线于,AB两点，其中点A在第一象限.（Ⅰ）求证：以线段FA为直径的圆与y轴相切；（Ⅱ）若1FAAP,2BFFA,1211[,]42，求2的取值范围.20.（本小题满分13分）定义),,,(21naaa12231||||||nnaaaaaa为有限项数列{}na的波动强度.（Ⅰ）当(1)nna时，求12100(,,,)aaa；（Ⅱ）若数列,,,abcd满足()()0abbc，求证：(,,,)(,,,)abcdacbd；（Ⅲ）设{}na各项均不相等，且交换数列{}na中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列{}na一定是递增数列或递减数列.北京市西城区2011年高三一模试卷参考答案及评分标准数学（理科）2011.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案CBADBCAD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.210.211.415，3212.1213.60，4814.62；1或5注：11题，13题，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为54cosB，所以53sinB.……………………2分因为35a，2b，由正弦定理BbAasinsin可得21sinA.…………………4分因为ba，所以A是锐角，所以o30A.……………………6分（Ⅱ）因为ABC的面积acBacS103sin21，……………………7分所以当ac最大时，ABC的面积最大.因为Baccabcos2222，所以acca58422.……………………9分因为222acac，所以8245acac，……………………11分所以10ac，（当10ac时等号成立）……………………12分所以ABC面积的最大值为3.……………………13分16.（本小题满分13分）解：记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件321,,AAA，依题意有12311(),(),(),23PAPAPAp且321,,AAA相互独立.（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为121()PAA1221233.…………………3分（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件B，则有()PB123()PAAA＝121(1)233pp，…………………5分所以1134p，14p.……………………7分（Ⅲ）X的所有可能取值为3,2,1,0.……………………8分所以1(0)4PX，(1)PXP123()AAAP123()AAAP123()AAA111312111423423424，(2)PXP123()AAAP123()AAAP123()AAA11312111112342342344，(3)PX=P123()AAA＝111123424.……………………11分X分布列为：X0123P14112414124……………………12分所以，1111113()012342442412EX.……………………13分17.（本小题满分13分）(Ⅰ)证明：因为DE平面ABCD，所以ACDE.……………………2分因为ABCD是正方形，所以BDAC，从而AC平面BDE.……………………4分(Ⅱ)解：因为DEDCDA,,两两垂直，所以建立空间直角坐标系xyzD如图所示.因为BE与平面ABCD所成角为060，即60DBE，………………5分所以3DBED.由3AD可知36DE，6AF.………………6分则(3,0,0)A，(3,0,6)F，(0,0,36)E，(3,3,0)B，(0,3,0)C，所以(0,3,6)BF，(3,0,26)EF，………………7分设平面BEF的法向量为n(,,)xyz，则00BFEFnn，即3603260yzxz，令6z，则n(4,2,6).…………………8分因为AC平面BDE，所以CA为平面BDE的法向量，(3,3,0)CA，所以613cos,133226CACACAnnn.…………………9分因为二面角为锐角，所以二面角DBEF的余弦值为1313.………………yBCAEzDFxyBCAEzDFxM10分(Ⅲ)解：点M是线段BD上一个动点，设(,,0)Mtt.则(3,,0)AMtt，因为//AM平面BEF，所以AMn0，…………………11分即4(3)20tt，解得2t.…………………12分此时，点M坐标为(2,2,0)，13BMBD，符合题意.…………………13分18.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）3(2)()axfxx，（0x），……………3分在区间(,0)和(2,)上，()0fx；在区间(0,2)上，()0fx.所以，()fx的单调递减区间是(,0)和(2,)，单调递增区间是(0,2).………4分（Ⅱ）设切点坐标为00(,)xy，则002000030(1)10(2)1axyxxyaxx……………7分（1个方程1分）解得01x，1a.……………8分（Ⅲ）()gxln(1)xxax，则()ln1gxxa，…………………9分解()0gx，得1eax，所以，在区间1(0,e)a上，()gx为递减函数，在区间1(e,)a上，()gx为递增函数.……………10分当1e1a，即01a时，在区间[1,e]上，()gx为递增函数，所以()gx最大值为(e)eegaa.………………11分当1eea，即2a时，在区间[1,e]上，()gx为递减函数，所以()gx最大值为(1)0g.………………12分当11

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