2017年高考数学考前回扣教材5《不等式与线性规划》

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回扣5　不等式与线性规划1.一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间).解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小.2.一元二次不等式的恒成立问题(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是3.分式不等式>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；≥0(≤0)⇔4.基本不等式(1)①a2＋b2≥2ab(a，b∈R)当且仅当a＝b时取等号.②≥(a，b∈(0，＋∞))，当且仅当a＝b时取等号.(2)几个重要的不等式：①ab≤2(a，b∈R)；②≥≥≥(a>0，b>0，当a＝b时等号成立).③a＋≥2(a>0，当a＝1时等号成立)；④2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当a＝b时等号成立).5.可行域的确定“线定界，点定域”，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域.6.线性规划(1)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；(2)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个.1.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错.2.解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论.3.应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视g(x)≠0.4.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝＋的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数y＝x＋(x<0)时应先转化为正数再求解.5.解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解.6.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如是指已知区域内的点(x，y)与点(－2，2)连线的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知区域内的点(x，y)到点(1，1)的距离的平方等.1.下列命题中正确的个数是(　　)①a>b，c>d⇔a＋c>b＋d；②a>b，c>d⇒>；③a2>b2⇔|a|>|b|；④a>b⇔<.A.4B.3C.2D.1答案　C解析　①a>b，c>d⇔a＋c>b＋d正确，不等式的同向可加性；②a>b，c>d⇒>错误，反例：若a＝3，b＝2，c＝1，d＝－1，则>不成立；③a2>b2⇔|a|>|b|正确；④a>b⇔<错误，反例：若a＝2，b＝－2，则<不成立.故选C.2.设M＝2a(a－2)＋4，N＝(a－1)(a－3)，则M，N的大小关系为()A.M>NB.M0.故选A.3.若不等式2kx2＋kx－≥0的解集为空集，则实数k的取值范围是()A.(－3，0)B.(－∞，－3)C.(－3，0]D.(－∞，－3)∪(0，＋∞)答案　C解析　由题意可知2kx2＋kx－<0恒成立，当k＝0时成立，当k≠0时需满足代入求得－31，所以不等式的解集为(－∞，0]∪(1，＋∞)，故选C.6.设第一象限内的点(x，y)满足约束条件目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为40，则＋的最小值为(　　)A.B.C.1D.4答案　B解析　不等式表示的平面区域如图中阴影部分，直线z＝ax＋by过点(8，10)时取最大值，即8a＋10b＝40，4a＋5b＝20，从而＋＝(＋)＝(25＋＋)≥(25＋2)＝，当且仅当2a＝5b时取等号，因此＋的最小值为，故选B.7.已知实数x、y满足如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于(　　)A.6B.5C.4D.3答案　B解析　作出不等式组对应的平面区域，如图所示，由目标函数z＝x－y的最小值为－1，得y＝x－z，及当z＝－1时，函数y＝x＋1，此时对应的平面区域在直线y＝x＋1的下方，由⇒即A(2，3)，同时A也在直线x＋y＝m上，所以m＝5.8.在平面直角坐标系中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是(　　)A.(－∞，－1)B.(1，＋∞)C.(－1，1)D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案　A解析　易知直线y＝k(x－1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示.当直线y＝k(x－1)－1位于y＝－x和x＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域，所以直线y＝k(x－1)－1的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k的取值范围是(－∞，－1).9.已知实数x∈[－1，1]，y∈[0，2]，则点P(x，y)落在区域内的概率为(　　)A.B.C.D.答案　D解析　不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为×(2－)×(1＋1)＝，则所求的概率为，故选D.10.函数y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为________.答案　8解析　由已知可得定点A(－2，－1)，代入直线方程可得2m＋n＝1，从而＋＝(＋)(2m＋n)＝＋＋4≥2＋4＝8.当且仅当n＝2m时取等号.11.已知ab＝，a，b∈(0，1)，则＋的最小值为________.答案　4＋解析　因为ab＝，所以b＝，则＋＝＋＝＋＝＋＝＋＋2＝2(＋)＋2＝(＋)[(4a－1)＋(4－4a)]＋2＝[3＋＋]＋2≥(3＋2)＋2＝4＋(当且仅当＝，即a＝时，取等号).12.变量x，y满足约束条件若z＝2x－y的最大值为2，则实数m＝______.答案　1解析　由可行域知，直线2x－y＝2必过直线x－2y＋2＝0与mx－y＝0的交点，即直线mx－y＝0必过直线x－2y＋2＝0与2x－y＝2的交点(2，2)，所以m＝1.13.(2016·上海)若x，y满足则x－2y的最大值为________.答案　－2解析　令z＝x－2y，则y＝x－.当在y轴上截距最小时，z最大.即过点(0，1)时，z取最大值，z＝0－2×1＝－2.14.已知实数x，y满足则的取值范围是________.答案　[－1，]解析　作出可行域，如图△ABC内部(含边界)，表示可行域内点(x，y)与P(5，6)连线斜率，kPA＝＝－1，kPC＝＝，所以－1≤≤.