2012福建省高三质检(文科)数学试卷+答案

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2012年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据x1，x2，…，xn的标准差锥体体积公式s=222121()()()nxxxxxxn…　　　　V=31Sh其中x为样本平均数其中S为底面面积，h为高柱体体积公式球的表面积、体积公式V=Sh24SR，343VR其中S为底面面积，h为高其中R为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面上，复数1iiz的共轭复数的对应点所在的象限是A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若是第四象限角,且3cos5，则sin等于A．45B．45C．35D．353．若0.320.32,0.3,log2abc，则,.abc的大小顺序是A．abcB．cabC．cbaD．bca4．在空间中，下列命题正确的是A．平行于同一平面的两条直线平行B．垂直于同一平面的两条直线平行C．平行于同一直线的两个平面平行D．垂直于同一平面的两个平面平行5．甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为xx甲乙，，则下列判断正确的是A．xx甲乙；甲比乙成绩稳定B．xx甲乙；乙比甲成绩稳定C．xx甲乙；甲比乙成绩稳定D．xx甲乙；乙比甲成绩稳定6．已知函数2log,0,()31,0,xxxfxx则1(())4ff的值是A．10B．109C．-2D．-57．已知0232xxxA,axxB1,若AB,则实数a的取值范围是A．1,2B．1,2C．2,D．2,8．如图给出的是计算20121614121的值的程序框图，其中判断框内应填入的是A．2012iB．2012iC．1006iD．1006i．9．函数)3sin()(xxf(0)的图象的相邻两条对称轴间的距离是2．若将函数()fx图象向右平移6个单位，得到函数()gx的解析式为A．)64sin()(xxfB．)34sin()(xxfC．)62sin()(xxfD．xxf2sin)(10．已知)2,0(),0,2(BA,点M是圆2220xyx上的动点，则点M到直线AB的最大距离是A．3212B．322C．3212D．2211．一只蚂蚁从正方体1111ABCDABCD的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点1C位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是A．①②B．①③C．②④D．③④12．设函数()fx及其导函数()fx都是定义在R上的函数，则“1212,,xxxxR且，1212()()fxfxxx”是“,()1xRfx”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．13．已知向量(3,1)a，(,3)xb，若ab，则x_____________．14．若双曲线方程为221916xy，则其离心率等于_______________．15．若变量,xy满足约束条件1,,1,xyxxy则3zxy的最大值为___________．16．对于非空实数集A，记*{,}AyxAyx．设非空实数集合,MP，满足PM．给出以下结论：①**MP；②*MP；③*MP．其中正确的结论是．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)等差数列{}na的公差为2，且134,,aaa成等比数列．（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）设1(*)(12)nnbnnaN，求数列{}nb的前n项和nS．18．(本小题满分12分)在直角梯形ABCD中，ADBC，1,3ABAD,,ABBCCDBD,如图（1）．把ABD沿BD翻折，使得平面ABDBCD平面，如图（2）．（Ⅰ）求证：CDAB；（Ⅱ）求三棱锥ABDC的体积；（Ⅲ）在线段BC上是否存在点N，使得ANBD？若存在，请求出BCBN的值；若不存在，请说明理由．19．(本小题满分12分)阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin()sincoscossin------①sin()sincoscossin------②由①+②得sinsin2sincos------③令,AB有,22ABAB代入③得sinsin2sincos22ABABAB．](Ⅰ)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:coscos2sinsin22ABABAB;(Ⅱ)若ABC的三个内角,,ABC满足2cos2cos22sinABC,试判断ABC的形状．(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)20．(本小题满分12分)2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》．其中规定：居民区的PM2．5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2．5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2．5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：组别PM2．5浓度（微克/立方米）频数（天）频率第一组(0,25]50．25第二组(25,50]100．5第三组(50,75]30．15第四组(75,100)20．1(Ⅰ)从样本中PM2．5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2．5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（Ⅱ）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2．