最新6年高考4年模拟试题试卷--第九章第二节圆锥曲线(答案解析)

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第二节圆锥曲线第一部分六年高考荟萃2010年高考题一、选择题1.（2010湖南文）5.设抛物线28yx上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是A.4B.6C.8D.12【答案】B2.（2010浙江理）（8）设1F、2F分别为双曲线22221(0,0)xyabab＞＞的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足212PFFF，且2F到直线1PF的距离等于双曲线的实轴长则该双曲线的渐近线方程为（A）340xy（B）350xy（C）430xy（D）540xy解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，本题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察，属中档题3.（2010全国卷2理）（12）已知椭圆2222:1(0)xyCabab＞＞的离心率为32，过右焦点F且斜率为(0)kk＞的直线与C相交于AB、两点．若3AFFB，则k（A）1（B）2（C）3（D）2【答案】B【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.【解析】设直线l为椭圆的有准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B为垂足，过B作BE垂直于AA1与E，由第二定义得，，由，得，∴即k=，故选B.4.（2010陕西文）9.已知抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，则p的值为（A）12（B）1（C）2（D）4【答案】C解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系法一：抛物线y2＝2px（p>0）的准线方程为2px，因为抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，所以2,423pp法二：作图可知，抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切与点（-1,0）所以2,12pp5.（2010辽宁文）（9）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（A）2（B）3（C）312（D）512【答案】D解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为：22221(0,0)xyabab，则一个焦点为(,0),(0,)FcBb一条渐近线斜率为：ba，直线FB的斜率为：bc，()1bbac，2bac220caac，解得512cea.6.（2010辽宁文）（7）设抛物线28yx的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF斜率为3，那么PF（A）43（B）8（C）83（D）16【答案】B解析：选B.利用抛物线定义，易证PAF为正三角形，则4||8sin30PF7.（2010辽宁理）(9)设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(A)2(B)3(C)312(D)512【答案】D【命题立意】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想。【解析】设双曲线方程为22221(0,0)xyabab，则F（c,0）,B(0,b)直线FB：bx+cy-bc=0与渐近线y=bxa垂直，所以1bbca，即b2=ac所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以152e或152e（舍去）8.（2010辽宁理）(7)设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足如果直线AF的斜率为-3,那么|PF|=(A)43(B)8(C)83(D)16【答案】B【命题立意】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，考查了等价转化的思想。【解析】抛物线的焦点F（2，0），直线AF的方程为3(2)yx，所以点(2,43)A、(6,43)P，从而|PF|=6+2=89.（2010全国卷2文）（12）已知椭圆C：22221xyab（a>b>0）的离心率为32，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线于C相交于A、B两点，若3AFFB。则k=（A）1（B）2（C）3（D）2【答案】B【解析】1122(,),(,)AxyBxy，∵3AFFB，∴123yy，∵32e，设2,3atct，bt，∴222440xyt，直线AB方程为3xsyt。代入消去x，∴222(4)230systyt，∴212122223,44sttyyyyss，222222232,344sttyyss，解得212s，2k10.（2010浙江文）（10）设O为坐标原点，1F,2F是双曲线2222xy1ab（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠1FP2F=60°，∣OP∣=7a,则该双曲线的渐近线方程为（A）x±3y=0（B）3x±y=0（C）x±2y=0（D）2x±y=0【答案】D解析：选D，本题将解析几何与三角知识相结合，主要考察了双曲线的定义、标准方程，几何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题11.（2010重庆理）（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是A.直线B.椭圆C.抛物线D.双曲线【答案】D解析：排除法轨迹是轴对称图形，排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除B12.（2010山东文）（9）已知抛物线22(0)ypxp，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（A）1x(B)1x(C)2x(D)2x【答案】B13.（2010四川理）（9）椭圆22221()xyabab的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（A）20,2（B）10,2（C）21,1（D）1,12解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等而|FA|＝22abccc|PF|∈[a－c,a＋c]于是2bc∈[a－c,a＋c]即ac－c2≤b2≤ac＋c2∴222222accacacacc1112caccaa或又e∈(0,1)故e∈1,12【答案】D14.（2010天津理）(5)已知双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线方程是y=3x,它的一个焦点在抛物线224yx的准线上，则双曲线的方程为（A）22136108xy（B）221927xy（C）22110836xy（D）221279xy【答案】B【解析】本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题。依题意知22222369,27bacabcab，所以双曲线的方程为221927xy【温馨提示】选择、填空中的圆锥曲线问题通常考查圆锥曲线的定义与基本性质，这部分内容也是高考的热点内容之一，在每年的天津卷中三种软件曲线都会在题目中出现。15.（2010广东文）7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是A.54B.53C.52D.51【答案】B16.（2010福建文）11．若点O和点F分别为椭圆22143xy的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OPFP的最大值为A．2B．3C．6D．8【答案】C【解析】由题意，F（-1，0），设点P00(,)xy，则有2200143xy,解得22003(1)4xy，因为00(1,)FPxy，00(,)OPxy，所以2000(1)OPFPxxy=00(1)OPFPxx203(1)4x=20034xx，此二次函数对应的抛物线的对称轴为02x，因为022x，所以当02x时，OPFP取得最大值222364，选C。【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力17.（2010全国卷1文）（8）已知1F、2F为双曲线C:221xy的左、右焦点，点P在C上，∠1FP2F=060，则12||||PFPF(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】B【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析1】.由余弦定理得cos∠1FP2F=222121212||||||2||||PFPFFFPFPF22221212121201212222221cos60222PFPFPFPFPFPFFFPFPFPFPF12||||PFPF4【解析2】由焦点三角形面积公式得：120220121260113cot1cot3sin6022222FPFSbPFPFPFPF12||||PFPF418.（2010全国卷1理）(9)已知1F、2F为双曲线C:221xy的左、右焦点，点P在C上，∠1FP2F=060，则P到x轴的距离为(A)32(B)62(C)3(D)6【答案】B19.（2010四川文）（10）椭圆222210xyaab＞b＞的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A．在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（A）（0，22]（B）（0，12]（C）[21，1）（D）[12，1）【答案】D【解析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等而|FA|＝22abccc|PF|∈[a－c,a＋c]于是2bc∈[a－c,a＋c]即ac－c2≤b2≤ac＋c2∴222222accacacacc1112caccaa或又e∈(0,1)故e∈1,1220.（2010四川文）(3)抛物线28yx的焦点到准线的距离是(A)1(B)2(C)4(D)8【答案】C【解析】由y2＝2px＝8x知p＝4又交点到准线的距离就是p21.（2010湖北文）9.若直线yxb与曲线234yxx有公共点，则b的取值范围是A.[122,122]B.[12,3]C.[-1,122]D.[122,3]22.（2010山东理）(7)由曲线y=2x,y=3x围成的封闭图形面积为[来源:Www.ks5u.com]（A）112(B)14(C)13(D)712【答案】A【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为1230x-x)dx=（1111-1=3412,故选A。【命题意图】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积。23.（2010安徽理）5、双曲线方程为2221xy，则它的右焦点坐标为A、2,02B、5,02C、6,02D、3,0【答案】C【解析】双曲线的2211,2ab，232c，62c，所以右焦点为6,02.【误区警示】本题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用222cab求出c即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为21b或22b，从而得出错误结论.24.（2010湖北理数）9.若直线y=x+b与曲线234yxx有公共点，则b的取值范围是A.1,122B.122,122C.122,3D.12,3【答案】C【解析】曲线方程可化简为22(2)(3)4(13)xyy，即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，依据数形结合，当直线yxb与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b距离等于2，解得122122bb或，因为是下半圆故可得122b（舍），当直线过（0，3）时，解得b=3,故1223,b所以C正确.25.（2010福建理）A．①④B．②③C．②④　　　　　D．③④【答案】C【解析】经分析容易得出②④正确，故选C。【命题意图】本题属新题型，考查函数的相关知识。26.（2010福建理）7．若点O和点(2,0)F分别是双曲线2221(a>0)axy的中心和左焦点点P为双曲线右支上的任意一点,则OPFP的取值范围为()A．[3-23,)B．[323,)C．7[-,)4D．7[,)4【答案】B【解析】因为(2,0)F是已知双曲线的左焦点，所以214a，即23a，所以双曲线方程为2213xy，设点P00(,)xy，则有220001(3)3xyx，解得220001(3)3xyx，因为00(2,)FPxy，00(,)OPxy，所以2000(2)OPFPxxy=00(2)xx2013x2004213xx，此二次函数对应的抛物线的对称轴为034x，因为03x，所以当03x时，OPFP取得最小值432313323，故OPFP的取值范围是[323,)，选B。【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。27.（2010福建理数）2．以抛物线24yx的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为()A．22x+y+2x=0B．22x+y+x=0C．22x+y-x=0D．22x+y-2x=0【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为22x-1)+y=1（，即22x-2x+y=0，选D。【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。二、填空题1.（2010上海文）8.动点P到点(2,0)F的距离与它到直线20x的距离相等，则P的轨迹方程为。【答案】y28x【解析】考查抛物线定义及标准方程定义知P的轨迹是以(2,0)F为焦点的抛物线，p=2所以其方程为y28x2.（2010浙江理）（13）设抛物线22(0)ypxp的焦点为F，点(0,2)A.若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_____________。【解析】利用抛物线的定义结合题设条件可得出p的值为2，B点坐标为（142，）所以点B到抛物线准线的距离为324，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易题3.（2010全国卷2理）（15）已知抛物线2:2(0)Cypxp＞的准线为l，过(1,0)M且斜率为3的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B．若AMMB，则p．【答案】2【命题意图】本题主要考查抛物线的定义与性质.【解析】过B作BE垂直于准线l于E，∵AMMB，∴M为中点，∴1BMAB2，又斜率为3，0BAE30，∴1BEAB2，∴BMBE，∴M为抛物线的焦点，∴p2.4.（2010全国卷2文）(15)已知抛物线C：y2=2px（p>0）的准线l，过M（1,0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=_________【解析】2：本题考查了抛物线的几何性质设直线AB：33yx，代入22ypx得23(62)30xpx，又∵AMMB，∴122xp，解得24120pP，解得2,6pp（舍去）5.（2010江西理）15.点00()Axy，在双曲线221432xy的右支上，若点A到右焦点的距离等于02x，则0x=【答案】2【解析】考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，读取a=2.c=6,red3rd,200023()2axxxc6.（2010安徽文）(12)抛物线28yx的焦点坐标是答案：(2,0)【解析】抛物线28yx，所以4p，所以焦点(2,0).【误区警示】本题考查抛物线的交点.部分学生因不会求p，或求出p后，误认为焦点(,0)p，还有没有弄清楚焦点位置，从而得出错误结论.7.（2010重庆文）（13）已知过抛物线24yx的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，2AF，则BF____________.【答案】2解析：由抛物线的定义可知12AFAAKFABx轴故AFBF28.（2010重庆理）(14)已知以F为焦点的抛物线24yx上的两点A、B满足3AFFB,则弦AB的中点到准线的距离为___________.解析：设BF=m,由抛物线的定义知mBBmAA11,3ABC中，AC=2m,AB=4m,3ABk直线AB方程为)1(3xy与抛物线方程联立消y得031032xx所以AB中点到准线距离为381351221xx9.（2010北京文）（13）已知双曲线22221xyab的离心率为2，焦点与椭圆221259xy的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为。答案：(4,0)30xy10.（2010北京理）（13）已知双曲线22221xyab的离心率为2，焦点与椭圆221259的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为。【答案】（4，0）30xy11..（2010天津文）（13）已知双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线方程是3yx，它的一个焦点与抛物线216yx的焦点相同。则双曲线的方程为。【答案】221412xy【解析】本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程，属于容易题。由渐近线方程可知3ba①因为抛物线的焦点为（4，0），所以c=4②又222cab③联立①②③，解得224,12ab，所以双曲线的方程为221412xy【温馨提示】求圆锥曲线的标准方程通常利用待定洗漱法求解，注意双曲线中c最大。12.（2010福建文数）13．若双曲线2x4-22yb=1(b>0)的渐近线方程式为y=1x2，则ｂ等于。【答案】1【解析】由题意知122b，解得b=1。【命题意图】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题。13.（2010全国卷1文数）(16)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF2FDuuruur，则C的离心率为.【答案】33【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.【解析1】如图，22||BFbca,作1DDy轴于点D1,则由BF2FDuuruur，得1||||2||||3OFBFDDBD,所以133||||22DDOFc,xOyBF1DD即32Dcx,由椭圆的第二定义得2233||()22accFDeaca又由||2||BFFD,得232,caaa33e【解析2】设椭圆方程为第一标准形式22221xyab，设22,Dxy，F分BD所成的比为2，222230223330;122212222ccccybxbybbxxxcyy，代入222291144cbab，33e14.（2010全国卷1理）15.（2010湖北文）15.已知椭圆22:12xcy的两焦点为12,FF,点00(,)Pxy满足2200012xy,则|1PF|+2PF|的取值范围为_______，直线0012xxyy与椭圆C的公共点个数_____。【答案】2,22,0【解析】依题意知，点P在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得，当P在原点处时12max(||||)2PFPF，当P在椭圆顶点处时，取到12max(||||)PFPF为(21)(21)=22，故范围为2,22.因为00(,)xy在椭圆2212xy的内部，则直线0012xxyy上的点（x,y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.16.（2010江苏卷）6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线112422yx上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是__________【解析】考查双曲线的定义。422MFed，d为点M到右准线1x的距离，d=2，MF=4。三、解答题1.（2010上海文）23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知椭圆的方程为22221(0)xyabab，(0,)Ab、(0,)Bb和(,0)Qa为的三个顶点.（1）若点M满足1()2AMAQAB，求点M的坐标；（2）设直线11:lykxp交椭圆于C、D两点，交直线22:lykx于点E.若2122bkka，证明：E为CD的中点；（3）设点P在椭圆内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆的两个交点1P、2P满足12PPPPPQ12PPPPPQ？令10a，5b，点P的坐标是（-8，-1），若椭圆上的点1P、2P满足12PPPPPQ，求点1P、2P的坐标.