2017年高考数学考前回扣教材3《三角函数、平面向量》

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回扣3　三角函数、平面向量1.准确记忆六组诱导公式对于“±α，k∈Z”的三角函数值，与α角的三角函数值的关系可按口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.2.同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，tanα＝(cosα≠0).3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.(3)tan(α±β)＝.(4)asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)(其中tanφ＝).4.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan2α＝.5.三种三角函数的性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象单调性在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上单调递增调递减＋2kπ](k∈Z)上单调递减对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝＋kπ(k∈Z)对称中心：(＋kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：(，0)(k∈Z)6.函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象(1)“五点法”作图：设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出相应的x的值与y的值，描点、连线可得.(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口.(3)图象变换：y＝sinx――――――――――→y＝sin(x＋φ)――――――――――――→y＝sin(ωx＋φ)――――――――――――→y＝Asin(ωx＋φ).7.正弦定理及其变形＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径).变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.sinA＝，sinB＝，sinC＝.a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.8.余弦定理及其推论、变形a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.推论：cosA＝，cosB＝，cosC＝.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.9.面积公式S△ABC＝bcsinA＝acsinB＝absinC.10.解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解.(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一.(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解.(4)已知三边，利用余弦定理求解.11.平面向量的数量积(1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ.(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.12.两个非零向量平行、垂直的充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.13.利用数量积求长度(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝.14.利用数量积求夹角若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝＝.15.三角形“四心”向量形式的充要条件设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则(1)O为△ABC的外心⇔|OA|＝|OB|＝|OC|＝.(2)O为△ABC的重心⇔OA＋OB＋OC＝0.(3)O为△ABC的垂心⇔OA·OB＝OB·OC＝OC·OA.(4)O为△ABC的内心⇔aOA＋bOB＋cOC＝0.1.利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号.2.在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围.3.求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解.4.三角函数图象变换中，注意由y＝sinωx的图象变换得y＝sin(ωx＋φ)时，平移量为，而不是φ.5.在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解.6.要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行.7.a·b>0是〈a，b〉为锐角的必要不充分条件；a·b<0是〈a，b〉为钝角的必要不充分条件.1.2sin45°cos15°－sin30°的值等于(　　)A.B.C.D.1答案　C解析　2sin45°cos15°－sin30°＝2sin45°cos15°－sin(45°－15°)＝2sin45°cos15°－(sin45°cos15°－cos45°sin15°)＝sin45°cos15°＋cos45°sin15°＝sin60°＝.故选C.2.要得到函数y＝sin2x的图象，可由函数y＝cos(2x－)()A.向左平移个单位长度得到B.向右平移个单位长度得到C.向左平移个单位长度得到D.向右平移个单位长度得到答案　D解析　由于函数y＝sin2x＝cos(－2x)＝cos(2x－)＝cos[2(x－)－]，所以可由函数y＝cos(2x－)向右平移个单位长度得到函数y＝sin2x的图象，故选D.3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)A.3B.C.D.3答案　C解析　c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6，①∵C＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab，②由①和②得ab＝6，∴S△ABC＝absinC＝×6×＝，故选C.4.(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是(　　)A.B.1＋C.2D.2(tan18°＋tan27°)答案　C解析　由题意得，tan(18°＋27°)＝，即＝1，所以tan18°＋tan27°＝1－tan18°tan27°，所以(1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝2，故选C.5.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为(　　)A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案　B解析　∵bcosC＋ccosB＝asinA，∴sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，∴sinA＝1，∴A＝，三角形为直角三角形.6.已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(sinA，1)，q＝(1，－cosB)，则p与q的夹角是(　　)A.锐角B.钝角C.直角D.不确定答案　A解析　∵A、B、C是锐角△ABC的三个内角，∴A＋B>，即A>－B>0，∴sinA>sin(－B)＝cosB，∴p·q＝sinA－cosB>0.再根据p，q的坐标可得p，q不共线，故p与q的夹角为锐角.7.f(x)＝sin(2x－)＋cos(2x－)是(　　)A.最小正周期为2π的偶函数B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的奇函数D.最小正周期为π的偶函数答案　C解析　f(x)＝sin(2x－)＋cos(2x－)＝sin(2x－＋)＝sin2x，是最小正周期为π的奇函数，故选C.8.已知a，b为同一平面内的两个向量，且a＝(1，2)，|b|＝|a|，若a＋2b与2a－b垂直，则a与b的夹角为(　　)A.0B.C.D.π答案　D解析　|b|＝|a|＝，而(a＋2b)·(2a－b)＝0⇒2a2－2b2＋3b·a＝0⇒b·a＝－，从而cos〈b，a〉＝＝－1，〈b，a〉＝π，故选D.9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c有下列命题：①若A>B>C，则sinA>sinB>sinC；②若＝＝，则△ABC为等边三角形；③若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形；④若(1＋tanA)(1＋tanB)＝2，则△ABC为钝角三角形；⑤存在A，B，C使得tanAtanBtanCB>C，则a>b>c⇒sinA>sinB>sinC；若＝＝，则＝⇒sin(A－B)＝0⇒A＝B⇒a＝b，同理可得a＝c，所以△ABC为等边三角形；若sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＋2B＝π，因此△ABC为等腰或直角三角形；若(1＋tanA)(1＋tanB)＝2，则tanA＋tanB＝1－tanAtanB，因此tan(A＋B)＝1⇒C＝，△ABC为钝角三角形；在△ABC中，tanAtanBtanC＝tanA＋tanB＋tanC恒成立，因此正确的命题为①②④.10.若△ABC的三边a，b，c及面积S满足S＝a2－(b－c)2，则sinA＝________.答案　解析　由余弦定理得S＝a2－(b－c)2＝2bc－2bccosA＝bcsinA，所以sinA＋4cosA＝4，由sin2A＋cos2A＝1，解得sin2A＋(1－)2＝1，sinA＝(0舍去).11.若tanθ＝3，则cos2θ＋sinθcosθ＝________.答案　解析　∵tanθ＝3，∴cos2θ＋sinθcosθ＝＝＝＝.12.已知单位向量a，b，c，且a⊥b，若c＝ta＋(1－t)b，则实数t的值为________.答案　1或0解析　c＝ta＋(1－t)b⇒c2＝t2＋(1－t)2＝|c|2＝1⇒t＝0或t＝1.13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA＝(2c＋a)cos(A＋C).(1)求角B的大小；(2)求函数f(x)＝2sin2x＋sin(2x－B)(x∈R)的最大值.解　(1)由已知，bcosA＝(2c＋a)cos(π－B)，即sinBcosA＝－(2sinC＋sinA)cosB，即sin(A＋B)＝－2sinCcosB，则sinC＝－2sinCcosB，∴cosB＝－，即B＝.(2)f(x)＝2sin2x＋sin2xcos－cos2xsin＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)，即x＝＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值.14.已知函数f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋1.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且锐角A满足f(A)＝1，b＝，c＝3，求a的值.解　(1)f(x)＝2sinxcosx－2cos2x＋1＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)，所以f(x)的最小正周期为π.由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z).(2)由题意知f(A)＝sin(2A－)＝1，sin(2A－)＝，又∵A是锐角，∴2A－＝，∴A＝，由余弦定理得a2＝2＋9－2××3×cos＝5，∴a＝.