5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．21．(本小题满分12分)平面内动点P到点(1,0)F的距离等于它到直线1x的距离，记点P的轨迹为曲线．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）若点A，B，C是上的不同三点，且满足FAFBFC0．证明：ABC不可能为直角三角形．22．(本小题满分14分)已知函数2()lnfxxax的图象在点(1,(1))Pf处的切线斜率为10．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）判断方程()2fxx根的个数，证明你的结论；（Ⅲ）探究：是否存在这样的点(,())Atft，使得曲线()yfx在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由．2012年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．1．B2．B3．C4．B5．D6．B7．D8．A9．D10．C11．C12．B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分．13．1；14．53；15．2；16．①．三、解答题：本大题共6小题，共74分i解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．满分12分．(Ⅰ)解：由已知得31414,6aaaa，……………………………2分又134,,aaa成等比数列，所以2111(4)(6)aaa，………………………4分解得18a，……………………………5分所以102nan．……………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)可得2111(12)(1)1nnbnannnn，……………………………8分所以12nnSbbb11111(1)()()2231nn1111nnn．……………12分18．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、棱锥体积公式等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．满分12分．解：（Ⅰ）∵平面ABDBCD平面，ABDBCDBD平面平面，CDBD∴CDABD平面，……………………………2分又∵ABABD平面，∴CDAB．……………………………4分（Ⅱ）如图（1）在222RtABDBDABAD中，.30ADBCADBDBC，.在23tan303RtBDCDCBD中，．∴23123BDCSBDDC.……………………………6分如图（2），在RtABD中，过点A做AEBD于E，∴AEBCD平面．32ABADAEBD，……………………………7分∴23311133323ABDCBDCVSAE.……………………………8分（Ⅲ）在线段BC上存在点N，使得ANBD，理由如下：如图（2）在RtAEB中，2212BEABAE，∴14BEBD，………………………………………9分[来]过点E做DCEN//交BC于点N，则14BNBEBCBD，∵BDENBDCD,，……………………………10分又AEBD，AEENE，BDAEN平面，又ANAEN平面，∴ANBD．∴在线段BC上存在点N，使得ANBD，此时14BNBC．…………………12分19．本小题主要考查两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．解法一：(Ⅰ)因为cos()coscossinsin，①cos()coscossinsin，②………………………2分①-②得cos()cos()2sinsin.③……………3分令,AB有,22ABAB，代入③得coscos2sinsin22ABABAB.…………………6分(Ⅱ)由二倍角公式,2cos2cos22sinABC可化为22212sin12sin2sinABC,……………………………8分即222sinsinsinACB.……………………………………………9分设ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为,,abc，由正弦定理可得222acb.…………………………………………11分根据勾股定理的逆定理知ABC为直角三角形.…………………………12分解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,2cos2cos22sinABC可化为22sinsin2sinABABC，………………………8分因为A,B,C为ABC的内角，所以ABC，所以2sinsinsinABABAB.又因为0AB，所以sin0AB,所以sinsin0ABAB.从而2sincos0AB.……………………………………………10分又因为sin0A,所以cos0B，即2B.所以ABC为直角三角形.……………………………………………12分20．本小题主要考查频率分布表、古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．解：(Ⅰ)设PM2.5的24小时平均浓度在(50,75]内的三天记为123,,AAA，PM2.5的24小时平均浓度在(75,100)内的两天记为12,BB．所以5天任取2天的情况有：12AA，13AA，11AB，12AB，23AA，21AB，22AB，31AB，32AB共10种．……………………4分其中符合条件的有：11AB，12AB，21AB，22AB，31AB，32AB共6种．…………6分所以所求的概率63105P．……………………8分（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为：12.50.2537.50.562.50.1587.50.140（微克/立方米）．……………………………………………10分因为4035，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．………………………………12分21．本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解法一：（Ⅰ）由条件可知，点P到点(1,0)F的距离与到直线1x的距离相等，所以点P的轨迹是以(1,0)F为焦点，1x为准线的抛物线，其方程为24yx．