解析：(1)(,)22abM；(2)由方程组122221ykxpxyab，消y得方程2222222211()2()0akbxakpxapb，因为直线11:lykxp交椭圆于C、D两点，所以>0，即222210akbp，设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，则212102221201022212xxakpxakbbpykxpakb，由方程组12ykxpykx，消y得方程(k2k1)xp，又因为2221bkak，所以2102222112202221akppxxkkakbbpykxyakb，故E为CD的中点；(3)因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k2，由12PPPPPQ知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率2122bkak，从而得直线l的方程．1(1,)2F，直线OF的斜率212k，直线l的斜率212212bkak，解方程组22112110025yxxy，消y：x22x480，解得P1(6,4)、P2(8,3)．2.（2010湖南文）19.（本小题满分13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km的A、B两点各建一个考察基地视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图4）。考察范围到A、B两点的距离之和不超过10Km的区域。（I）求考察区域边界曲线的方程：（II）如图4所示，设线段12PP是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍。问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上3.（2010浙江理）(21)（本题满分15分）已知m＞1，直线2:02mlxmy，椭圆222:1xCym，1,2FF分别为椭圆C的左、右焦点.（Ⅰ）当直线l过右焦点2F时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于,AB两点，12AFFV，12BFFV的重心分别为,GH.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。（Ⅰ）解：因为直线:l202mxmy经过22(1,0)Fm，所以2212mm,得22m，又因为1m，所以2m，故直线l的方程为22202xy。（Ⅱ）解：设1122(,),(,)AxyBxy。由222221mxmyxym，消去x得222104mymy则由2228(1)804mmm，知28m，且有212121,282mmyyyy。由于12(,0),(,0),FcFc，故O为12FF的中点，由2,2AGGOBHHO，可知1121(,),(,),3333xyxyGh2221212()()99xxyyGH设M是GH的中点，则1212(,)66xxyyM，由题意可知2,MOGH即222212121212()()4[()()]6699xxyyxxyy即12120xxyy而2212121212()()22mmxxyymymyyy221(1()82mm）所以21082m即24m又因为1m且0所以12m。所以m的取值范围是(1,2)。4.（2010全国卷2理）（21）（本小题满分12分）己知斜率为1的直线l与双曲线C：2222100xyabab＞，＞相交于B、D两点，且BD的中点为1,3M．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，17DFBF，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质，考查直线与圆的关系，既考查考生的基础知识掌握情况，又可以考查综合推理的能力.【参考答案】【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目，命题者将好多考点以圆锥曲线为背景来考查，如向量问题、三角形问题、函数问题等等，试题的难度相对比较稳定.5.（2010陕西文）20.（本小题满分13分）（Ⅰ）求椭圆C的方程；(Ⅱ)设n为过原点的直线，l是与n垂直相交与点P，与椭圆相交于A,B两点的直线立？若存在，求出直线l的方程；并说出；若不存在，请说明理由。6.（2010辽宁文）（20）（本小题满分12分）设1F，2F分别为椭圆2222:1xyCab(0)ab的左、右焦点，过2F的直线l与椭圆C相交于A,B两点，直线l的倾斜角为60，1F到直线l的距离为23.（Ⅰ）求椭圆C的焦距；（Ⅱ）如果222AFFB,求椭圆C的方程.解：（Ⅰ）设焦距为2c，由已知可得1F到直线l的距离323,2.cc故所以椭圆C的焦距为4.（Ⅱ）设112212(,),(,),0,0,AxyBxyyy由题意知直线l的方程为3(2).yx联立2222422223(2),(3)4330.1yxabybybxyab得解得221222223(22)3(22),.33babayyabab因为22122,2.AFFByy所以即2222223(22)3(22)2.33babaabab得223.4,5.aabb而所以故椭圆C的方程为221.95xy7.（2010辽宁理）(20)（本小题满分12分）设椭圆C：22221(0)xyabab的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点直线l的倾斜角为60o,2AFFB.(I)求椭圆C的离心率；(II)如果|AB|=154，求椭圆C的方程.解：设1122(,),(,)AxyBxy，由题意知1y＜0，2y＞0.（Ⅰ）直线l的方程为3()yxc，其中22cab.联立22223(),1yxcxyab得22224(3)2330abybcyb解得221222223(2)3(2),33bcabcayyabab因为2AFFB，所以122yy.即2222223(2)3(2)233bcabcaabab得离心率23cea.……6分（Ⅱ）因为21113AByy，所以22224315343abab.由23ca得53ba.所以51544a，得a=3，5b.椭圆C的方程为22195xy.……12分8.（2010全国卷2文）（22）（本小题满分12分）已知斜率为1的直线1与双曲线C：22221(0,0)xyabab相交于B、D两点，且BD的中点为M（1.3）（Ⅰ）（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|=17证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切。【解析】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力。（1）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出A,B的关系式即求得离心率。（2）利用离心率将条件|FA||FB|=17，用含A的代数式表示，即可求得A，则A点坐标可得（1，0），由于A在X轴上所以，只要证明2AM=BD即证得。（2010江西理数）21.（本小题满分12分）设椭圆22122:1(0)xyCabab，抛物线222:Cxbyb。（1）若2C经过1C的两个焦点，求1C的离心率；（2）设A（0，b），5334Q，,又M、N为1C与2C不在y轴上的两个交点，若△AMN的垂心为34Bb0，，且△QMN的重心在2C上，求椭圆1C和抛物线2C的方程。【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。（1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得：22cb，由222222122,22cabccea有。(2)由题设可知M、N关于y轴对称，设11111(,),(,)(0)MxyNxyx,由AMN的垂心为B，有211130()()04BMANxybyb。由点11(,)Nxy在抛物线上，2211xbyb，解得：11()4byyb或舍去故1555,(,),(,)22424bbxbMbNb，得QMN重心坐标(3,)4b.由重心在抛物线上得：223,=24bbb所以，11(5,),(5,)22MN，又因为M、N在椭圆上得：2163a，椭圆方程为2216314xy，抛物线方程为224xy。9.（2010安徽文数）17、（本小题满分12分）椭圆E经过点2,3A，对称轴为坐标轴，焦点12,FF在x轴上，离心率12e。(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)求12FAF的角平分线所在直线的方程。【命题意图】本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力.【解题指导】（1）设椭圆方程为22221xyab，把点2,3A代入椭圆方程，把离心率12e用,ac表示，再根据222abc，求出22,ab，得椭圆方程；（2）可以设直线l上任一点坐标为(,)xy，根据角平分线上的点到角两边距离相等得|346||2|5xyx.解：（Ⅰ）设椭圆E的方程为22222222222222221212121.11,,3,1.2243131,2,1.16123()(2,0),(2,0),(2),43460.2.xyabcxyebaccaccAcEccxyFAFxxyAFxEAF由得将（2，3）代入，有解得：椭圆的方程为由（）知F所以直线的方程为y=即直线的方程为由椭圆的图形知，F的角平分线所在直线的斜率为正121234625346510,280,xyAFxxyxxyAF数。设P（x,y）为F的角平分线所在直线上任一点，则有若得其斜率为负，不合题意，舍去。于是3x-4y+6=-5x+10,即2x-y-1=0.所以，F的角平分线所在直线的方程为2x-y-1=0.【规律总结】对于椭圆解答题，一般都是设椭圆方程为22221xyab，根据题目满足的条件求出22,ab，得椭圆方程，这一问通常比较简单；（2）对于角平分线问题，利用角平分线的几何意义，即角平分线上的点到角两边距离相等得方程.10.（2010重庆文数）（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）已知以原点O为中心，(5,0)F为右焦点的双曲线C的离心率52e.（Ⅰ）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如题（21）图，已知过点11(,)Mxy的直线1l：1144xxyy与过点22(,)Nxy（其中21xx）的直线2l：2244xxyy的交点E在双曲线C上，直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于G、H两点，求OGOH的值.11.（2010浙江文）（22）、（本题满分15分）已知m是非零实数，抛物线2:2Cyps（p>0）的焦点F在直线2:02mlxmy上。（I）若m=2，求抛物线C的方程（II）设直线l与抛物线C交于A、B，△A2AF,△1BBF的重心分别为G,H求证：对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的焦点在以线段GH为直径的圆外。12.（2010重庆理）（20）（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分）已知以原点O为中心，5,0F为右焦点的双曲线C的离心率52e。（I）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（II）如题（20）图，已知过点11,Mxy的直线111:44lxxyy与过点22,Nxy（其中2xx）的直线222:44lxxyy的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求OGH的面积。13.（2010北京文）（19）（本小题共14分）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(2,0)，(2,0)，离心率是63，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P,圆心为P。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值。解：（Ⅰ）因为63ca，且2c，所以223,1abac所以椭圆C的方程为2213xy（Ⅱ）由题意知(0,)(11)ptt由2213ytxy得23(1)xt所以圆P的半径为23(1)t解得32t所以点P的坐标是（0，32）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程222()3(1)xytt。因为点(,)Qxy在圆P上。所以2223(1)3(1)yttxtt设cos,(0,)t，则23(1)cos3sin2sin()6tt当3，即12t，且0x，y取最大值2.14.（2010北京理）（19）（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于13.(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。（I）解：因为点B与A(1,1)关于原点O对称，所以点B得坐标为(1,1).设点P的坐标为(,)xy由题意得111113yyxx化简得2234(1)xyx.故动点P的轨迹方程为2234(1)xyx（II）解法一：设点P的坐标为00(,)xy，点M，N得坐标分别为(3,)My,(3,)Ny.则直线AP的方程为0011(1)1yyxx，直线BP的方程为0011(1)1yyxx令3x得000431Myxyx，000231Nyxyx.于是PMN得面积2000020||(3)1||(3)2|1|PMNMNxyxSyyxx又直线AB的方程为0xy，||22AB，点P到直线AB的距离00||2xyd.于是PAB的面积001||||2PABSABdxy当PABPMNSS时，得20000020||(3)|||1|xyxxyx又00||0xy，所以20(3)x=20|1|x，解得05|3x。因为220034xy，所以0339y故存在点P使得PAB与PMN的面积相等，此时点P的坐标为533(,)39.解法二：若存在点P使得PAB与PMN的面积相等，设点P的坐标为00(,)xy则11||||sin||||sin22PAPBAPBPMPNMPN.因为sinsinAPBMPN,所以||||||||PAPNPMPB所以000|1||3||3||1|xxxx即2200(3)|1|xx，解得0x53因为220034xy，所以0339y故存在点PS使得PAB与PMN的面积相等，此时点P的坐标为533(,)39.15.（2010四川理）（20）（本小题满分12分）已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝12，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.本小题主要考察直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考察平面机袭击和的思想方法及推理运算能力.解：(1)设P(x,y)，则221(2)2||2xyx化简得x2－23y=1(y≠0)………………………………………………………………4分(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k(x－2)(k≠0)与双曲线x2－23y=1联立消去y得(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0由题意知3－k2≠0且△＞0设B(x1,y1),C(x2,y2)，则2122212243433kxxkkxxky1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝k2(222243833kkkk＋4)＝2293kk因为x1、x2≠－1所以直线AB的方程为y＝111yx(x＋1)因此M点的坐标为(1131,22(1)yx)1133(,)22(1)yFMx,同理可得2233(,)22(1)yFNx因此2121293()22(1)(1)yyFMFNxx＝222222814343494(1)33kkkkkk＝0②当直线BC与x轴垂直时，起方程为x＝2，则B(2,3),C(2,－3)AB的方程为y＝x＋1,因此M点的坐标为(13,22)，33(,)22FM同理可得33(,)22FN因此2333()()222FMFN＝0综上FMFN＝0，即FM⊥FN故以线段MN为直径的圆经过点F………………………………………………12分16.（2010天津文）（21）（本小题满分14分）已知椭圆22221xyab（a>b>0）的离心率e=32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）.（i）若42AB5||=，求直线l的倾斜角；（ii）若点Qy0（0，）在线段AB的垂直平分线上，且QAQB=4.求y0的值.【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力.满分14分.（Ⅰ）解：由e=32ca，得2234ac.再由222cab，解得a=2b.由题意可知12242ab，即ab=2.解方程组2,2,abab得a=2，b=1.所以椭圆的方程为2214xy.(Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为11(,)xy，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.于是A、B两点的坐标满足方程组22(2),1.4ykxxy消去y并整理，得2222(14)16(164)0kxkxk.由212164214kxk，得2122814kxk.从而12414kyk.所以222222228441||2141414kkkABkkk.由42||5AB，得224142145kk.整理得42329230kk，即22(1)(3223)0kk，解得k=1.所以直线l的倾斜角为4或34.（ii）解：设线段AB的中点为M，由（i）得到M的坐标为22282,1414kkkk.以下分两种情况：（1）当k=0时，点B的坐标是（2,0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是002,,2,.QAyQBy由4QAQB，得y220。（2）当0k时，线段AB的垂直平分线方程为2222181414kkyxkkk。令0x，解得02614kyk。由02,QAy，110,QBxyy，210102222228646214141414kkkkQAQBxyyykkkk4222416151414kkk，整理得272k。故147k。所以02145y。综上，022y或02145y17.（2010天津理）（20）（本小题满分12分）已知椭圆22221(0xyabab）的离心率32e，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。（1）求椭圆的方程；（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点,AB，已知点A的坐标为（,0a），点0(0,)Qy在线段AB的垂直平分线上，且4QAQB，求0y的值【解析】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力，满分12分（1）解：由3e2ca，得2234ac，再由222cab，得2ab由题意可知，1224,22abab即解方程组22abab得a=2,b=1所以椭圆的方程为2214xy(2)解：由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x1,,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),于是A,B两点的坐标满足方程组22(2)14ykxxy由方程组消去Y并整理，得2222(14)16(164)0kxkxk由2121642,14kxk得21122284,,1414kkxykk从而设线段AB是中点为M，则M的坐标为22282(,)1414kkkk以下分两种情况：（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直平分线为y轴，于是000(2,y),(2,=2QAQByQAQBy）由4，得=2（2）当K0时，线段AB的垂直平分线方程为222218()1414kkYxkkk令x=0，解得02614kyk由0110(2,y),(,QAQBxyy）2101022222(28)6462(()14141414kkkkQAQBxyyykkkk）=42224(16151)4(14)kkk=整理得201421472,=75kky故所以综上00214=22=5yy或18.（2010广东理）21．（本小题满分14分）设A(11,xy),B(22,xy)是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离p(A,B)为2121(,)||||PABxxyy.当且仅当1212()()0,()()0xxxxyyyy时等号成立，即,,ABC三点共线时等号成立.（2）当点C(x,y)同时满足①P(,)AC+P(,)CB=P(,)AB，②P(,)AC=P(,)CB时，点C是线段AB的中点.1212,22xxyyxy，即存在点1212(,)22xxyyC满足条件。19.（2010广东理）20．（本小题满分为14分）一条双曲线2212xy的左、右顶点分别为A1,A2，点11(,)Pxy，11(,)Qxy是双曲线上不同的两个动点。（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程式；（2）若过点H(0,h)（h>1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且12ll,求h的值。故221(2)2yx，即2212xy。（2）设1:lykxh，则由12ll知，21:lyxhk。