2015福州市高中毕业班质检数学（文科）试卷+参考答案

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2015年福州市高中毕业班质量检测文科数学能力测试（完卷时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：1．样本数据的标准差，其中为样本平均数；2．柱体体积公式：，其中为底面面积，为高；3．锥体体积公式：，其中为底面面积，为高.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．函数的定义域为A．B．C．D．2．若复数满足（为虚数单位），则的虚部为A．B．C．D．3．如图是某篮球联赛中，甲、乙两名运动员12个场次得分的茎叶图．设甲、乙两人得分的平均数分别为,，中位数分别为,，则A．B．C．D．4．已知直线为双曲线（）的一条渐近线，则双曲线的离心率为A．B．C．2D．5．执行如图所示的程序框图，输出的有序实数对为A．B．第3题图C．D．6．已知直线与平面平行，则下列结论错误的是A．直线与平面没有公共点B．存在经过直线的平面与平面平行C．直线与平面内的任意一条直线平行D．直线上所有的点到平面的距离都相等7．已知偶函数满足：当时，恒成立．设,,，则的大小关系为A．B．C．D．8．设变量满足约束条件则的取值范围为A．B．C．D．9．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积为A．17B．22C．D．10．函数的零点个数为A．0B．1C．2D．311．在中，点为的重心．已知，且向量与的夹角为，则的最小值是A．B．6C．9D．2412．已知函数，有下列三个结论：①存在常数，对任意的实数，恒有成立；②对任意给定的正数，都存在实数，使得；③直线与函数的图象相切，且切点有无数多个．则所有正确结论的序号是A．①B．②C．③D．②③第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置上．）第5题图第10题图324侧视图俯视图正视图13．已知集合，则集合等于　★★★　．14．已知函数．若在区间上随机取一个数，则使得不等式成立的概率为　★★★　．15．的内角所对的边分别是．若，则的值为　★★★　．16．在各项均为正整数的单调递增数列中，，，且，则的值为　★★★　．三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.)17．（本小题满分12分）已知函数的图象与直线的相邻两个交点之间的距离为．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）若，求的值．18．（本小题满分12分）调查表明，中年人的成就感与收入、学历、职业的满意度的指标有极强的相关性．现将这三项的满意度指标分别记为，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意，再用综合指标的值评定中年人的成就感等级：若，则成就感为一级；若，则成就感为二级；若，则成就感为三级．为了了解目前某群体中年人的成就感情况，研究人员随机采访了该群体的10名中年人，得到如下结果：人员编号人员编号（Ⅰ）若该群体有200人，试估计该群体中成就感等级为三级的人数是多少？（Ⅱ）从成就感等级为一级的被采访者中随机抽取两人，这两人的综合指标均为4的概率是多少？19．（本小题满分12分）如图，在长方体中，，为PC1D1B1A1CDAB线段上一点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）当为线段的中点时，求三棱锥的高．20．（本小题满分12分）小辉是一位收藏爱好者，在第1年初购买了价值为20万元的收藏品M，由于受到收藏品市场行情的影响，第2年、第3年的每年初M的价值为上年初的；从第4年开始，每年初M的价值比上年初增加4万元.（Ⅰ）求第几年初开始M的价值超过原购买的价值；（Ⅱ）记（）表示收藏品M前年的价值的平均值，求的最小值．21．（本小题满分12分）已知函数,,为自然对数的底数．（Ⅰ）若是的极值点，求的值；（Ⅱ）证明：当时，．22．（本小题满分14分）如图，已知椭圆（）的离心率．点分别为椭圆的左焦点和右顶点，且．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作一条直线交椭圆于两点，点关于轴的对称点为．若，求证：．2015年福州市高中毕业班质量检测文科数学能力测试参考答案及评分细则一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分，满分60分．xyPQ\'QAFO第22题图第19题图1．A2．A3．C4．D5．D6．C7．C8．B9．D10．B11．B12．D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．13．14．15．216．55三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．