………4分（Ⅱ）假设ABC是直角三角形，不失一般性，设90A，11(,)Axy，22(,)Bxy，33(,)Cxy，则由0ABAC，2121(,)ABxxyy，3131(,)ACxxyy，所以21312131()()()()0xxxxyyyy．…………………………6分因为24iiyx(1,2,3)i，12yy，13yy，所以1213()()160yyyy．……………………………8分又因为0FAFBFC，所以1233xxx，1230yyy，所以2316yy．①又2221231234()12yyyxxx，]所以2222323()12yyyy，即2223236yyyy．②………10分由①，②得222216166yy，所以4222222560yy．③因为2(22)42565400．所以方程③无解，从而ABC不可能是直角三角形．…………………12分解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）设11(,)Axy，22(,)Bxy，33(,)Cxy，由0FAFBFC，得1233xxx，1230yyy．……………………………6分由条件的对称性，欲证ABC不是直角三角形，只需证明90A．(1)当ABx轴时，12xx，12yy，从而3132xx，30y，即点C的坐标为1(32,0)x．由于点C在24yx上，所以1320x，即132x，此时3(,6)2A，3(,6)2B，(0,0)C，则90A．…………8分(2)当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：(0)xtymt，代入24yx，整理得：2440ytym，则124yyt．若90A，则直线AC的斜率为t，同理可得：134yyt．由1230yyy，得144ytt，24yt，34yt．由1233xxx，可得2221231234()12yyyxxx．从而24(4)tt24()t2(4)12t，整理得：221118tt，即4281180tt，①2(11)4881350．所以方程①无解，从而90A．……………………………11分综合(1)，(2)，ABC不可能是直角三角形．………………………12分22．本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，函数与方程思想、数形结合思想、考查化归与转化思想．满分12分．解法一：（Ⅰ）因为2()lnfxxax，所以\'()2afxxx，函数()fx的图象在点(1,(1))Pf处的切线斜率\'(1)2kfa．由210a得：8a．…………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()8lnfxxx，令()()2Fxfxx228lnxxx．因为(1)10F，(2)8ln20F，所以()0Fx在(0,)至少有一个根．又因为8\'()22216260Fxxx，所以()Fx在(0,)上递增，所以函数()Fx在(0,)上有且只有一个零点，即方程()2fxx有且只有一个实根．…………………7分（Ⅲ）证明如下：由2()8lnfxxx，8\'()2fxxx，可求得曲线()yfx在点A处的切线方程为28(8ln)(2)()ytttxtt，即28(2)8ln8ytxttt(0)x．…………………8分记2()8lnhxxx28[(2)8ln8]txttt28lnxx28(2)8ln8txttt(0)x，则42()()88\'()2(2)xtxthxxtxtx．…………………11分（1）当4tt，即2t时，22(2)\'()0xhxx对一切(0.)x成立，所以()hx在(0,)上递增．又()0ht，所以当(0,2)x时()0hx，当(2,)x时()0hx，即存在点(2,48ln2)A，使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧．…………………12分（2）当4tt，即2t时，4(0,)xt时，\'()0hx；4(,)xtt时，\'()0hx；(,)xt时，\'()0hx．故()hx在4(,)tt上单调递减，在(,)t上单调递增．又()0ht，所以当4(,)xtt时，()0hx；当(,)xt时，()0hx，即曲线在点(,())Atft附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧．…………………13分（3）当4tt，即02t时，(0,)xt时，\'()0hx；4(,)xtt时，\'()0hx；4(,)xt时，\'()0hx．故()hx在(0,)t上单调递增，在4(,)tt上单调递减．又()0ht，所以当(0,)xt时，()0hx；当4(,)xtt时，()0hx，即曲线在点(,())Atft附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧．综上，存在唯一点(2,48ln2)A使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧．…………………14分解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一；（Ⅲ）证明如下：由2()8lnfxxx，8\'()2fxxx，可求得曲线()yfx在点A处的切线方程为28(8ln)(2)()ytttxtt，即28(2)8ln8ytxttt(0)x．………………8分记2()8lnhxxx28[(2)8ln8]txttt28lnxx28(2)8ln8txttt(0)x，则42()()88\'()2(2)xtxthxxtxtx．…………………11分若存在这样的点(,())Atft，使得曲线()yfx在该点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的两侧，则问题等价于t不是极值点，由二次函数的性质知，当且仅当4tt，即2t时，t不是极值点，即0hx．所以()hx在0,上递增．又()0ht，所以当(0,2)x时，()0hx；当(2,)x时，()0hx，即存在唯一点(2,48ln2)A，使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧．…………………14分