将1:lykxh代入2212xy得22()12xkxh，即222(12)4220kxkhxh，由1l与E只有一个交点知，2222164(12)(22)0khkh，即2212kh。同理，由2l与E只有一个交点知，22112hk，消去2h得221kk，即21k，从而22123hk，即3h。20.（2010广东文）21.（本小题满分14分）已知曲线2:nxyCn,点),(nnnyxP)0,0(nnyx是曲线nC上的点,...)2,1(n，21.（2010福建文）19．（本小题满分12分）已知抛物线C：22(0)ypxp过点A（1,-2）。（I）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于55？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由。22.（2010全国卷1理）（21）(本小题满分12分)已知抛物线2:4Cyx的焦点为F，过点(1,0)K的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D.（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；（Ⅱ）设89FAFB，求BDK的内切圆M的方程.23.（2010湖北文）20.（本小题满分13分）已知一条曲线C在y轴右边，C上没一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1。（Ⅰ）求曲线C的方程（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有FA·FB＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。24.（2010山东理）（21）（本小题满分12分）如图，已知椭圆22221(0)xyabab＞＞的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,FF为顶点的三角形的周长为4(21).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF和2PF与椭圆的交点分别为BA、和CD、.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF、2PF的斜率分别为1k、2k，证明12·1kk；（Ⅲ）是否存在常数，使得·ABCDABCD恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【解析】（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为ca22，得2ac，又22ac4(21)，所以可解得22a，2c，所以2224bac，所以椭圆的标准方程为22184xy；所以椭圆的焦点坐标为（2，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为22144xy。【命题意图】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，25.（2010湖南理）19.（本小题满分13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A,B两点各建一个考察基地。视冰川面为平面形，以过A,B两点的直线为x轴，线段AB的的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）在直线x=2的右侧，考察范围为到点B的距离不超过655km区域；在直线x=2的左侧，考察范围为到A,B两点的距离之和不超过45km区域。（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；（Ⅱ）如图6所示，设线段P1P2,P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界线），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km,以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间。化融区域283P-63，P3(8,6)已冰B（4，0）A（-4,0）x（，-1）P126.（2010湖北理）19(本小题满分12分)已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1.(Ⅰ)求曲线C的方程；（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有0FAFB？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。27.（2010安徽理数）19、（本小题满分13分）已知椭圆E经过点2,3A，对称轴为坐标轴，焦点12,FF在x轴上，离心率12e。(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)求12FAF的角平分线所在直线l的方程；(Ⅲ)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。28.（2010江苏卷）18、（本小题满分16分）在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆15922yx的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（mt,）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M),(11yx、),(22yxN，其中m>0,0,021yy。（1）设动点P满足422PBPF,求点P的轨迹；（2）设31,221xx，求点T的坐标；（3）设9t,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。[解析]本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由422PBPF，得2222(2)[(3)]4,xyxy化简得92x。故所求点P的轨迹为直线92x。（2）将31,221xx分别代入椭圆方程，以及0,021yy得：M（2，53）、N（13，209）直线MTA方程为：0352303yx，即113yx，直线NTB方程为：032010393yx，即5562yx。联立方程组，解得：7103xy，所以点T的坐标为10(7,)3。（3）点T的坐标为(9,)m直线MTA方程为：03093yxm，即(3)12myx，直线NTB方程为：03093yxm，即(3)6myx。分别与椭圆15922yx联立方程组，同时考虑到123,3xx，解得：2223(80)40(,)8080mmMmm、2223(20)20(,)2020mmNmm。（方法一）当12xx时，直线MN方程为：222222222203(20)202040203(80)3(20)80208020mmyxmmmmmmmmmm令0y，解得：1x。此时必过点D（1，0）；当12xx时，直线MN方程为：1x，与x轴交点为D（1，0）。所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。（方法二）若12xx，则由222224033608020mmmm及0m，得210m，此时直线MN的方程为1x，过点D（1，0）。若12xx，则210m，直线MD的斜率2222401080240340180MDmmmkmmm，直线ND的斜率222220102036040120NDmmmkmmm，得MDNDkk，所以直线MN过D点。因此，直线MN必过x轴上的点（1，0）。2009年高考题一、选择题1.（2009全国卷Ⅰ理）设双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于()A.3B.2C.5D.6【解析】设切点00(,)Pxy，则切线的斜率为0\'0|2xxyx.由题意有0002yxx又2001yx解得:2201,2,1()5bbxeaa.【答案】C2.（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆22:12xCy的右焦点为F,右准线为l，点Al，线段AF交C于点B，若3FAFB,则||AF=()A.2B.2C.3D.3【解析】过点B作BMl于M,并设右准线l与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意3FAFB,故2||3BM.又由椭圆的第二定义,得222||233BF||2AF.故选A【答案】A3.（2009浙江理）过双曲线22221(0,0)xyabab的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,BC．若12ABBC，则双曲线的离心率是()A．2B．3C．5D．10【解析】对于,0Aa，则直线方程为0xya，直线与两渐近线的交点为B，C，22,,(,)aabaabBCabababab则有22222222(,),,ababababBCABabababab，因222,4,5ABBCabe．【答案】C4.（2009浙江文）已知椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P．若2APPB，则椭圆的离心率是（）A．32B．22C．13D．12【解析】对于椭圆，因为2APPB，则12,2,2OAOFace【答案】D5.（2009北京理）点P在直线:1lyx上，若存在过P的直线交抛物线2yx于,AB两点，且|||PAAB，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（）A．直线l上的所有点都是“点”B．直线l上仅有有限个点是“点”C．直线l上的所有点都不是“点”D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力.属于创新题型.本题采作数形结合法易于求解，如图，设,,,1AmnPxx，则2,22Bmxnx，∵2,AByx在上，∴2221(2)nmnxmx消去n,整理得关于x的方程22(41)210xmxm（1）∵222(41)4(21)8850mmmm恒成立，∴方程（1）恒有实数解，∴应选A.【答案】A6.(2009山东卷理)设双曲线12222byax的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为().A.45B.5C.25D.5【解析】双曲线12222byax的一条渐近线为xaby,由方程组21byxayx,消去y,得210bxxa有唯一解,所以△=2()40ba,所以2ba,2221()5cabbeaaa,故选D.【答案】D【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能7.(2009山东卷文)设斜率为2的直线l过抛物线2(0)yaxa的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为().A.24yxB.28yxC.24yxD.28yx【解析】　抛物线2(0)yaxa的焦点F坐标为(,0)4a,则直线l的方程为2()4ayx,它与y轴的交点为A(0,)2a,所以△OAF的面积为1||||4242aa,解得8a.所以抛物线方程为28yx,故选B.【答案】B【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数a的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一.8.（2009全国卷Ⅱ文）双曲线13622yx的渐近线与圆)0()3(222rryx相切，则r=()A.3B.2C.3D.6【解析】本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于r，可求r=3.【答案】A9.（2009全国卷Ⅱ文）已知直线)0)(2(kxky与抛物线C:xy82相交A、B两点，F为C的焦点。若FBFA2,则k=　(　　)Ａ.31　　Ｂ.32Ｃ.32　　Ｄ.322【解析】本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0），由2FAFB及第二定义知)2(22BAxx联立方程用根与系数关系可求k=223.【答案】D1０.（2009安徽卷理）下列曲线中离心率为62的是Ａ.22124xy　Ｂ.22142xyＣ.22146xyＤ.221410xy【解析】由62e得222222331,1,222cbbaaa，选B.【答案】Ｂ11.（2009福建卷文）若双曲线222213xyaoa的离心率为2，则a等于()A.2B.3C.32D.1【解析】　由22223123xyaaac可知虚轴b=3，而离心率e=a，解得a=1或a=3，参照选项知而应选D.【答案】D12.（2009安徽卷文）下列曲线中离心率为的是(.()A.B.C.D.【解析】依据双曲线22221xyab的离心率cea可判断得.62cea.选B。【答案】B13.（2009江西卷文）设1F和2F为双曲线22221xyab(0,0ab)的两个焦点,若12FF，，(0,2)Pb是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为A．32B．2C．52D．3【解析】由3tan623cb有2222344()cbca,则2cea,故选B.【答案】B14.（2009江西卷理）过椭圆22221xyab(0ab)的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P，2F为右焦点，若1260FPF，则椭圆的离心率为A．22B．33C．12D．13【解析】因为2(,)bPca，再由1260FPF有232,baa从而可得33cea，故选B【答案】B15.（2009天津卷文）设双曲线)0,0(12222babyax的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（）A.xy2B.xy2C.xy22D.xy21【解析】由已知得到2,3,122bcacb，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为xxaby22【答案】C【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。16.(2009湖北卷理)已知双曲线22122xy的准线过椭圆22214xyb的焦点，则直线2ykx与椭圆至多有一个交点的充要条件是()A.11,22KB.11,,22KC.22,22KD.22,,22K【解析】易得准线方程是2212axb所以222241cabb即23b所以方程是22143xy联立2ykx可得223+(4k+16k)40xx由0可解得A.【答案】A17.（2009四川卷文、理）已知双曲线)0(12222bbyx的左、右焦点分别是1F、2F，其一条渐近线方程为xy，点),3(0yP在双曲线上.则1PF·2PF＝()A.－12B.－2C.0D.4【解析】由渐近线方程为xy知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是222yx，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和（2，0），且)1,3(P或)1,3(P.不妨去)1,3(P，则)1,32(1PF，)1,32(2PF.∴1PF·2PF＝01)32)(32()1,32)(1,32(【答案】C18.（2009全国卷Ⅱ理）已知直线20ykxk与抛物线2:8Cyx相交于AB、两点，F为C的焦点，若||2||FAFB，则k()A.13B.23C.23D.223【解析】设抛物线2:8Cyx的准线为:2lx直线20ykxk恒过定点P2,0.如图过AB、分别作AMl于M,BNl于N,由||2||FAFB,则||2||AMBN,点B为AP的中点.连结OB,则1||||2OBAF,||||OBBF点B的横坐标为1,故点B的坐标为22022(1,22)1(2)3k,故选D.【答案】D19.（2009全国卷Ⅱ理）已知双曲线222210,0xyCabab：的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交C于AB、两点，若4AFFB,则C的离心率为()mA．65B.75C.58D.95【解析】设双曲线22221xyCab：的右准线为l,过AB、分别作AMl于M,BNl于N,BDAMD于,由直线AB的斜率为3,知直线AB的倾斜角16060,||||2BADADAB,由双曲线的第二定义有1||||||(||||)AMBNADAFFBe11||(||||)22ABAFFB.又15643||||25AFFBFBFBee.【答案】A20.（2009湖南卷文）抛物线28yx的焦点坐标是（）A．（2，0）B．（-2，0）C．（4，0）D．（-4，0）【解析】由28yx,易知焦点坐标是(,0)(2,0)2p，故选B.【答案】B21.（2009宁夏海南卷理）双曲线24x-212y=1的焦点到渐近线的距离为()A.23B.2C.3D.1【解析】双曲线24x-212y=1的焦点(4,0)到渐近线3yx的距离为340232d,【答案】A22.（2009陕西卷文）“0mn”是“方程221mxny”表示焦点在y轴上的椭圆”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】将方程221mxny转化为22111xymn,根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足110,0,mn所以11nm.【答案】C23.（2009全国卷Ⅰ文）设双曲线222200xyabab－＝1＞，＞的渐近线与抛物线21y＝x＋相切，则该双曲线的离心率等于（）A.3B.2C.5D.6【解析】由题双曲线222200xyabab－＝1＞，＞的一条渐近线方程为abxy，代入抛物线方程整理得02abxax，因渐近线与抛物线相切，所以0422ab，即5522eac，故选择C.【答案】C24.（2009湖北卷文）已知双曲线1412222222byxyx的准线经过椭圆（b＞0）的焦点，则b=()A.3B.5C.3D.2【解析】可得双曲线的准线为21axc,又因为椭圆焦点为2(4,0)b所以有241b.即b2=3故b=3.故C.【答案】C27.（2009天津卷理）设抛物线2y=2x的焦点为F，过点M（3，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，BF=2，则BCF与ACF的面积之比BCFACFSS=()A.45B.23C.47D.12642-2-4-6-10-5510x=-0.5F:(0.51,0.00)hx=-2x+3gy=-12fy=y22ABFC【解析】由题知12122121ABABACFBCFxxxxACBCSS，又323221||BBByxxBF由A、B、M三点共线有BMBMAMAMxxyyxxyy即23330320AAxx，故2Ax，∴5414131212ABACFBCFxxSS，故选择A。【答案】A28.（2009四川卷理）已知直线1:4360lxy和直线2:1lx，抛物线24yx上一动点P到直线1l和直线2l的距离之和的最小值是（）A.2B.3C.115D.3716【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。【解析1】直线2:1lx为抛物线24yx的准线，由抛物线的定义知，P到2l的距离等于P到抛物线的焦点)0,1(F的距离，故本题化为在抛物线24yx上找一个点P使得P到点)0,1(F和直线2l的距离之和最小，最小值为)0,1(F到直线1:4360lxy的距离，即25|604|mind，故选择A。【解析2】如图，由题意可知22|3106|234d【答案】A二、填空题29.（2009宁夏海南卷理）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为_____________.【解析】抛物线的方程为24yx，2111122122222212121212124,,,,4441yxAxyBxyxxyxyyyyxxxxyy则有，两式相减得，，直线l的方程为y-2=x-2,即y=x【答案】y=x30.（2009重庆卷文、理）已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12(,0),(,0)FcFc，若椭圆上存在一点P使1221sinsinacPFFPFF，则该椭圆的离心率的取值范围为．【解析1】因为在12PFF中，由正弦定理得211221sinsinPFPFPFFPFF则由已知，得1211acPFPF，即12aPFcPF设点00(,)xy由焦点半径公式，得1020,PFaexPFaex则00()()aaexcaex记得0()(1)()(1)acaaexecaee由椭圆的几何性质知0(1)(1)aexaaee则，整理得2210,ee解得2121(0,1)eee或，又，故椭圆的离心率(21,1)e【解析2】由解析1知12cPFPFa由椭圆的定义知212222222caPFPFaPFPFaPFaca则即，由椭圆的几何性质知22222,,20,aPFacacccaca则既所以2210,ee以下同解析1.【答案】21,131.（2009北京文、理）椭圆22192xy的焦点为12,FF，点P在椭圆上，若1||4PF，则2||PF；12FPF的大小为..w【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理.属于基础知识、基本运算的考查.∵229,3ab，∴22927cab，∴1227FF，又1124,26PFPFPFa，∴22PF，又由余弦定理，得2221224271cos2242FPF，∴12120FPF，故应填2,120.32.（2009广东卷理）巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为．【解析】23e，122a，6a，3b，则所求椭圆方程为193622yx.