本小题主要考查三角函数的图象与性质（对称性、周期性、单调性）、二倍角的余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分12分．【解析】（Ⅰ）因为，所以．2分所以．因为函数与直线的相邻两个交点之间距离为，所以，3分所以，解得4分所以．令，5分解得．6分所以函数的单调递增区间是．7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，因为，所以．8分所以10分11分．12分18．本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想．满分12分．【解析】（Ⅰ）计算10名被采访者的综合指标，可得下表：人员编号综合指标44624535131分由上表可知：成就感为三级（即）的只有一位，其频率为．3分用样本的频率估计总体的频率，可估计该群体中成就感等级为三级的人数有．5分（Ⅱ）设事件为“从成就感等级是一级的被采访者中随机抽取两人，他们的综合指标均为4”．由（Ⅰ）可知成就感是一级的（）有：，共6位，从中随机抽取两人，所有可能的结果为：，共15种．9分其中综合指标有：，共3名，事件发生的所有可能结果为：，共3种，10分所以．12分19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．证明：（Ⅰ）连结．因为是长方体，且，所以四边形是正方形，1分所以．2分因为在长方体中，平面，平面，所以．4分因为平面，平面，且，所以平面．5分因为平面，所以6分（Ⅱ）点到平面的距离，的面积，7分所以．8分在Rt△中，,所以，9分同理.又，所以的面积．10分设三棱锥的高为，则因为，所以，11分所以，解得．即三棱锥的高为12分PC1D1B1A1CDAB20．本小题主要考查数列、等差数列、等比数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、应用意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分12分．解：（Ⅰ）设第年初M的价值为，依题意，当时，数列是首项为20，公比为的等比数列，所以．故，，所以．2分当时，数列是以为首项，公差为4的等差数列，又，所以．3分令，得，又因为，所以．4分因此，第7年初M开始的价值超过原购买的价值．5分（Ⅱ）设表示前年初M的价值的和，则由（Ⅰ）知，当时，，①；7分当时，由于，故，．②9分当时，由①得，，，，所以10分当时，由②知，，当且仅当，即时等号成立．即．11分由于，故在第4年初的值最小，其最小值为11．12分21．本小题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．解：（Ⅰ）因为，所以，1分由是的极值点，得，2分解得，3分此时，经检验，是的极值点．所以所求的实数的值为0．4分（Ⅱ）证明：取时，，此时．6分构造函数，7分所以在上恒负，所以在上单调递减，8分所以,9分故在恒成立，说明在上单调递减．10分所以当时，，又因为，所以，所以，11分所以成立．12分22．本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分．【解析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，则2分解得，3分所以，4分所以椭圆的方程为．5分（Ⅱ）方法一：依题意得，与坐标轴不垂直．设．因为点与点关于轴对称,所以22,Qxy．由（Ⅰ）讨论可知，．因为，所以直线与直线的斜率相等，故，7分解得．8分又因为点在椭圆上，所以，或．9分由椭圆对称性，不妨取，则直线的斜率．所以直线方程为．10分由得点坐标为．11分所以，12分．13分所以．14分方法二：依题意得，与坐标轴不垂直．设方程为（），．因为点与点关于轴对称,所以22,Qxy．又因为椭圆关于x轴对称，所以点Q也在椭圆上．6分由消去得．所以．7分因为，所以直线的方程为．由消去得．因为直线交椭圆于两点，所以，故．9分所以，解得．所以．11分所以，12分．13分所以．14分方法三：依题意，得与坐标轴不垂直．设方程为（），．因为点与点关于轴对称,所以22,Qxy．又因为椭圆关于x轴对称，所以点Q也在椭圆上．6分由消去得．所以．7分因为，所以直线的方程为．由消去得，．因为直线交椭圆于两点，所以，即．9分设（），则，所以．11分所以，解得，13分所以，即．14分方法四：依题意，得与坐标轴不垂直．设方程为（），．因为点与点关于轴对称,所以22,Qxy．6分因为三点共线，所以与共线，所以．7分因为，所以可设（），即，所以．8分所以，即．9分依题意，，所以．10分因为点在椭圆上，所以，解得或．11分由椭圆对称性，不妨取，则，因为点在椭圆上，所以，解得或（舍去）．13分所以，即．14分方法五：依题意，得与坐标轴不垂直．设方程为（），．因为点与点关于轴对称,所以22,Qxy．6分直线过定点，理由如下：7分由消去得．所以．8分所以，．9分因为，所以，所以，11分所以三点共线，即直线过定点．12分因为为线段中点，，所以．14分