2016年高考理科数学(全国Ⅲ卷)试题+答案

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绝密★启封并使用完毕前试题类型：2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合S=，则ST=(A)[2，3](B)（-，2][3,+）(C)[3,+）(D)（0，2][3,+）（2）若z=1+2i，则(A)1(B)-1(C)i(D)-i（3）已知向量,则ABC=(A)300(B)450(C)600(D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为150C，B点表示四月的平均最低气温约为50C。下面叙述不正确的是学.科.网(A)各月的平均最低气温都在00C以上(B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同(D)平均气温高于200C的月份有5个（5）若，则(A)(B)(C)1(D)（6）已知，，，则（A）（B）（C）（D）（7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（A）3（B）4（C）5（D）6（8）在中，，BC边上的高等于,则（A）（B）（C）（D）(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，学.科.网则该多面体的表面积为（A）（B）（C）90（D）81(10)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（A）4π（B）（C）6π（D）（11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，学科&网A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（A）（B）（C）（D）（12）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有（A）18个（B）16个（C）14个（D）12个第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为_____________.（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。（15）已知f(x)为偶函数，当时，，则曲线y=f(x)，在带你（1，-3）处的切线方程是_______________。（16）已知直线与圆交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若，则__________________.学科.网三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知数列的前n项和，，其中0（I）证明是等比数列，并求其通项公式（II）若，求（18）（本小题满分12分）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明（II）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。（19）（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥地面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（I）证明MN∥平面PAB;（II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.（20）（本小题满分12分）已知抛物线C：的焦点为F，学科&网平行于x轴的两条直线分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（II）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.（21）（本小题满分12分）设函数f（x）=acos2x+（a-1）（cosx+1），其中a＞0，记的最大值为A.（Ⅰ）求f＇（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明≤2A.请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点.（I）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（II）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；学.科网（II）设点P在上，点Q在上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数（I）当a=2时，求不等式的解集；学科&网（II）设函数当时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围.绝密★启封并使用完毕前试题类型：新课标Ⅲ2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学正式答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）D（2）C（3）A（4）D（5）A（6）A（7）B（8）C（9）B（10）B（11）A（12）C第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）（14）（15）（16）4三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得，故，，.由，得，即.由，得，所以.因此是首项为，公比为的等比数列，学科.网于是．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由得，即，解得．（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得，，，，.因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，.所以，关于的回归方程为：.将2016年对应的代入回归方程得：.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.（19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.又，故学.科.网平行且等于，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）取的中点，连结，由得，从而，且.以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，学科.网由题意知，，，，，，，.设为平面的法向量，则，即，可取，于是.（20）解：由题设.设，则，且.记过两点的直线为，则的方程为......3分（Ⅰ）由于在线段上，故.记的斜率为，的斜率为，则.所以.......5分（Ⅱ）设与轴的交点为，则.由题设可得，所以（舍去），.设满足条件的的中点为.当与轴不垂直时，由可得.而，所以.当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为.....12分（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）．（Ⅱ）当时，学科&网因此，．………4分当时，将变形为．令，则是在上的最大值，，，且当时，取得极小值，极小值为．令，解得（舍去），．（ⅰ）当时，在内无极值点，，，，所以．（ⅱ）当时，由，知．又，所以．综上，．　　　………9分（Ⅲ）由（Ⅰ）得.当时，.当时，，所以.当时，，所以.请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲解：（Ⅰ）连结，则.因为，所以，又，所以.又，所以，因此.（Ⅱ）因为，所以，由此知四点共圆，其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线上，因此.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程学.科.网解：（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为.……5分（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值，即为到的距离的最小值，.………………8分当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.………………10分24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）当时，.解不等式，得.因此，的解集为.………………5分（Ⅱ）当时，，当时等号成立，所以当时，等价于.①……7分当时，①等价于，无解.当时，①等价于，解得.所以的取值范围是.………………10分