【答案】193622yx33.（2009四川卷文）抛物线24yx的焦点到准线的距离是.【解析】焦点F（1，0），准线方程1x，∴焦点到准线的距离是2.【答案】234.（2009湖南卷文）过双曲线C：22221xyab(0,0)ab的一个焦点作圆222xya的两条切线，切点分别为A，B，若120AOB（O是坐标原点），则双曲线线C的离心率为.【解析】12060302AOBAOFAFOca,2.cea【答案】235.（2009福建卷理）过抛物线22(0)ypxp的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p________________【解析】由题意可知过焦点的直线方程为2pyx，联立有22223042ypxpxpxpyx，又222(11)(3)4824pABpp。【答案】236.（2009辽宁卷理）以知F是双曲线221412xy的左焦点，(1,4),AP是双曲线右支上的动点，则PFPA的最小值为。【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0),于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a＝4而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立.【答案】937.（2009宁夏海南卷文）已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若2,2P为AB的中点，则抛物线C的方程为。【解析】设抛物线为y2＝kx，与y＝x联立方程组，消去y，得：x2－kx＝0，21xx＝k＝2×2，故24yx.【答案】24yx38.(2009湖南卷理)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60o，则双曲线C的离心率为.【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是,(bcb是虚半轴长，c是焦半距)，且一个内角是30，即得tan30bc，所以3cb，所以2ab，离心率3622cea.【答案】6239.（2009年上海卷理）已知1F、2F是椭圆1:2222byaxC（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且21PFPF.若21FPF的面积为9，则b=____________.【解析】依题意，有2222121214||||18||||2||||cPFPFPFPFaPFPF，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。【答案】3三、解答题40.(2009年广东卷文)（本小题满分14分）已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为23,两个焦点分别为1F和2F,椭圆G上一点到1F和2F的距离之和为12.圆kC:0214222ykxyx)(Rk的圆心为点kA.(1)求椭圆G的方程(2)求21FFAk的面积(3)问是否存在圆kC包围椭圆G?请说明理由.解（1）设椭圆G的方程为：22221xyab（0ab）半焦距为c;则21232aca,解得633ac,22236279bac所求椭圆G的方程为：221369xy.(2)点KA的坐标为,2K12121126326322KAFFSFFV（3）若0k，由01215210120622可知点（6，0）在圆kC外，若0k，由01215210120)6(22可知点（-6，0）在圆kC外；不论K为何值圆kC都不能包围椭圆G.41.（2009浙江理）（本题满分15分）已知椭圆1C：22221(0)yxabab的右顶点为(1,0)A，过1C的焦点且垂直长轴的弦长为1．（I）求椭圆1C的方程；（II）设点P在抛物线2C：2()yxhhR上，2C在点P处的切线与1C交于点,MN．当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值．解（I）由题意得212,,121babba所求的椭圆方程为2214yx，（II）不妨设21122(,),(,),(,),MxyNxyPtth则抛物线2C在点P处的切线斜率为2xtyt，直线MN的方程为22ytxth，将上式代入椭圆1C的方程中，得2224(2)40xtxth，即22222414()()40txtthxth，因为直线MN与椭圆1C有两个不同的交点，所以有4221162(2)40thth，设线段MN的中点的横坐标是3x，则21232()22(1)xxtthxt，设线段PA的中点的横坐标是4x，则412tx，由题意得34xx，即有2(1)10tht，其中的22(1)40,1hh或3h；当3h时有220,40hh，因此不等式4221162(2)40thth不成立；因此1h，当1h时代入方程2(1)10tht得1t，将1,1ht代入不等式4221162(2)40thth成立，因此h的最小值为1．42.（2009浙江文）（本题满分15分）已知抛物线C：22(0)xpyp上一点(,4)Am到其焦点的距离为174．（I）求p与m的值；（II）设抛物线C上一点P的横坐标为(0)tt，过P的直线交C于另一点Q，交x轴于点M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N．若MN是C的切线，求t的最小值．解（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：2py，根据抛物线定义点)4,(mA到焦点的距离等于它到准线的距离，即41724p，解得21p抛物线方程为：yx2，将)4,(mA代入抛物线方程，解得2m（Ⅱ）由题意知，过点),(2ttP的直线PQ斜率存在且不为0，设其为k。则)(:2txktylPQ，当,,02kkttxy则)0,(2kkttM。联立方程yxtxkty22)(，整理得：0)(2tktkxx即：0)]()[(tkxtx，解得,tx或tkx))(,(2tktkQ，而QPQN，直线NQ斜率为k1)]([1)(:2tkxktkylNQ，联立方程yxtkxktky22)]([1)(整理得：0)()(1122tktkkxkx，即：0]1)()[(2tkktkxkx0)](][1)([tkxtkkkx，解得：ktkkx1)(，或tkx)]1)([,1)((22ktkkktkkN，)1()1(1)(]1)([2222222ktkktkkkttktkkktkkKNM而抛物线在点N处切线斜率：ktkkykktkkx2)(21)(切MN是抛物线的切线，ktkkktkktk2)(2)1()1(2222，整理得02122ttkk0)21(422tt，解得32t（舍去），或32t，32mint43.（2009北京文）（本小题共14分）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为3，右准线方程为33x。（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）已知直线0xym与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆225xy上，求m的值.【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．解（Ⅰ）由题意，得2333acca，解得1,3ac，∴2222bca，∴所求双曲线C的方程为2212yx.（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为1122,,,xyxy，线段AB的中点为00,Mxy，由22120yxxym得22220xmxm（判别式0）,∴12000,22xxxmyxmm,∵点00,Mxy在圆225xy上，∴2225mm，∴1m.44.（2009北京理）（本小题共14分）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为3，右准线方程为33x（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l是圆22:2Oxy上动点0000(,)(0)Pxyxy处的切线，l与双曲线C交于不同的两点,AB，证明AOB的大小为定值.【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．（Ⅰ）由题意，得2333acca，解得1,3ac，∴2222bca，∴所求双曲线C的方程为2212yx.（Ⅱ）点0000,0Pxyxy在圆222xy上，圆在点00,Pxy处的切线方程为0000xyyxxy，化简得002xxyy.由2200122yxxxyy及22002xy得222000344820xxxxx，∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且2002x，∴20340x，且22200016434820xxx，设A、B两点的坐标分别为1122,,,xyxy，则20012122200482,3434xxxxxxxx，∵cosOAOBAOBOAOB，且121212010220122OAOBxxyyxxxxxxy，212012012201422xxxxxxxxx222200002222000082828143423434xxxxxxxx22002200828203434xxxx.∴AOB的大小为90.【解法2】（Ⅰ）同解法1.（Ⅱ）点0000,0Pxyxy在圆222xy上，圆在点00,Pxy处的切线方程为0000xyyxxy，化简得002xxyy.由2200122yxxxyy及22002xy得222000344820xxxxx①222000348820xyyxx②∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且2002x，∴20340x，设A、B两点的坐标分别为1122,,,xyxy，则2200121222008228,3434xxxxyyxx，∴12120OAOBxxyy，∴AOB的大小为90.（∵22002xy且000xy，∴220002,02xy，从而当20340x时，方程①和方程②的判别式均大于零）.45.（2009江苏卷）（本题满分10分）在平面直角坐标系xoy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在x轴上。（1）求抛物线C的标准方程；（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；（3）设过点(,0)(0)Mmm的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为()fm，求()fm关于m的表达式。46.(2009山东卷理)（本小题满分14分）设椭圆E:22221xyab（a,b>0）过M（2，2），N(6,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。解:（1）因为椭圆E:22221xyab（a,b>0）过M（2，2），N(6,1)两点,所以2222421611abab解得22118114ab所以2284ab椭圆E的方程为22184xy（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB,设该圆的切线方程为ykxm解方程组22184xyykxm得222()8xkxm,即222(12)4280kxkmxm,则△=222222164(12)(28)8(84)0kmkmkm,即22840km12221224122812kmxxkmxxk,22222222212121212222(28)48()()()121212kmkmmkyykxmkxmkxxkmxxmmkkk使OAOB,需使12120xxyy,即2222228801212mmkkk,所以223880mk,所以223808mk又22840km,所以22238mm,所以283m,即263m或263m,因为直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为21mrk,222228381318mmrmk,263r,所求的圆为2283xy,此时圆的切线ykxm都满足263m或263m,而当切线的斜率不存在时切线为263x与椭圆22184xy的两个交点为2626(,)33或2626(,)33满足OAOB,综上,存在圆心在原点的圆2283xy，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB.因为12221224122812kmxxkmxxk,所以22222212121222224288(84)()()4()41212(12)kmmkmxxxxxxkkk,2222222121212228(84)||()(1)()(1)(12)kmABxxyykxxkk42242423245132[1]34413441kkkkkkk,①当0k时22321||[1]1344ABkk因为221448kk所以221101844kk,所以2232321[1]1213344kk,所以46||233AB当且仅当22k时取”=”.②当0k时,46||3AB.③当AB的斜率不存在时,两个交点为2626(,)33或2626(,)33,所以此时46||3AB,综上,|AB|的取值范围为46||233AB即:4||[6,23]3AB【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.47.(2009山东卷文)（本小题满分14分）设mR,在平面直角坐标系中,已知向量(,1)amxy,向量(,1)bxy,ab,动点(,)Mxy的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;（2）已知41m,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且OAOB(O为坐标原点),并求出该圆的方程;(3)已知41m,设直线l与圆C:222xyR(10）与x轴的左、右两个交点，直线l过点B,且与x轴垂直，S为l上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧AB的三等分点，试求出点S的坐标；（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在a,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。解方法一(Ⅰ)当曲线C为半圆时，1,a如图，由点T为圆弧AB的三等分点得∠BOT=60°或120°.(1)当∠BOT=60°时,∠SAE=30°.又AB=2,故在△SAE中,有tan30,(,);SBABst(2)当∠BOT=120°时,同理可求得点S的坐标为(1,23),综上,23(1,)3S或S(1,23)(Ⅱ)假设存在(0)aa,使得O,M,S三点共线.由于点M在以SB为直线的圆上,故BTOS.显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为()ykxa.由222222242221(1)20()xyakxakxakaaykxa得设点22222(,),(),1TTTakaTxyxaak故22221Taakxak,从而222()1TTakykxaak.亦即2222222(,).11aakakTakak22222222(,0),((,))11akakBaBTakak由()xaykxa得(,2),(,2).saakOSaak由BTOS,可得2222224012akakBTOSak即2222240akak0,0,2kaa经检验,当2a时,O,M,S三点共线.故存在2a,使得O,M,S三点共线.方法二:(Ⅰ)同方法一.(Ⅱ)假设存在a,使得O,M,S三点共线.由于点M在以SO为直径的圆上,故SMBT.显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为()ykxa由222222222221(1)20()xyabxakxakaaykxa得设点(,)TTTxy,则有42222().1Takaxaak故22222222222222,()().111TTTaakakaakakxykxaTaakakakak从而亦即221(,0),,TBTSMTyBakkakxaak故由()xaykxa得S(a,2ak),所直线SM的方程为22()yakakxaO,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即22()akaka.0,0,2aKa故存在2a,使得O,M,S三点共线.60.（2009辽宁卷文、理）（本小题满分12分）已知，椭圆C以过点A（1，32），两个焦点为（－1，0）（1，0）。（1）求椭圆C的方程；（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。（Ⅰ）解由题意，c＝1,可设椭圆方程为2222114xybb。因为A在椭圆上，所以2219114bb，解得2b＝3，2b＝34（舍去）。所以椭圆方程为22143xy．　　　　　　　　　　　　　　（Ⅱ）证明设直线ＡＥ方程：得3(1)2ykx，代入22143xy得22233+4+4(32)4()1202kxkkxk（）设Ｅ（Ex，Ey），Ｆ（Fx，Fy）．因为点Ａ（1，32）在椭圆上，所以2234()12234Ekxk，32EEykxk。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以k代k，可得2234()12234Fkxk，32FFykxk。所以直线EF的斜率()212FEFEEFFEFEyykxxkkxxxx。即直线EF的斜率为定值，其值为12。　　61.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，OPOM=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。解(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为ac，，由已知得1,4,37acacac解得，所以椭圆C的标准方程为221167xy（Ⅱ）设(,)Mxy，其中4,4x。由已知222OPOM及点P在椭圆C上可得2222911216()xxy。整理得2222(169)16112xy，其中4,4x。（i）34时。化简得29112y所以点M的轨迹方程为47(44)3yx，轨迹是两条平行于x轴的线段。（ii）34时，方程变形为2222111211216916xy，其中4,4x当304时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足44x的部分。当314时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足44x的部分；当1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆；62.（2009陕西卷文）（本小题满分12分）已知双曲线C的方程为22221(0,0)yxabab，离心率52e，顶点到渐近线的距离为255。（1）求双曲线C的方程；(2)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若1,[,2]3APPB，求AOB面积的取值范围。方法一解（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线2505axby的距离为，所以22255abab所以255abc由22225525125abcacbaccab得所以曲线C的方程是2y421x（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为2yx设(,2),,2),0,0AmmBnnmn（由,),APPBPuuuruurm-n2(m+n)得点的坐标为（1+1+将P点的坐标代入222(1)1,44yx化简得mn=因为2,AOB14tan()2,tan,sin2225又5,5OAmOBn所以111sin22()122AOBSOAOBmn记111()()1,[,2]23S则211()(1)2S由()01S得又S（1）=2，189(),(2)334SS当1时，AOB面积取到最小值2，当当13时，AOB面积取到最大值83所以AOB面积范围是8[2,3]方法二（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线2505axby的距离为，22252555ababcab即由22225525125abcacbaccab得所以曲线C的方程是2y421x.（Ⅱ）设直线AB的方程为,ykxm由题意知2,0km由2,),222ykxmmmAyxkk得点的坐标为（由2,),222ykxmmmByxkk得点的坐标为（121,(),()122122mmAPPBPkkkk得点的坐标为（uuuruur将P点的坐标代入21x2y4得2224(1)4mk设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）AOBS=AOQBOQSS.22111()222114()2222411()12ABABOQxOQxmxxmmmmkkkggg63.（2009四川卷文、理）（本小题满分12分）已知椭圆2221(0)xyabab的左、右焦点分别为12FF、，离心率22e，右准线方程为2x。（I）求椭圆的标准方程；（II）过点1F的直线l与该椭圆交于MN、两点，且222263FMFN，求直线l的方程。解（I）由已知得2222caac，解得2,1ac∴221bac∴所求椭圆的方程为2212xy.（II）由（I）得1(1,0)F、2(1,0)F①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为1x，由22112xxy得22y设2(1,)2M、2(1,)2N，∴2222(2,)(2,)(4,0)422FMFN，这与已知相矛盾。