2013年天津高考(文科)数学试题试卷word版+答案解析

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2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页.第Ⅰ卷参考公式:如果事件A,B互斥,那么)()()(BPAPAPB·棱柱的体积公式V=Sh，其中S表示棱柱的底面面积,h表示棱柱的高.·如果事件A,B相互独立,那么)()(()BPAAPPB·球的体积公式34.3VR其中R表示球的半径.一．选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合A={x∈R||x|≤2},B={x∈R|x≤1},则AB(A)(,2](B)[1,2](C)[－2,2](D)[－2,1](2)设变量x,y满足约束条件360,20,30,xyyxy则目标函数z=y－2x的最小值为(A)－7(B)－4(C)1(D)2(3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出n的值为(A)7(B)6(C)5(D)4(4)设,abR,则“2()0aba”是“ab”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(5)已知过点P(2,2)的直线与圆225(1)xy相切,且与直线10axy垂直,则a(A)12(B)1(C)2(D)12(6)函数()sin24fxx在区间0,2上的最小值是(A)1(B)22(C)22(D)0(7)已知函数()fx是定义在R上的偶函数,且在区间[0,)上单调递增.若实数a满足212(log)(log)2(1)faffa,则a的取值范围是(A)[1,2](B)10,2(C)1,22(D)(0,2](8)设函数22,()ln)3(xxgxxxxfe.若实数a,b满足()0,()0fagb,则(A)()0()gafb(B)()0()fbga(C)0()()gafb(D)()()0fbga2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文科数学第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分.二．填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.(9)i是虚数单位.复数(3+i)(1－2i)=.(10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为92,则正方体的棱长为.(11)已知抛物线28yx的准线过双曲线22221(0,0)xyabab的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为.(12)在平行四边形ABCD中,AD=1,60BAD,E为CD的中点.若·1ACBE,则AB的长为.(13)如图,在圆内接梯形ABCD中,AB//DC,过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB=AD=5,BE=4,则弦BD的长为.(14)设a+b=2,b>0,则1||2||aab的最小值为.三．解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(15)(本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.若S≤4,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下:产品编号A1A2A3A4A5质量指标(x,y,z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)产品编号A6A7A8A9A10质量指标(x,y,z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(Ⅰ)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;(Ⅱ)在该样品的一等品中,随机抽取2件产品,(⒈)用产品编号列出所有可能的结果;(⒉)设事件B为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4”,求事件B发生的概率.(16)(本小题满分13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知sin3sinbAcB,a=3,2cos3B.(Ⅰ)求b的值;(Ⅱ)求sin23B的值.(17)(本小题满分13分)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等.D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点.(Ⅰ)证明EF//平面A1CD;(Ⅱ)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1;(Ⅲ)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.(18)(本小题满分13分)设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F,离心率为33,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设A,B分别为椭圆的左,右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若··8ACDBADCB,求k的值.(19)(本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{}na的前n项和为(*)nSnN,且234,2,4SSS成等差数列.(Ⅰ)求数列{}na的通项公式;(Ⅱ)证明13*)61(nnSnSN.(20)(本小题满分14分)设[2,0]a,已知函数332(5),03,0(,).2xfaxxaxxxxxa(Ⅰ)证明()fx在区间(－1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增;(Ⅱ)设曲线()yfx在点(,())(1,2,3)iiixfxiP处的切线相互平行,且1230,xxx证明12313xxx.2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基础运算。每小题5分。满分40分。（1）D（2）A（3）D（4）A（5）C（6）B（7）C（8）A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分30分。（9）5-5i（10）3（11）2213yx（12）12（13）152（14）34三、解答题（15）本小题主要考查样本估计总体的方法、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识。