②若直线l的斜率存在，设直线直线l的斜率为k，则直线l的方程为(1)ykx，设11(,)Mxy、22(,)Nxy，联立22(1)12ykxxy，消元得2222(12)4220kxkxk∴22121222422,1212kkxxxxkk，∴121222(2)12kyykxxk，又∵211222(1,),(1,)FMxyFNxy∴221212(2,)FMFNxxyy∴2222222121222822226(2)()12123kkFMFNxxyykk化简得424023170kk解得2217140或(舍去)kk∴1k∴所求直线l的方程为11或yxyx64.（2009全国卷Ⅰ文）（本小题满分12分）如图，已知抛物线2:Eyx与圆222:(4)(0)Mxyrr相交于A、B、C、D四个点。（Ⅰ）求r的取值范围（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。解：（Ⅰ）将抛物线2:Eyx代入圆222:(4)(0)Mxyrr的方程，消去2y，整理得227160xxr抛物线2:Eyx与圆222:(4)(0)Mxyrr相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴016070)16(449221212rxxxxr即442525rrr或。解这个方程组得425r15(,4)2r.（II）设四个交点的坐标分别为11(,)Axx、11(,)Bxx、22(,)Cxx、22(,)Dxx。则由（I）根据韦达定理有212127,16xxxxr，15(,4)2r则2112211212||()||()2Sxxxxxxxx222212121212[()4](2)(7216)(415)Sxxxxxxxxrr令216rt，则22(72)(72)Stt下面求2S的最大值。方法1：由三次均值有：221(72)(72)(72)(72)(144)2Sttttt3317272144128()()2323ttt当且仅当72144tt，即76t时取最大值。经检验此时15(,4)2r满足题意。方法2：设四个交点的坐标分别为11(,)Axx、11(,)Bxx、22(,)Cxx、22(,)Dxx则直线AC、BD的方程分别为)(),(112121112121xxxxxxxyxxxxxxxy解得点P的坐标为)0,(21xx。设21xxt，由216rt及（Ⅰ）得)41,0(t由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积||)22(212121xxxxS则]4))[(2(2122122112xxxxxxxxS将721xx，txx21代入上式，并令2)(Stf，等)270(34398288)27()27()(232tttttttf，∴)76)(72(2985624)`(2tttttf，令0)`(tf得67t，或27t（舍去）当670t时，0)`(tf；当67t时0)`(tf；当2767t时，0)`(tf故当且仅当67t时，)(tf有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为)0,67(。65.（2009湖北卷文）（本小题满分13分）如图，过抛物线y2＝2PX(P﹥0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线L作垂线，垂足分别为M1、N1(Ⅰ)求证：FM1⊥FN1:(Ⅱ)记△FMM1、、△FM1N1、△FNN1的面积分别为S1、、S2、，S3，试判断S22＝4S1S3是否成立，并证明你的结论。（1）证明方法一由抛物线的定义得11,,MFMMNFNN1111,MFMMMFNFNNNF如图，设准线l与x的交点为1F111////MMNNFFQ111111,FFMMMFFFNNNF而0111111180FFMMFMFFNNFN即0111122180FFMFFN0111190FFMFFN故11FMFN方法二依题意，焦点为(,0),2pF准线l的方程为2px设点M,N的坐标分别为1122,),,),MxyNxy（（直线MN的方程为2pxmy，则有11121112(,),(,),(,),(,)22ppMyNyFMpyFNpy由222pxmyypx得2220ympyp于是，122yymp，212yyp22211120FMFNpyypp，故11FMFN（Ⅱ）解22134SSS成立，证明如下：方法一设1122(,),(,)MxyNxy，则由抛物线的定义得1112||||,||||22ppMMMFxNNNFx，于是11111111||||()||222pSMMFMxy21211211||||||22SMNFFpyy31112211||||()||222pSNNFNxy222131211221114(||)4()||()||22222ppSSSpyyxyxy22212121212121[()4][()]||424pppyyyyxxxxyy将11222,2pxmypxmy与122122yympyyp代入上式化简可得22222222()()pmpppmpp，此式恒成立。故22134SSS成立。方法二如图，设直线MNM的倾角为，12||,||MFrNFr则由抛物线的定义得1113||||,||||MMMFrNNNFr11111////,,MMNNFFFMMFNN于是22211322111sin,sin()sin222SrSrr在1FMM和1FNN中，由余弦定理可得2222222211111222||22cos2(1cos),||22cos2(1cos)FMrrrFNrrr由（I）的结论，得2111||||2SFMFN2222222221112121311||||4(1cos)(1cos)sin444SFMFNrrrrSS即22134SSS，得证。66.（2009宁夏海南卷文）(本小题满分12分)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是7和1（1）求椭圆C的方程‘（2）若P为椭圆C的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，OPeOM（e为椭圆C的离心率），求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。解（1）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得{1,7.acac解得a=4,c=3,所以椭圆C的方程为221.167xy（Ⅱ）设M（x,y）,P(x,1y),其中4,4.x由已知得222122.xyexy而34e，故2222116()9().xyxy①由点P在椭圆C上得，2211127,16xy代入①式并化简得29112,y所以点M的轨迹方程为47(44),3yx轨迹是两条平行于x轴的线段.67.(2009湖南卷理)（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和（Ⅰ）求点P的轨迹C；（Ⅱ）设过点F的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。解（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则224(3)dxy3︳x-2︳由题设当x>2时，由①得221(3)6,2xyx化简得221.3627xy当2x时由①得22(3)3,xyx化简得212yx故点P的轨迹C是椭圆221:13627xyC在直线x=2的右侧部分与抛物线22:12Cyx在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1（Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与1C，2C的交点都是A（2，26），B（2，26），直线AF，BF的斜率分别为AFk=26，BFk=26.当点P在1C上时，由②知162PFx.④当点P在2C上时，由③知3PFx⑤若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为(3)ykx（i）当k≤AFk，或k≥BFk，即k≤-26时，直线I与轨迹C的两个交点M（1x，1y），N（2x，2y）都在C1上，此时由④知∣MF∣=6-121x∣NF∣=6-122x从而∣MN∣=∣MF∣+∣NF∣=（6-121x）+（6-122x）=12-12(1x+2x)由22(3)13627ykxxy得2222(34)24361080kxkxk则1x，1y是这个方程的两根，所以1x+2x=222434kk*∣MN∣=12-12（1x+2x）=12-221234kk因为当226,6,24,kk或k2时22212121001212.134114kMNkk当且仅当26k时，等号成立。（2）当,2626AEANkkkk时，直线L与轨迹C的两个交点1122(,),(,)MxyNxy分别在12,CC上，不妨设点M在1C上，点2C上，则④⑤知，1216,32MFxNFx设直线AF与椭圆1C的另一交点为E00012(,),,2.xyxxx则1021166,33222MFxxEFNFxAF所以MNMFNFEFAFAE。而点A，E都在1C上，且26,AEk有（1）知100100,1111AEMN所以若直线的斜率不存在，则1x=2x=3，此时12110012()9211MNxx综上所述，线段MN长度的最大值为10011.68.（2009福建卷文）（本小题满分14分）已知直线220xy经过椭圆2222:1(0)xyCabab的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S和椭圆C上位于x轴上方的动点，直线，,ASBS与直线10:3lx分别交于,MN两点。（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；（Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得TSB的面积为15？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由解方法一（I）由已知得，椭圆C的左顶点为(2,0),A上顶点为(0,1),2,1Dab故椭圆C的方程为2214xy（Ⅱ）直线AS的斜率k显然存在，且0k，故可设直线AS的方程为(2)ykx，从而1016(,)33kM由22(2)14ykxxy得2222(14)16164kxkxk0设11(,),Sxy则212164(2),14kxk得2122814kxk，从而12414kyk即222284(,),1414kkSkk又(2,0)B由1(2)4103yxkx得10313xyk101(,)33Nk故161||33kMNk又16116180,||233333kkkMNkk当且仅当16133kk，即14k时等号成立14k时，线段MN的长度取最小值83（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当MN取最小值时，14k此时BS的方程为644220,(,),||555xysBS要使椭圆C上存在点T，使得TSB的面积等于15，只须T到直线BS的距离等于24，所以T在平行于BS且与BS距离等于24的直线l上。设直线\':10lxy则由|2|2,42t解得32t或52t69.（2009年上海卷理）（本题满分16分）已知双曲线22:1,2xcy设过点(32,0)A的直线l的方向向量(1,)ekv（1）当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；（2）证明：当k>22时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为6。（1）解双曲线C的渐近线:20............22xmy分直线l的方程2320xy直线l与m的距离32612d（2）证明方法一设过原点且平行与l的直线:0bkxy则直线l与b的距离2321kdk当262kd时，又双曲线C的渐近线为20xy双曲线C的右支在直线b的右下方，双曲线C右支上的任意点到直线l的距离为6。故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为6。（2）方法二双曲线C的右支上存在点Q00(,)xy到直线l的距离为6，则00200326,(1)122,(2)kxykxy由（1）得2003261ykxkk，设t23261kk当22k，t23261kk0将00ykxt代入（2）得22200(12)42(1)0kxktxt（*）222,0,120,40,2(1)02ktkktt方程（*）不存在正根，即假设不成立故在双曲线C的右支上不存在Q，使之到直线l的距离为670.（2009上海卷文）（本题满分16分）已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F30，，一条渐近线m:x+20y,设过点A(32,0)的直线l的方向向量(1,)ekv。（1）求双曲线C的方程；（2）若过原点的直线//al，且a与l的距离为6，求K的值；（3）证明：当22k时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为6.（1）解设双曲线C的方程为222(0)xy32，解得2，双曲线C的方程为2212xy（2）解直线:320lkxyk，直线:0akxy由题意，得2|32|61kk，解得22k（3）证明方法一设过原点且平行于l的直线:0bkxy则直线l与b的距离232||,1kdk当22k时，6d又双曲线C的渐近线为x20y双曲线C的右支在直线b的右下方，双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于6。故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为6（3）方法二假设双曲线C右支上存在点00(,)Qxy到直线l的距离为6，则0022200|326(1)122(2)kxykkxy由（1）得2003261ykxkk设23261tkk，当22k时，232610tkk；22222132616031ktkkkk将00ykxt代入（2）得22200(12)42(1)0kxktxt2,02kt，22120,40,2(1)0kktt方程(*)不存在正根，即假设不成立，故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为671.（2009重庆卷理）（本小题满分12分）已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为433y，离心率32e，M是椭圆上的动点．（Ⅰ）若,CD的坐标分别是(0,3),(0,3)，求MCMD的最大值；（Ⅱ）如题图，点A的坐标为(1,0)，B是圆221xy上的点，N是点M在x轴上的射影，点Q满足条件：OQOMON，0QABA．求线段QB的中点P的轨迹方程；解（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为22221xyab（a＞b＞0）.设22cab，由准线方程433y得.由32e得32ca，解得a=2,c=3，从而b=1，椭圆方程为2214yx.又易知C，D两点是椭圆2214yx的焦点，所以,24MCMDa从而22()242MCMDMCMD，当且仅当MCMD，即点M的坐标为(1,0)时上式取等号，MCMD的最大值为4　.（II）如图（20）图，设M(,),(,)mmBBxyBxy(,)QQQxy.因为(,0),NNxOMONOQ，故2,,QNQMxxyy222(2)4yQQMxyxy①因为0,QABA(1)(1)(1)(1)0,QQNnQNQNxyxyxxyy所以1QNQNNQxxyyxx.②记P点的坐标为(,)PPxy，因为P是BQ的中点所以2,2PQPPQPxxxyyy由因为221NNxy，结合①，②得22221(()())4PPQNQNxyxxyy22221(2())4QNQnQNQNxxyyxxyy1(52(1))4QNxx34Px故动点P的估计方程为221()12xy72.（2009重庆卷文）（本小题满分12分）已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为55x，离心率5e．（Ⅰ）求该双曲线的方程；（Ⅱ）如题（20）图，点A的坐标为(5,0)，B是圆22(5)1xy上的点，点M在双曲线右支上，求MAMB的最小值，并求此时M点的坐标；解（Ⅰ）由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线的方程为22221(0,0)xyabab，设22cab，由准线方程为55x得255ac，由5e得5ca解得1,5ac从而2b，该双曲线的方程为2214yx.（Ⅱ）设点D的坐标为(5,0)，则点A、D为双曲线的焦点，||||22MAMDa所以||||2||||2||MAMBMBMDBD≥，B是圆22(5)1xy上的点，其圆心为(0,5)C，半径为1，故||||1101BDCD≥从而||||2||101MAMBBD≥≥当,MB在线段CD上时取等号，此时||||MAMB的最小值为101直线CD的方程为5yx，因点M在双曲线右支上，故0x由方程组22445xyyx解得5424542,33xy所以M点的坐标为5424542(,)33.2005—2008年高考题一、选择题1.(2008湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P变点第二次变轨进入仍以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c和22c分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a和22a分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122acac;②1122acac;③1212caac;④11ca＜22ca.其中正确式子的序号是（）A.①③　　　　　　　B.②③　　　　C.①④　　　　D.②④答案B2.（2008江西理7）已知1F、2F是椭圆的两个焦点，满足120MFMF的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A．(0,1)B．1(0,]2C．2(0,)2D．2[,1)2答案C3.（2008全国Ⅱ理9）设1a，则双曲线22221(1)xyaa的离心率e的取值范围是（）A．(22)，B．(25)，C．(25)，D．(25)，答案B4.（2008海南理11）已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A.（41，－1）B.（41，1）C.（1，2）D.（1，－2）答案A5.（2008辽宁理10）已知点P是抛物线22yx上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A．172B．3C．5D．92答案A6.（2008天津文7）设椭圆22221xymn（0m，0n）的右焦点与抛物线28yx的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为()A.2211216xyB.2211612xy　C.2214864xyD.2216448xy答案B7.（2007重庆文）已知以F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线043yx有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（）A.23B.62C.72D.24答案C8.（2007浙江文）已知双曲线22221xyab　(0,0)ab的左、右焦点分别为F1、F2，P是准线上一点，且PF1⊥PF2，|PF1||PF2|＝4ab，则双曲线的离心率是（）A.2B.3C.2D.3答案B9.（2007天津文）设双曲线22221(00)xyabab，的离心率为3，且它的一条准线与抛物线24yx的准线重合，则此双曲线的方程为（　　）Ａ．2211224xyＢ．2214896xyＣ．222133xyＤ．22136xy答案D10.(2006上海春季15)若Rk，则“3k”是“方程13322kykx表示双曲线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A11.(2005年上海理15)过抛物线xy42的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在答案B解析xy42的焦点是(1，0)，设直线方程为0)1(kxky(1)，将(1)代入抛物线方程可得0)42(2222kxkxk，x显然有两个实根，且都大于0，它们的横坐标之和是33243542222kkkk，选B.二、填空题12.（2008湖南理12）已知椭圆22221xyab（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为l,离心率e=5.5过顶点A(0,b)作AMl,垂足为M，则直线FM的斜率等于.答案1213.（2008江苏12）在平面直角坐标系中，椭圆2222xyab1(ab0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径的圆，过点2,0ac作圆的两切线互相垂直，则离心率e=答案2214.（2008全国Ⅰ理15）在ABC△中，ABBC，7cos18B．若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e．答案3815.（2008浙江理12）已知21FF、为椭圆192522yx的两个焦点，过1F的直线交椭圆于A、B两点.若1222BFAF，则AB=______________.答案816.(2008上海春季7)已知P是双曲线22219xya右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30xy.设12FF、分别为双曲线的左、右焦点.若23PF，则1PF.答案517.（2007山东理）设O是坐标原点，F是抛物线22(0)ypxp的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60，则OA为．答案p22118.(2007上海春季6)在平面直角坐标系xOy中，若抛物线xy42上的点P到该抛物线的焦点的距离为6，则点P的横坐标x.答案519.(2006上海理7)已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是.答案141622y20.（2005江西理）以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为非零常数，||||PAPBk，则动点P的轨迹为双曲线；②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若1(),2OPOAOB则动点P的轨迹为椭圆；③方程02522xx的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222yxyx与椭圆有相同的焦点.其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）答案③④三、解答题21.（2008全国Ⅰ理21）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1、l2于AB，两点．已知OAABOB、、成等差数列，且BF与FA同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．解：（Ⅰ）设OAmd，ABm，OBmd由勾股定理可得：222()()mdmmd得：14dm，tanbAOFa，4tantan23ABAOBAOFOA由倍角公式22431baba，解得12ba,则离心率52e．（Ⅱ）过F直线方程为()ayxcb,与双曲线方程22221xyab联立将2ab，5cb代入，化简有2215852104xxbb222121212411()4aaxxxxxxbb将数值代入，有2232528454155bb,解得3b故所求的双曲线方程为221369xy。第二部分四年联考汇编2010年联考题题组二（5月份更新）1.（马鞍山学业水平测试）双曲线19422yx的渐近线方程是A．xy23B．xy32C．xy49D．xy94答案A2.（昆明一中二次月考理）已知是以为焦点的椭圆上的一点，若，，则此椭圆的的离心率为()A．B．C．D．答案：D3．（师大附中理）如图2，设在椭圆22+154xy中，1B和B是短轴端点，P是椭圆上不同于1,BB的任一点，直线1,PBPB分别交x轴于M，N，则||||OMONA．4B．4.5C．5D．5.5答案：C4.（马鞍山学业水平测试）椭圆1422yx的焦点坐标为A．)0,23(B．)23,0(C．)0,3(D．)3,0(答案C5.（马鞍山学业水平测试）过抛物线xy42的焦点的直线l交抛物线于),(11yxP、),(22yxQ两点，如果621xx，则||PQA．9　　　B．8　C．7　D．6答案B6.（马鞍山学业水平测试）已知动点P（x，y）满足2)2()2(2222yxyx,则动点P的轨迹是A.双曲线B.双曲线左支C.双曲线右支D.一条射线答案CDxyOCAB7.（昆明一中三次月考理）若抛物线2y2px(p0)的焦点与椭圆22xy195的左焦点重合,则p的值为A．－2B．2C．－4D．4答案：C8.（昆明一中三次月考理）设双曲线2222xy1(a0,b>0)ab的半焦距为c，直线l过A（a，0），B（0，b）两点，若原点O到l的距离为c43，则双曲线的离心率为A．2332或B．2C．3322或D．332答案：A9.（马鞍山学业水平测试）方程|643|)2()2(522yxyx表示的曲线为A.抛物线B.椭圆C.双曲线　D.圆答案A10.(安徽六校联考)简化北京奥动会主体育场“鸟巢”的钢结构俯视图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC、BD.设内层椭圆方程为22221xyab(0)ab，则外层椭圆方程可设为22221()()xymamb(0,1)abm.若AC与BD的斜率之积为916，则椭圆的离心率为()A.74B.22C.64D.34答案A11.（玉溪一中期中）从双曲线)0,0(12222babyax的左焦点F引圆222ayx的切线l，切点为T，且l交双曲线的右支于点P.若点M是线段FP的中点，O为坐标原点，则|OM|－|TM|=（）A．2abB．abC．2baD．2ba答案：B12．（池州市七校元旦调研）过双曲线22221(0,0)xyabab的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,BC．若12ABBC，则双曲线的离心率是()A2B．3C．5D．10答案C【解析】对于,0Aa，则直线方程为0xya，直线与两渐近线的交点为B，C，22,,(,)aabaabBCabababab，则有22222222(,),,ababababBCABabababab，因222,4,5ABBCabe．13.（岳野两校联考）双曲线12222byax的一条准线被它的两条渐近线所截得线段长度恰好为它的一个焦点到一条渐近线的距离，则该双曲线的离心率是（）A.3B.2C.3D.2答案B14.（岳野两校联考）如图，F为抛物线xy42的焦点，A、B、C在抛物线上，若0FAFBFC，则FAFBFC（）A.6B.4C.3D.2答案A15.（三明市三校联考）设椭圆22221xymn（0m，0n）的右焦点与抛物线28yx的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（）A.2211216xyB.2211612xy　C.2214864xyD.2216448xy答案B16.（祥云一中月考理）如果双曲线12222bxay的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．xy2B．xy2C．xyD．xy22答案：C17.（三明市三校联考）已知椭圆22221(0)xyabab的左焦点分别为12,FF，过1F作倾斜角为030的直线与椭圆的一个交点P，且2PFx轴，则此椭圆的离心率e为（）A．33B．32C．22D．23答案A18．（昆明一中四次月考理）已知1F、2F分别是双曲线221(0)xmym的左、右焦点P为双曲线左支上任意一点，若221||||PFPF的最小值为8，则双曲线的离心率的取值范围为（）（A）(1,3]（B）(0,3]（C）(1,2]（D）(1,)答案：A二、填空题1.（马鞍山学业水平测试）设抛物线型拱桥的顶点距水面2米,测量水面宽度为8米.当水面上升1米后,水面宽度为米.答案242.（昆明一中一次月考理）设F为抛物线214yx的焦点，与抛物线相切于点(4,4)P--的直线l与x轴的交点为Q，PQF__.答案：90°3.（玉溪一中期中）点P(3，1)在椭圆)0(12222babyax的右准线上，过P点且方向向量为)5,2(a的光线经直线y=－2反射后通过椭圆的右焦点，则这个椭圆的离心率为.答案：334.与双曲线221916xy有共同的渐近线，且过点(3,23)的双曲线的方程为.答案149422yx5．（昆明一中四次月考理）抛物线24yx上的点M到焦点F的距离为4，则点M的横坐标是.答案：36．（昆明一中四次月考理）若球O的表面积为16，边长为2的正三角形ABC的三个顶点在球O的表面上，则球心O到平面ABC的距离为.答案：3627．（安庆市四校元旦联考）若椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别为21,FF，线段21FF被抛物线bxy22的焦点F分成5：3的两段，则此椭圆的离心率为答案5528．（玉溪一中期中文）双曲线)0,0(12222babyax的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是。答案：(1,21]9.（祥云一中月考理）两个正数a、b的等差中项是92，一个等比中项是25，且,ba则双曲线12222byax的离心率为。答案：541三、解答题1.（马鞍山学业水平测试）（本小题满分8分）设椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率23e，且过点)23,0(P,求这个椭圆的方程.解：∵椭圆的中心在原点,焦点在x轴上且过点)23,0(P∴23b………………………………………………………………………………3分又23e，∴43222222abaace，∴92a……………………………6分故这个椭圆方程是194922yx…………………………………………………8分2．（池州市七校元旦调研）已知，椭圆C过点A3(1,)2，两个焦点为（－1，0），（1，0）。（1）求椭圆C的方程；(2)E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。解：（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为2219114bb，解得23b，234b（舍去）2BANMF2F1yxo所以椭圆方程为22143xy。……………4分（Ⅱ）设直线AE方程为：3(1)2ykx，代入22143xy得2223(34)4(32)4()1202kxkkxk设(x,y)EEE,(x,y)FFF,因为点3(1,)2A在椭圆上，所以2234()122x34Fkk;32EEykxk又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以—K代K，可得2234()122x34Fkk;32EEykxk所以直线EF的斜率()212FEFEEFFEFEyykxxkKxxxx.3．（肥城市第二次联考）(本小题满分12分)如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆)0(1:2222babyaxC的离心率e＝32，左右两个焦分别为21FF、．过右焦点2F且与x轴垂直的直线与椭圆C相交M、N两点，且|MN|=1．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设椭圆C的左顶点为A,下顶点为B，动点P满足4PAABm，（mR）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆C上.解：(Ⅰ)∵2MFx轴，∴21||2MF,由椭圆的定义得：11||22MFa，------1分∵2211||(2)4MFc，∴2211(2)424ac，-----------------------------------3分又32e得2234ca∴22423,aaa0a2a∴2222114baca，-------------------------------4分∴所求椭圆C的方程为2214xy．-----------------------------------5分(Ⅱ)由（Ⅰ）知点A(－2,0)，点B为（0，－1），设点P的坐标为(,)xy则(2,)PAxy，(2,1)AB,由PAABm－4得－424xym，∴点P的轨迹方程为2yxm------------------------------------7分设点B关于P的轨迹的对称点为00\'(,)Bxy，则由轴对称的性质可得：0000111,2222yyxmx，解得：004423,55mmxy，------------------------------9分∵点00\'(,)Bxy在椭圆上，∴224423()4()455mm，整理得2230mm解得1m或32m∴点P的轨迹方程为21yx或322yx，-------------------------------------------11分经检验21yx和322yx都符合题设，∴满足条件的点P的轨迹方程为21yx或322yx．----------------12分MyXQOP4.（马鞍山学业水平测试）（本小题满分10分）已知椭圆C：)0(12222babyax的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F，且向量AB与OM共线．(Ⅰ)求椭圆的离心率e；(Ⅱ)若4x是椭圆C的一条准线，求椭圆C的方程.解：(Ⅰ)∵abycxcFMM21,),0,(则，∴acbkOM2．……………………………2分∵ABOMabkAB与,是共线向量，∴abacb2，∴b=c,故22e．……………4分(Ⅱ)由accb22，又2,22224422baacacax，…………………………8分所以椭圆C的方程为14822yx…………………………………………………………10分5.（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）如图，设抛物线21:4(0)Cymxm的准线与x轴交于1F，焦点为2F；以12,FF为焦点，离心率12e的椭圆2C与抛物线1C在x轴上方的交点为P，延长2PF交抛物线于点Q，M是抛物线1C上一动点，且M在P与Q之间运动.（1）当1m时，求椭圆2C的方程；（2）当12PFF的边长恰好是三个连续的自然数时，求MPQ面积的最大值．解：（1）当1m时，24yx，则12(1,0),(1,0)FF设椭圆方程为22221(0xyabab），则1,c又12cea，所以22,3ab所以椭圆C2方程为22143xy…………4（2）因为cm，12cea，则2am，223bm，设椭圆方程为2222143xymm由222221434xymmymx，得22316120xmxm…………6即(6)(32)0xmxm，得23Pmx代入抛物线方程得263pym，即226(,)33mmP212557,24333pmmmPFxmPFaPFm,12623mFFm，因为12PFF的边长恰好是三个连续的自然数，所以3m…………8此时抛物线方程为212yx，(2,26)P，直线PQ方程为：26(3)yx.联立226(3)12yxyx，得2213180xx，即(2)(29)0xx，所以92Qx，代入抛物线方程得36Qy，即9(,36)2QPQCBAxyO∴22925(2)(2636)22PQ.设2(,)12tMt到直线PQ的距离为d，)62,63(t则2266666675()3022241ttdt…………10当62t时，max675563024d，即MPQ面积的最大值为12556125622416.…………126.（玉溪一中期中）（本小题12分）已知A,B,C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆的中心O，且ACBC0，|BC|2|AC|，（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如果椭圆上的两点P,Q使PCQ的平分线垂直于OA，是否总存在实数λ，使得PQλAB？请说明理由；.解：（1）以O为原点，OA所在直线为x轴建立　平面直角坐标系，则A(2,0)，　设椭圆方程为222xy14b，不妨设C在x轴上方，　由椭圆的对称性，|BC|2|AC|2|OC||AC||OC|，　又ACBC0ACOC，即ΔOCA为等腰直角三角形，　由A(2,0)得：C(1,1)，代入椭圆方程得24b3，　即，椭圆方程为22x3y144；（2）假设总存在实数λ，使得PQλAB，即AB//PQ，由C(1,1)得B(1,1)，则AB0(1)1k2(1)3，　若设CP：yk(x1)1，则CQ：yk(x1)1，　由22222x3y1(13k)x6k(k1)x3k6k1044yk(x1)1，　由C(1,1)得x1是方程222(13k)x6k(k1)x3k6k10的一个根，　由韦达定理得：2PP23k6k1xx113k，以k代k得2Q23k6k1x13k，　故PQPQPQPQPQyyk(xx)2k1kxxxx3，故AB//PQ，　即总存在实数λ，使得PQλAB.题组一（1月份更新）一、选择题1、（2009东莞一模）设p是椭圆2212516xy上的点．若12FF，是椭圆的两个焦点，则12PFPF等于（）A．4B5C．8D．10答案D2、（2009滨州一模）已知点(3,0)M，(3,0)N，(1,0)B，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为A．221(1)8yxxB．221(1)8yxxC．01822xyxD．221(1)10yxx答案A3、（2009茂名一模）已知12,FF是椭圆的两个焦点，过1F且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若2ABF是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（）A、32B、22C、21D、2答案C4、（2009临沂一模）已知双曲线的两个焦点F1(10,0),F2(10,0),M是此双曲线上的一点，且12120,||||2,MFMFMFMF则该双曲线的方程是A、2219xyB、2219yxC、22137xyD、22173xy答案A5、（2009汕头一模）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为（　）A、x2－y2＝2　　B、x2－y2＝2　　C、x2－y2＝1　　D、x2－y2＝12答案A6、（2009泰安一模）已知曲线C:y=2x2，点A(0,-2)及点B（3，a），从点A观察点B，要使实现不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是A．(4,+)B.(，4)C.(10,)D.(,10)答案D7、（2009韶关一模）圆074422yxyx上的动点P到直线0yx的最小距离为A．1B．122C．2D．22答案B8、（2009潍坊一模）抛物线212yx的准线与双曲线等22193xy的两条渐近线所围成的三角形面积等于(A)33(B)23(C)2(D)3答案A9、（2009深圳一模）设平面区域D是由双曲线1422xy的两条渐近线和椭圆1222yx的右准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点Dyx),(，则目标函数yxz的最大值为A．1B．2C．3D．6答案C10、（2009湛江一模）过点A(3,0)的直线l与曲线1)1(22yx有公共点，则直线l斜率的取值范围为A．(3,3)B．[3,3]C．(33,33)D．[33,33]答案D二、填空题1、（2009临沂一模）已知A、B是抛物线2x4y上的两点，线段AB的中点为M（2,2），则|AB|等于答案422、（2009上海十四校联考）以原点为顶点，x轴为对称轴且焦点在0342yx上的抛物线方程是答案xy62。3、（2009日照一模）抛物线24yx的焦点坐标是_______________。答案1(0,)164、（2009冠龙高级中学3月月考）以椭圆1522yx中心为顶点，右顶点为焦点的抛物线的标准方程为_____________。答案xy425、（2009上海普陀区）设联结双曲线22221xyab与22221yxba（0a，0b）的4个顶点的四边形面积为1S，联结其4个焦点的四边形面积为2S，则12SS的最大值为.答案126、（2009泰安一模）P为双曲线22115yx右支上一点，M、N分别是圆2222(4)4(4)1xyxy和上的点，则|PM|-|PN|的最大值为答案57、（2009闵行三中模拟）已知A为双曲线17922yx的右顶点，F是双曲线的右焦点，则|AF|=_______。答案18、（2009枣庄一模）设椭圆)0,0(12222nmnymx的右焦点与抛物线xy82的焦点相同，离心率为21，则此椭圆的标准方程为。答案1121622yx9、（2009上海青浦区）已知)(yxP，是椭圆191622yx上的一个动点，则yx的最大值是答案5三、解答题1、（2009滨州一模）已知方向向量为(1,3)v的直线l过点(0,23)和椭圆2222:1(0)xyCabab的右焦点，且椭圆的离心率为63．（I）求椭圆C的方程；（II）若已知点(3,0)D，点,MN是椭圆C上不重合的两点，且DMDN，求实数的取值范围．（1）∵直线l的方向向量为(1,3)v∴直线l的斜率为3k，又∵直线l过点(0,23)∴直线l的方程为233yx∵ab，∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点∴椭圆的焦点为(2,0)∴2c，又∵63cea∴6a，∴2222bac∴椭圆方程为22162xy（2）设直线MN的方程为3,xay由221623xyxmy，得22(3)630mymy设,MN坐标分别为1122(,),(,)xyxy则1226,3myym(1)12233yym(2)2223612(3)2436mmm＞0∴232m,∵1122(3,),(3,),DMxyDNxyDMDN，显然0，且1∴11223,(3,)xyxy∴12yy代入(1)(2)，得2221123621033mmm∵232m,得1210，即222101010解得526526且1.2、（2009广州一模）已知动圆C过点A(－2，0)，且与圆M：(x－2)2+x2=64相内切(1)求动圆C的圆心的轨迹方程；(2)设直线l:y=kx+m(其中k，m∈Z)与(1)所求轨迹交于不同两点B，D，与双曲线22xy1412交于不同两点E，F，问是否存在直线l，使得向量DFBE0，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.(本题主要考查圆、椭圆、直线等基础知识和数学探究，考查数形结合、类与整的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)解：（1）圆M：(x－2)2+x2=64，圆心M的坐标为(2，0)，半径R=8.∵|AM|=4|AM|，……3分∴圆心CD的轨迹是中心在原点，以A，M两点为焦点，长轴长为8的椭圆，设其方程为2222xy1ab(a>b>0)，则a=4，c=2，∴b2=a2－c2=12，∴所求动圆C的圆心的轨迹方程为22xy11612.……5分(2)由22y=kx+mxy+=11612消去y化简整理得：(3+4k2)x2+8kmx+4m2－48=0，设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1+x2=28km3+4k.△1=(8km)2－4(3+4k2)(4m2－48)>0.①……7分由22y=kx+mxy=1412消去y化简整理得：(3－k2)x2－2kmx－m2－12=0，设E(x3，y3)，F(x4，y4)，则x3+x4=22km3k.△2=(－2km)2+4(3－4k2)(m2+12)>0.