考查数据处理能力和运用概率知识解决简单问题的能力。满分13分。（I）解：计算10件产品的综合指标S，如下表:产品编号1A2A3A4A5A6A7A8A9A10AS4463454535其中S≤4的有1A，2A，4A，5A，7A，9A，共6件，故该样本的一等品率为610=0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.（II）（i）解：在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为1,2AA，1,4AA，1,5AA，1,7AA，1,9AA，24,AA，25,AA，27,AA，29,AA，45,AA，47,AA，49,AA，57,AA，59,AA，79,AA，共15种.（ii）解：在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为1A，2A，5A，7A，则事件B发生的所有可能结果为1,2AA，1,5AA，1,7AA，25,AA，27,AA，57,AA共6种。所以P(B)=62155.（16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角差的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查基本运算求解能力.满分13分。（I）解：在ABC中，由sinaA=sinbB，可得sinsinbAaB,又由sin3sinbAcB，可得a=3c，又a=3，故c=1.由2222cosbacacB，cosB=23，可得6.b（II）解：由cosB=23，得sinB=53，进而得cos2B=22cos1B=19，45sin22sincos9BBB.所以sin23B=sin2cos3Bcos2sin3B453.18（17）本小题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识。考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力。满分13分。（I）证明：如图，在三棱柱ABC111ABC中，AC∥11AC，且AC=11AC，连接ED，在ABC中，因为D,E分别为AB,BC的中点，所以DE=12AC且DE∥AC，又因为F为11AC的中点，可得1AFDE,且1AF∥DE，即四边形1ADEF为平行四边形，所以EF∥1.DA又EF平面1ACD,1DA平面1ACD，所以，EF∥平面1ACD。（II）证明：由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，故CD⊥AB，又由于侧棱1AA⊥底面ABC，CD平面ABC，所以1AA⊥CD，又1AAABA，因此CD⊥平面11AABB，而CD平面1ACD，所以平面1ACD⊥11AABB。（III）解：在平面11AABB内，过点B作BG⊥1AD交直线1AD于点G，连接CG.由于平面1ACD⊥平面11AABB，而直线1AD是平面1ACD与平面11AABB的交线，故BG⊥平面1ACD。由此得BCG为直线BC与平面1ACD所成的角。设棱长为a，可得1AD52a，由1AAD∽BGD，易得BG55a。在RtBGC中，sin55BGBCGBC.所以直线BC与平面1ACD所成角的正弦值为55。（18）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质。考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力。满分13分。（I）解：设F（,0c），由3,3ca知3ac.过点F且与x轴垂直的直线为xc，代入椭圆方程有2222()1cyab，解得63by，于是264333b，解得2b，又222acb，从而3a，c=1，所以椭圆的方程为22132xy.（II）解：设点11(,)Cxy，22(,)Dxy,由F（-1，0）得直线CD的方程为(1)ykx，由方程组22(1)132ykxxy消去y，整理得2222(2+3)6360kxkxk.求解可得2122623kxxk，21223623kxxk.因为A(3,0),(3,0)B，所以ACDBADCB=（113,xy）22(3,)xy+22(3,)xy11(3,)xy=1212622xxyy=21212522(1)(1)xxkxx62221212(22)2()2kxxkxxk=22212623kk.由已知得22212623kk=8，解得2.k（19）本小题主要考查等差数列的概念，等比数列的概念、通项公式、前n项和公式，数列的基本性质等基础知识.考查分类讨论的思想，考查运算能力、分析问题和解决问题的能力.满分14分.（I）解：设等比数列na的公比为q，因为22S,3S,44S成等差数列，所以3S+22S=44S3S，即4S3S=24SS，可得243aa，于是4312aqa.又132a，所以等比数列na的通项公式为11313(1)222nnnna.（II）证明：nS=11111,122112nnnnnSS=12,2(21)12,2(21)nnnnnn为奇数，为偶数。当n为奇数时，1nnSS随n的增大而减小，所以1nnSS≤11113.6SS当n为偶数时，1nnSS随n的增大而减小，所以1nnSS≤22125.12SS故对于n,nN有1nnSS≤13.6（20）本小题主要考查导数的运算及其几何意义，利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想、化归思想、函数思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.满分14分。（I）证明：设函数31()(5)fxxax(0)x，2()fx3232axxax(0),x①\'1()fx=23(5),xa由2,0a，从而当1＜x＜0时，\'1()fx=23(5)xa＜350a，所以函数1()fx在区间1,0内单调递减.②\'2()fx=23(3)(3)(1)xaxaxax，由于2,0a，所以当0＜x＜1时，\'2()fx＜0；当x＞1时，\'2()fx＞0.即函数2()fx在区间0,1内单调递减，在区间(1,)内单调递增.综合①，②及12(0)(0)ff，可知函数()fx在区间（-1,1）内单调递减，在区间(1,)内单调递增.（II）证明：由（I）知\'()fx在区间(,0)内单调递减，在区间30,6a内单调递减，在区间3,6a内单调递增.因为曲线()yfx在点111(,())Pxfx（i=1,2,3）处的切线相互平行，从而123,,xxx互不相等，且\'\'\'123()()()fxfxfx.不防设1x＜0＜2x＜3x，由222122333(5)3(3)3(3)xaxaxaxaxa，可得223x23233(3)()0xaxx，解得2333axx，从而0＜2x＜36a＜3x.设2()3(3)gxxaxa，则36ag＜2()gx＜(0)ga.由212(5)()3agxx＜a，解得253a＜1x＜0，所以1x+2x+3x＞253a33a，设253at，则2352ta，因为2,0a，所以315,33t，故1x+2x+3x＞2231111(1)6233ttt，即1x+2x+3x＞13.