②……9分∵DFBE0，∴(x4－x2)+(x3－x1)=0，即x1+x2=x3+x4，∴228km2km3+4k3k，∴2km=0或22413+4k3k，解得k=0或m=0，……11分当k=0时，由①、②得23b>0）的左、右焦点，点P(2,1)在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足20PMFM。（1）求椭圆C的方程。（2）椭圆C上任一动点M00(,)xy关于直线y=2x的对称点为M1（x1,y1）,求3x1-4y1的取值范围解：（1）由已知，点P(2,1)在椭圆上∴有22211ab①┉┉┉┉┉┉┉┉1分又20PMFM，M在y轴上，∴M为P、F2的中点，┉┉┉┉┉┉┉┉2分∴20,2cc.┉┉┉┉┉┉┉┉3分∴由222ab，②┉┉┉┉┉┉┉┉4分解①②,解得22b（21b舍去），∴24axyOPAB1F2F图6故所求椭圆C的方程为22142xy。┉┉┉┉┉┉┉┉6分（2）∵点00(,)Mxy关于直线2yx的对称点为111(,)Mxy，∴0101010121,2.22yyxxyyxx┉┉┉┉┉┉┉┉8分解得001001435345yxxyxy┉┉┉┉┉┉┉┉10分∴110345.xyx┉┉┉┉┉┉┉┉11分∵点P00(,)xy在椭圆C:22142xy上，∴022,x∴010510x。即1134xy的取值范围为［－10，10］。┉┉┉┉┉┉┉┉12分6、（2009江门一模）如图6，抛物线C：1312xy与坐标轴的交点分别为P、1F、2F.⑴求以1F、2F为焦点且过点P的椭圆方程；⑵经过坐标原点O的直线l与抛物线相交于A、B两点，若2AOOB，求直线l的方程．⑴由1312xy解得)1,0(P、)0,3(1F、)0,3(2F----------3分所以1b，3c，从而2a----------5分，椭圆的方程为1422yx----------6分⑵依题意设l：kxy----------7分，由1312xykxy得01312kxx----------8分依题意得BABABAxxxxkxxk3330)3(14)3(2----------11分，解得32k----------13分所以，直线l的方程是xy32或xy32----------14分7、（2009青岛一模）已知CBA,,均在椭圆)1(1:222ayaxM上，直线AB、AC分别过椭圆的左右焦点1F、2F，当120ACFF时，有21219AFAFAF.(Ⅰ)求椭圆M的方程;(Ⅱ)设P是椭圆M上的任一点，EF为圆12:22yxN的任一条直径，求PFPE的最大值.解:(Ⅰ)因为120ACFF，所以有12ACFF所以12AFF为直角三角形；1122cosAFFAFAF…………………………2分则有22212121221199cos9AFAFAFAFFAFAFAFAF所以，123AFAF…………………………3分又aAFAF221，123,22aaAFAF………………………4分在12AFF中有2221212AFAFFF即)1(4223222aaa，解得22a所求椭圆M方程为1222yx…………………………6分(Ⅱ)NPNFNPNEPFPE1222NPNFNPNPNFNPNF从而将求PFPE的最大值转化为求2NP的最大值…………………………8分P是椭圆M上的任一点，设00,yxP，则有122020yx即202022yx又2,0N，所以10222020202yyxNP………………………10分而1,10y,所以当10y时，2NP取最大值9故PFPE的最大值为8…………………………12分8、（2009日照一模）已知离心率为45的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为234。（I）求椭圆及双曲线的方程；（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，在第二象限内取双曲线上一点P，连结BP交椭圆于点M，连结PA并延长交椭圆于点N，若BMMP。求四边形ANBM的面积。解：（I）设椭圆方程为22221(0)xyabab则根据题意，双曲线的方程为22221xyab且满足22224,52234,abaab解方程组得22259ab……………………4分椭圆的方程为221259xy，双曲线的方程221259xy………………6分（Ⅱ）由（I）得(5,0),(5,0),||10,ABAB设(,),ooMxy则由BMMP得M为BP的中点，所以P点坐标为(25,2)ooxy，将MP、坐标代入椭圆和双曲线方程，得222201,259(25)41259oooxyxy消去oy，得225250ooxx解之得52ox或5ox（舍）所以332oy，由此可得533(,),22M所以(10,33).P…………………………10分当P为(10,33)时，直线PA的方程是33(5)105yx即33:(5)5yx，代入221259xy，得2215250xx所以52x或-5（舍）……………………………12分所以5,,2NNMxxxMNx轴。所以331221015322AMBNAMBSS……………………14分9、（2009潍坊一模）已知双曲线2222xy的左、右两个焦点为1F,2F，动点P满足|P1F|+|P2F|=4.(I)求动点P的轨迹E的方程；(1I)设过2F且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹E于A、B两点，问：终段O2F上是否存在一点D，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形?作出判断并证明.解：（Ⅰ）双曲线的方程可化为22121,||232xyFF则…………1分1212||||4||23PFPFFF,∴P点的轨迹E是以1FF、为焦点，长轴为4的椭圆…………2分设E的方程为2222222xy1(0),2a4,223a2,3,1x14ababccby由得故所求方程为…………4分（Ⅱ）满足条件的D…………5分设满足条件的点D（m,0）,则03m设l的方程为y=k(x-3)(k≠0),代人椭圆方程，得2222(14)831240kxkxk…………6分211221221212283,,,,1423(23)14kAxyBxyxxkkyykxxk设（）（）则∵以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，()DADBAB⊥…………6分11221212222(,)(,)(2,)8323(2,),k1414330,3,034DADBxmyxmyxxmyykkmABkkmm2的方向向量为（1，）\'k∴存在满足条件点D…………12分10、（2009枣庄一模）已知ABC的顶点A、B在椭圆.//,2:,4322lABxylCyx且上在直线点上（1）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及ABC的面积；（2）当90ABC，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程。解：（1）因为,//lAB且AB通过原点（0，0），所以AB所在直线的方程为.xy由xyyx4322得A、B两点坐标分别是A（1，1），B（-1，-1）。22)()(||221221yyxxAB2分又lhAB等于原点到直线边上的高的距离。.2||21,2hABShABC4分（2）设AB所在直线的方程为mxy由.04364432222mmxxmxyyx得因为A，B两点在椭圆上，所以,064122m即.334334m5分设A，B两点坐标分别为),(),,(2211yxyx，则,443,2322121mxxmxx且.,2211mxymxy6分221221221)(2)()(||xxyyxxAB2632)4349(2]4)[(222221221mmmxxxx8分又lmBC到直线的长等于点),0(的距离，即.2|2|||mBC10分.)1(11102||||||22222mmmBCABACACm,1时当边最长。（显然3341334）所以AB所在直线的方程为1xy12分11、（2009上海十四校联考）我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题（1）设F1、F2是椭圆1925:22yxM的两个焦点，点F1、F2到直线052:yxL的距离分别为d1、d2，试求d1·d2的值，并判断直线L与椭圆M的位置关系（2）设F1、F2是椭圆)0(1:2222babyaxM的两个焦点，点F1、F2到直线0:pnymxL（m、n不同时为0）的距离分别为d1、d2，且直线L与椭圆M相切，试求d1·d2的值（3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明（4）将（3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必证明）解：（1）93|524|3|524|21dd；………………2分联立方程01001050590521925222xxyyxyx可得消去；…………3分L所以直线,0100594)1050(2与椭圆M相交…………4分（2）联立方程组,012222pnymxbyax消去分其中因为椭圆焦点分即分可得10.||||||||;),0,(),0,(8.0)(4)()(4)2(6(*),0)(2)(222222222222222222212222122222222222222222222222222222222bnmcmnbmanmcmpnmpmcnmpmcddbaccFcFnbmappnbmanbanbpanbmampanbpampxaxnbmayn（3）设F1、F2是椭圆)0(1:2222babyaxM的两个焦点，点F1、F2到直线)0,(0:不同时为nmpnymxL的距离分别为d1、d2，且F1、F2在直线L的同侧那么直线L与椭圆相交的充要条件为：221bdd；直线L与椭圆M相切的充要条件为：221bdd；直线L与椭圆M相离的充要条件为：221bdd　……14分证明：由（2）得，直线L与椭圆M相交222220(*)nbmap中分相切与椭圆直线相离与椭圆直线同理可证16.:;22122122222222222222222221bddMLbddMLbnmcmnbmanmcmpnmpmcnmpmcdd命题得证（写出其他的充要条件仅得2分，未指出“F1、F2在直线L的同侧”得3分）（4）可以类比到双曲线：设F1、F2是双曲线1:2222byaxM的两个焦点，点F1、F2到直线)0,(0:不同时为nmpnymxL距离分别为d1、d2，且F1、F2在直线L的同侧。那么直线L与双曲线相交的充要条件为：221bdd；直线L与双曲线M相切的充要条件为：221bdd；直线L与双曲线M相离的充要条件为：221bdd……………20分（写出其他的充要条件仅得2分，未指出“F1、F2在直线L的同侧”得3分）12、（2009上海卢湾区4月模考）如图，已知点(3,0)H，动点P在y轴上，点Q在x轴上，其横坐标不小于零，点M在直线PQ上，且满足0HPPM，32PMMQ.（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；O3333yxPQMH（第20题）（2）过定点(1,0)F作互相垂直的直线l与l，l与（1）中的轨迹C交于A、B两点，l与（1）中的轨迹C交于D、E两点，求四边形ADBE面积S的最小值；（3）（在下列两题中，任选一题，写出计算过程，并求出结果，若同时选做两题，则只批阅第②小题，第①题的解答，不管正确与否，一律视为无效，不予批阅）：①（解答本题，最多得6分）将（1）中的曲线C推广为椭圆：2212xy，并将（2）中的定点取为焦点1,0F，求与（2）相类似的问题的解；②（解答本题，最多得9分）将（1）中的曲线C推广为椭圆：22221xyab，并将（2）中的定点取为原点，求与（2）相类似的问题的解.解：（1）设,,0,,MxyPb,0Qa(0)a≥，易知3,HPb，,PMxyb，,MQaxy，由题设32PMMQ，得3,23,2xaxyby其中0a≥，从而13ax，12by，且0x≥，又由已知0HPPM，得HPPM，当0b时，0y，此时3HPbk，得3PMkb，又PMPQkk，故3bab，23ba，即2111332xy，24yx0x，当0b时，点P为原点，HP为x轴，PM为y轴，点Q也为原点，从而点M也为原点，因此点M的轨迹C的方程为24yx，它表示以原点为顶点，以1,0为焦点的抛物线；（4分）（2）由题设，可设直线l的方程为10ykxk，直线l的方程为11yxk，0k，又设11,Axy、22,Bxy，则由214ykxyx，消去x，整理得2440kyyk，故2241kABk，同理241DEk，（7分）则222224111141823222kSABDEkkkk≥，当且仅当1k时等号成立，因此四边形ADBE面积S的最小值为32.（9分）（3）①当0k时可设直线l的方程为1ykx，由22112ykxxy，得2222124220kxkxk，故2222(1)12kABk，2222(1)2kDEk，（12分）222422222412216222925212225kkSkkkkkk≥，当且仅当21k时等号成立.（14分）当0k时，易知22AB，2DE，得1629S，故当且仅当21k时四边形ADBE面积S有最小值169.（15分）②由题设，可设直线l的方程为ykx，当0k时，由22221ykxxyab，消去x，整理得2222220bakxab，得222221abkABbak，同理222221abkDEbka，（12分）则2222222222112abkSABDEbakbka，其中20k，若令21uk，则由2222222222442222221bakbkaaucbucccvabuuuk222241124abcu，其中1u，即101u，故当且仅当2u，即21k时v有最大值2224ab，由222abSv，得S有最小值22224abab，故当且仅当1k时，四边形ADBE面积S有最小值为22224abab.（17分）又当0k时，2ABa，2DEb，此时2Sab，由222242ababab，得当且仅当1k时，四边形ADBE面积S有最小值为22224abab.（18分）13、（2009上海八校联考）已知双曲线12222byax的渐近线方程为33yx，左焦点为F，过(,0),(0,)AaBb的直线为l，原点到直线l的距离是.23（1）求双曲线的方程；（2）已知直线yxm交双曲线于不同的两点C，D，问是否存在实数m，使得以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F。若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由解：（1）∵3,3ba　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分原点到直线AB：1byax的距离，223.2ababdcab　　４分1,3.ba故所求双曲线方程为22xy13.　　　　　　　　6分（2）把22yxmx3y3代入中消去y，整理得222x6mx3m30.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分设1122CxyDxy(,),(,)，则21212333,,2mxxmxxF20(,),因为以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F，所以FCFD0，　　　10分可得1212x2x2yy0()()把1111yxmyxm,代入，解得：m32　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　13分解0，得22m，m32满足0，m3214分14、（2009上海奉贤区模拟考）已知：点P与点F（2，0）的距离比它到直线x＋4＝0的距离小2，若记点P的轨迹为曲线C。（1）求曲线C的方程。（2）若直线L与曲线C相交于A、B两点，且OA⊥OB。求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标。（3）试利用所学圆锥曲线知识参照（2）设计一个与直线L过定点有关的数学问题，并解答所提问题。（1）解法（A）：点P与点F（2，0）的距离比它到直线x＋4＝0的距离小2，所以点P与点F（2，0）的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等。----(1分)由抛物线定义得：点P在以F为焦点直线x＋2＝0为准线的抛物线上，----(1分)抛物线方程为28yx。----(2分)解法（B）：设动点(,)Pxy，则22(2)|4|2xyx。当4x时，222(2)(6)xyx，化简得：28(2)yx，显然2x，而4x，此时曲线不存在。当4x时，222(2)(2)xyx，化简得：28yx。（2）1,12,2),)xyxy设直线L：y=kx+b与抛物线交予点((，()a若L斜率存在，设为k，，220,880,864320ykxbkkyybyxkb=则{，----(1分)222211121212222288,648yxyybbyyxxkkyx所以又{，得，1212,1yyOAOBxx由得，即81kb，8bk，----(2分)直线为(8)ykx，所以(8,0)L过定点----(1分)x(b)直线L与轴垂直，则直线OA（或直线OB）的斜率为1,28,(80)8yxxyx{得直线L过定点、----(1分)由（a）（b）得：直线恒过定点(8,0)。----(1分)1、（逆命题）如果直线(8,0)L过定点，且与抛物线28yx相交于A、B两点，O为坐标原点。求证：OA⊥OB（评分：提出问题得1分，解答正确得1分）（若，求证：·=0，得分相同）2、（简单推广命题）如果直线L与抛物线＝2px(p>0)相交于A、B两点，且OA⊥OB。求证直线L过定点（2p，0）或：它的逆命题（评分：提出问题得2分，解答正确得1分）3、（类比）3．1（1）如果直线L与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A、B两点，M是其右顶点，当MA⊥MB。求证：直线L过定点(,0)3．1（2）如果直线L与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A、B两点，M是其左顶点，当MA⊥MB。求证：直线L过定点(,0)3．1（3）或它的逆命题3．2（1）如果直线L与双曲线－＝1(a>0,b>0)相交于A、B两点，M是其右顶点，当MA⊥MB。求证：直线L过定点(,0)(a≠b)3．2（2）如果直线L与双曲线－＝1(a>0,b>0)相交于A、B两点，M是其左顶点，当MA⊥MB。求证：直线L过定点(,0)(a≠b)3．2（3）或它的逆命题（评分：提出问题得3分，解答正确得3分）4、（再推广）直角顶点在圆锥曲线上运动如：如果直线L与抛物线＝2px(p>0)相交于A、B两点，P是抛物线上一定点(,)，且PA⊥PB。求证：直线L过定点(＋2p,－)（评分：提出问题得4分，解答正确得3分）5、（再推广）如果直线L与抛物线＝2px(p>0)相交于A、B两点，P是抛物线上一定点(,)，PA与PB的斜率乘积是常数m。求证：直线L过定点(－,－)（评分：提出问题得5分，解答正确得4分）或·为常数顶点在圆锥曲线上运动并把直角改为一般定角或OA与OB的斜率乘积是常数或·为常数15、（2009冠龙高级中学3月月考）双曲线1:2222byaxC上一点)3,2(到左，右两焦点距离的差为2．（1）求双曲线的方程；（2）设21,FF是双曲线的左右焦点，P是双曲线上的点，若6||||21PFPF，求21FPF的面积；（3）过2,0作直线l交双曲线C于BA,两点，若OPOAOB，是否存在这样的直线l，使OAPB为矩形？若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由．（1）122yx（2）妨设P在第一象限，则2||,4||6||||2||||212121PFPFPFPFPFPF7,47sin,43cos121SPFFPFF（3）若直线斜率存在，设为)2(xky，代入122yx得)1(0144)1(2222kkxkxk若平行四边形OAPB为矩形，则OBOA02121yyxx01122kk无解若直线垂直x轴，则)3,2(),3,2(BA不满足．故不存在直线l，使OAPB为矩形．16、（2009上海十校联考）已知等轴双曲线C的两个焦点1F、2F在直线yx上，线段12FF的中点是坐标原点，且双曲线经过点33,2．（1）若已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线C的方程：①22274xy；②9xy；③92xy．请确定哪个是等轴双曲线C的方程，并求出此双曲线的实轴长；（2）现要在等轴双曲线C上选一处P建一座码头，向3,3A、9,1B两地转运货物．经测算，从P到A、从P到B修建公路的费用都是每单位长度a万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？（3）如图，函数313yxx的图像也是双曲线，请尝试研究此双曲线的性质，你能得到哪些结论？（本小题将按所得到的双曲线性质的数量和质量酌情给分）【解】（1）双曲线22274xy的焦点在x轴上，所以①不是双曲线C的方程……1分双曲线9xy不经过点33,2，所以②不是双曲线C的方程……2分所以③92xy是等轴双曲线C的方程……3分等轴双曲线92xy的焦点1F、2F在直线yx上，所以双曲线的顶点也在直线yx上，……4分联立方程92xyyx，解得双曲线92xy的两顶点坐标为3333,22，3333,22，所以双曲线92xy的实轴长为6……5分（2）所求问题即为：在双曲线92xy求一点P，使PAPB最小．首先，点P应该选择在等轴双曲线的92xy中第一象限的那一支上……6分等轴双曲线的92xy的长轴长为6，所以其焦距为62又因为双曲线的两个焦点1F、2F在直线yx上，线段12FF的中点是原点，所以3,3A是92xy的一个焦点，……7分设双曲线的另一个焦点为23,3F，由双曲线的定义知：26PAPF所以26PAPBPFPB，要求PAPB的最小值，只需求2PFPB的最小值……8分直线2BF的方程为3430xy，所以直线2BF与双曲线92xy在第一象限的交点为33,2……9分所以码头应在建点P33,2处，才能使修建两条公路的总费用最低……10分（3）①313133fxxxfxxx，此双曲线是中心对称图形，对称中心是原点00，；……1分②渐近线是33yx和0x．当0x时，当x无限增大时，1x无限趋近于0，313yxx与33yx无限趋近；当y无限增大时，x无限趋近于0．……2分③双曲线的对称轴是3yx和33yx．……3分④双曲线的顶点为44327,44，44327,44，实轴在直线3yx上，实轴长为4212……4分⑤虚轴在直线33yx，虚轴长为4423……5分⑥焦点坐标为444,123，444,123，焦距46423……6分说明：（i）若考生能把上述六条双曲线的性质都写出，建议此小题给满分8分（ii）若考生未能写全上述六条双曲线的性质，但是给出了313yxx的一些函数性质（诸如单调性、最值），那么这些函数性质部分最多给1分17、（2009上海九校联考）如图，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的焦点和上顶点分别为1F、2F、B，我们称12FBF为椭圆C的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比.（1）已知椭圆221:14xCy和222:1164xyC，判断2C与1C是否相似，如果相似则求出2C与1C的相似比，若不相似请说明理由；（2）已知直线:1lyx,与椭圆1C相似且半短轴长为b的椭圆bC的方程，在椭圆bC上是否存在两点M、N关于直线l对称，若存在，则求出函数fbMN的解析式.（3）根据与椭圆1C相似且半短轴长为b的椭圆bC的方程，提出你认为有价值的相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；解：解：（1）椭圆2C与1C相似.………2分因为2C的特征三角形是腰长为4，底边长为32的等腰三角形，而椭圆1C的特征三角形是腰长为2，底边长为3的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为2:1………6分（2）椭圆bC的方程为：)0(142222bbybx.………8分假定存在，则设M、N所在直线为yxt，MN中点为00,xy.则142222bybxtxy0)(485222btxtx.………10分所以5,5420210tytxxx.中点在直线1yx上，所以有35t.………12分2221240100()20(4)425395559bxxb.2124505()210()593fbMNxxbb.………14分（3）椭圆bC的方程为：)0(142222bbybx.两个相似椭圆之间的性质有：写出一个给2分①两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方；②分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似，相似比即为椭圆的相似比；③两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合；过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比.………20分2009年联考题一、选择题1.(广东省华南师范附属中学2009届高三上学期第三次综合测试)曲线241xy(x[-2，2])与直线(2)4ykx两个公共点时，实效k的取值范围是（）A．5(0,)12B．13(,)34C．5(,)12D．53(,]124答案D2.(广东省佛山市三水中学2009届高三上学期期中考试)若椭圆经过点P（2，3），且焦点为F1(－2,0),F2(2,0)，则这个椭圆的离心率等于（）A.B.C.D.答案C3.(湖北省武汉市第四十九中学2009届高三年级十月月考)图中共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为1234eeee﹑﹑﹑，其大小关系为（）A.1234eeeeB.2134eeeeC.1243eeeeD.2143eeee答案C5.(辽宁省大连市第二十四中学2009届高三高考模拟)已知双曲线12222byax（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2）B．（－1，2）C．（2，+∞）D．),2[答案D6.(重庆市大足中学2009年高考数学模拟试题)设双曲线)0,0(12222babyax的离心率为3，且它的一条准线与抛物线xy42的准线重合，则此双曲线的方程为（）A.1241222yxB.1964822yxC.132322yxD.16322yx答案D7.(2009年广东省广州市高三年级调研测试)已知抛物线C的方程为212xy，过点A(0，-1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是(　　)A.,11,B.,2222,C.,,2222D.,,22答案D8.(四川省成都市2009届高三入学摸底测试)设双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别是1F、2F，过点2F的直线交双曲线右支于不同的两点M、N．若△1MNF为正三角形，则该双曲线的离心率为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）A.6B.3C.2D.33答案B９.(江西省崇仁一中2009届高三第四次月考)从双曲线222210,0xyabab的左焦点F引圆222xya的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则MOMT与ba的大小关系为（）A、MOMTba　　B、MOMTbaC、MOMTba　　D、不确定答案　B10.(江西省崇仁一中2009届高三第四次月考)　已知圆的方程422yx，若抛物线过定点A（0，1）、B（0，-1）且以该圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是（）A．)0(14322yyxB．)0(13422yyxC．)0(14322xyxD．)0(13422xyx答案　D二、填空题11.(安徽省潜山县三环中学2009届高三上学期第三次联考)对于曲线C∶1422kykx=1，给出下面四个命题：①由线C不可能表示椭圆；②当1＜k＜4时，曲线C表示椭圆；③若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4;④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜25其中所有正确命题的序号为______.答案③④12.(福建省莆田第四中学2009届第二次月考)离心率35e，一条准线为x＝3的椭圆的标准方程是.答案2291520xy13.(四川省成都市2008—2009学年度上学期高三年级期末综合测试)P是双曲线1322yx的右支上一动点,F是双曲线的右焦点,已知A(3,1),则PFPA的最小值是.答案322614.（2009年郓城实验中学·理科)已知F1、F2是椭圆2222)10(ayax=1(5＜a＜10)的两个焦点，B是短轴的一个端点，则△F1BF2的面积的最大值是答案9310015.(2009年浙江省宁波市文)若抛物线)0(22ppxy的焦点与双曲线2213xy的左焦点重合,则p的值.答案416.(东北区三省四市2009年第一次联合考试)过抛物线xy42的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，则BFAF11＝　　　。答案1yxOAB三、解答题17.（2009届山东省实验中学高三年级第四次综合测试）直线y＝kx＋b与曲线04422yx交于A、B两点，记△AOB的面积为S（O是坐标原点）．（1）求曲线的离心率；（2）求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；（3）当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．解（1）曲线的方程可化为：1422yx，∴此曲线为椭圆，3,314,2,422ccaa，∴此椭圆的离心率23ace．（2）设点A的坐标为1(,)xb，点B的坐标为2(,)xb，由2214xy，解得21,221xb，所以222121||21112Sbxxbbbb当且仅当22b时，S取到最大值1．（3）由2214ykxbxy得222(41)8440kxkbxb，2216(41)kb　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①｜AB｜＝222212216(41)1||1241kbkxxkk②又因为O到AB的距离2||21||1bSdABk，所以221bk　③③代入②并整理，得424410kk解得，2213,22kb，代入①式检验，△＞0，故直线AB的方程是2622yx或2622yx或2622yx或2622yx．18.（2009年抚顺市普通高中应届毕业生高考模拟考试）设椭圆M：)0(12222babyax的离心率为22，点A（a，0），B（0，b），原点O到直线AB的距离为233．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设点C为（a，0），点P在椭圆M上（与A、C均不重合），点E在直线PC上，若直线PA的方程为4ykx，且0CPBE，试求直线BE的方程．解（Ⅰ）由22222222112cabbeaaa得2ab由点A（a，0），B（0，b）知直线AB的方程为1xyab，于是可得直线AB的方程为220xyb因此22|002|223331(2)bb，得2b，22b，24a，所以椭圆M的方程为22142xy（Ⅱ）由（Ⅰ）知A、B的坐标依次为（2，0）、(0,2)，因为直线PA经过点(2,0)A，所以024k，得2k，即得直线PA的方程为24yx因为0CPBE，所以1CPBEkk，即1BECPkk设P的坐标为00(,)xy，则2000200021222442CPyyykxxx得14CPk，即直线BE的斜率为4又点B的坐标为(0,2)，因此直线BE的方程为42yx19.（福建省龙岩市2009年普通高中毕业班单科质量检查）已知抛物线C:)0(22ppxy上横坐标为4的点到焦点的距离为5.（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设直线bkxy与抛物线C交于两点),(11yxA，),(22yxB，且ayy||21（0a，且a为常数）.过弦AB的中点M作平行于x轴的直线交抛物线于点D，连结AD、BD得到ABD.（1）求证：)1(1622kbka；（2）求证：ABD的面积为定值.解（1）依题意得：452p，解得2p.所以抛物线方程为24yx.（2）由方程组2,4,ykxbyx消去x得：2440kyyb.（※）依题意可知：0k.由已知得124yyk，124byyk.由12yya，得221212()4yyyya，即221616bakk，整理得221616kbak.所以2216(1)akkb.（Ⅲ）由（Ⅱ）知AB中点222(,)bkMkk，所以点212(,)Dkk，依题意知12211122ABDbkSDMyyak.又因为方程（※）中判别式16160kb，得10kb.所以2112ABDbkSak，由（Ⅱ）可知22116akbk，所以23121632ABDaaSa.又a为常数，故ABDS的面积为定值.2007—2008年联考题一、选择题1.(江苏省启东中学2008年高三综合测试四)设F1，F2是椭圆1649422yx的两个焦点，P是椭圆上的点，且3:4:21PFPF，则21FPF的面积为（）A．4B．6C．22D．24答案B2.(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知倾斜角0的直线l过椭圆12222byax)0(ba的右焦点Ｆ交椭圆于A、B两点，P为右准线上任意一点，则APB为（　）Ａ．钝角　　　　　Ｂ．直角　　　　Ｃ．锐角　　　　　Ｄ．都有可能答案C3.(江西省五校2008届高三开学联考)从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b2，4b2]，则这一椭圆离心率e的取值范围是（）A．]23,35[B．]22,33[C．]22,35[D．]23,33[答案A4.(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)以椭圆22221(0)xyabab的右焦点为圆心的圆经过原点，且被椭圆的右准线分成弧长为2:1的两段弧，那么该椭圆的离心率等于()A.23B.63C.49D.32答案B5.(北京市朝阳区2008年高三数学一模)已知双曲线22122:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1F、2F，抛物线2C的顶点在原点，它的准线与双曲线1C的左准线重合，若双曲线1C与抛物线2C的交点P满足212PFFF，则双曲线1C的离心率为（）A．B．C．D．2答案B6.(北京市十一学校2008届高三数学练习题)已知双曲线12222byax（a＞0，b＞0）的两个焦点为1F、2F，点A在双曲线第一象限的图象上，若△21FAF的面积为1，且21tan21FAF，2tan12FAF，则双曲线方程为()A．1312522yx　B．1351222yxC．1512322yxD．1125322yx答案B7.(北京市宣武区2008年高三综合练习一)已知P为抛物线221xy上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是)217,6(，则PMPA的最小值是（）A.8B.219C.10D.221答案B8.（2007岳阳市一中高三数学能力训练）已知对称轴为坐标轴的双曲线的两渐近线方程为y=±abx,(a,b>0),若双曲线上有一点M(x0,y0),使b|x0|b时在x轴上D．当a>b时在y轴上答案B9.（2007唐山二模）在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为x=-1,AM⊥l于M，|AM|=λ，|AO|=21+λ（λ≥0），则A的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆答案C10.（2007石家庄一模）已知F为双曲线22ax-22by=1（a,b>0）的右焦点，点P为双曲线右支上一点，以线段PF为直径的圆与圆x2+y2=a2的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.不确定答案B11.(2007湖北八校联考)P为双曲线22ax-22by=1（a,b>0）右支上一点，F1，F2分别是左右焦点，且焦距为2c，则△F1PF2的内切圆圆心的横坐标为（）A.aB.bC.,cD.a+b-c答案A12.（2007全国联考）如图，南北方向的公路l,A地在公路正东2km处，B地在A东偏北300方向23km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等。现要在曲线PQ上一处建一座码头，向A、B两地运货物，经测算，从M到A、到B修建费用都为a万元/km,那么，修建这条公路的总费用最低是（）万元A.(2+3)aB.2(3+1)aC.5aD.6a答案C13.(2007武汉4月调研)已知点P是椭圆C：14822yx上的动点，F1、F2分别是左右焦点O为坐标原点，则||||||||21OPPFPF的取值范围是（）A.[0,22]B.2,0C.22,21D.[0,2]答案D14.（2007黄冈模拟）设P(x,y)是曲线C:252x+92y=1上的点，F1(-4,0),F2(4,0),则|PF1|+|PF2|()A.小于10B.大于10C.不大于10D.不小于10答案C二、填空题15.(北京市东城区2008年高三综合练习二)已知椭圆12222byax的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一点，且∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，则椭圆的离心率e=.答案－116.(北京市海淀区2008年高三统一练习一)若双曲线19222yax0a的一条渐近线方程为023yx，则a=__________.17.(福建省南靖一中2008年第四次月考)过椭圆xyF22136251的焦点作直线交椭圆于A、B两点，F2是此椭圆的另一焦点，则ABF2的周长为.答案2418.(福建省泉州一中高2008届第一次模拟检测)若双曲线22ax－22by=1的渐近线与方程为3)2(22yx的圆相切，则此双曲线的离心率为．答案219.(福建省漳州一中2008年上期期末考试)双曲线221916xy的两个焦点为12FF、，点P在该双曲线上，若120PFPF，则点P到x轴的距离为.答案16520.(湖北省黄冈市2007年秋季高三年级期末考试)已知点P是抛物线24yx上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是（4，a），则当||a4时，||||PAPM的最小值是。答案291a21.（2007届高三名校试题）椭圆125922yx上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是.答案（－3，0）或（3，0）22.（2007届高三名校试题）A的坐标是（－2，0），B是圆F：（2x）122y上的动点（F为圆心），线段AB的垂直平分线交直线BF于P，则动点P的轨迹方程为。答案14154122yx23.（2007北京四中模拟二）椭圆198log22yxa的离心率为21，则a＝________答案916三、解答题24.(河南省开封市2008届高三年级第一次质量检)双曲线)0,0(12222babyax的左、右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点，点A在双曲线的右支上，点B在双曲线左准线上，.,22OBOAOAOFABOF（1）求双曲线的离心率e；（2）若此双曲线过C（2，3），求双曲线的方程；（3）在（2）的条件下，D1、D2分别是双曲线的虚轴端点（D2在y轴正半轴上），过D1的直线l交双曲线M、N，lNDMD求直线,22的方程。解（1）,2ABOF四边形F2ABO是平行四边形0,0)(22BFOAOBOFOA即,2BFOA∴四边形F2ABO是菱形.∴.||||||22cOFAFAB由双曲线定义得||||,2||11ABAFecaAF,122ecca,022ee)1(2舍去ee（2）,2ace223,2abac，双曲线方程为,132222ayax把点C)3,2(代入有,3.1334222aaa∴双曲线方程.19323yx（3）D1（0，－3），D2（0，3），设l的方程为),(),,(,32211yxNyxMkxy则由0186)3(19332222kxxkyxkxy因l与与双曲线有两个交点，.3k221221318,36kxxkkxx99)(3,3186)(212122122121xxkxxkyykxxkyy,),3,(),3,(22222112NDMDyxNDyxMD09)(3112121yyyyxx,5.0931839318222kkk即.5k故所求直线l方程为3535xyxy或.25.(湖北省八校高2008第二次联考)已知A,B是抛物线220xpyp上的两个动点，O为坐标原点，非零向量,OAOB满足OAOBOAOB．（Ⅰ）求证：直线AB经过一定点；（Ⅱ）当AB的中点到直线20yx的距离的最小值为255时，求p的值．（1）证明OAOBOAOB,OAOB.设A,B两点的坐标为（11,xy），（22,xy）则2211222,2xpyxpy.经过A，B两点的直线方程为211211()()()().xxyyyyxx由221212,22xxyypp，得22212111()()()().22xxxxyyxxpp211211()2xxxxyyxxp.令0x，得2111()2xxyyxp,122xxyp.12120,OAOBxxyy从而221212204xxxxp.120xx(否则,,OAOB有一个为零向量),2124xxp.代入①，得2yp，AB始终经过定点0,2p.（2）解设AB中点的坐标为(,xy)，则12122,2,xxxyyy22121212222()xxpypypyy.又2222212121212()2()8xxxxxxxxp,22484xppy，即212yxpp①AB的中点到直线20yx的距离25yxd.将①代入，得22211122()()555xpxxppxpppppd.因为d的最小值为2525,,2555pp.26.(江苏省启东中学高三综合测试四)已知以向量v=(1,21)为方向向量的直线l过点(0,45)，抛物线C：pxy22(p>0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线上．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若02pOBOA(O为原点，A、B异于原点)，试求点N的轨迹方程．解（Ⅰ）由题意可得直线l：4521xy①过原点垂直于l的直线方程为xy2②解①②得21x．∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．∴2212p，2p∴抛物线C的方程为xy42．（Ⅱ）设),(11yxA，),(22yxB，),(yxN，由02pOBOA，得042121yyxx．又1214xy，2224xy．解得821yy③直线ON：xxyy22，即xyy24④由③、④及1yy得，点N的轨迹方程为2x)0(y．27.(2007湖南示范)如图，已知抛物线的方程为)0(22为常数ppyx，过点M（0，m）且倾斜角为)20(的直线交抛物线于A（x1,y1），B（x2,y2）两点，且221pxx（1）求m的值（2）（文）若点M分AB所成的比为21，求直线AB的方程（理）若点M分AB所成的比为，求关于的函数关系式。AyxMOB解⑴设AB方程为y=kx+m代入x2=2py得0222pmpkxx①由221pxx得，-2pm=-p2∴2m=p，即2pm⑵（文）设tAMAA||||1，则tBMBB2||||1∴42)2(2tan22ttttt故AB方程为242pxy（理）pxpxpypyBBAAMBAM212111tantan22||||由①得sectan1ppxsectan2ppxpppppp)sectan(tan)sectan(tansin1sin1tansectansec。