2013年上海高考数学真题(文科)试卷+(答案解析)

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绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式的解为．2．在等差数列中，若，则．3．设，是纯虚数，其中是虚数单位，则．4．若，，则y=．5．已知的内角、、所对的边分别是，，．若，则角的大小是．6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为．7．设常数．若的二项展开式中项的系数为-10，则．8．方程的实数解为．9．若，则．10．已知圆柱的母线长为，底面半径为，是上地面圆心，、是下底面圆心上两个不同的点，是母线，如图．若直线与所成角的大小为，则．11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）．12．设是椭圆的长轴，点在上，且．若，，则的两个焦点之间的距离为．13．设常数，若对一切正实数成立，则的取值范围为．14．已知正方形的边长为1．记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、．若且，则的最小值是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．函数的反函数为，则的值是（）（A）（B）（C）（D）16．设常数，集合，．若，则的取值范围为（）（A）（B）（C）（D）17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件18．记椭圆围成的区域（含边界）为，当点分别在上时，的最大值分别是，则（）（A）0（B）(C)2(D)2三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．19．（本题满分12分）如图，正三棱锥底面边长为，高为，求该三棱锥的体积及表面积．20．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分5分，第2小题满分9分．甲厂以千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是元．（1）求证：生产千克该产品所获得的利润为；（2）要使生产千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此最大利润．21．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数，其中常数．19第题图OBAC（1）令，判断函数的奇偶性并说明理由；（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再往上平移个单位，得到函数的图像．对任意的，求在区间上零点个数的所有可能值．22．（本题满分16分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．已知函数．无穷数列满足．（1）若，求，，；（2）若，且，，成等比数列，求的值；（3）是否存在，使得，，，…，…成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如图，已知双曲线：，曲线：．是平面内一点，若存在过点的直线与、都有公共点，则称为“型点”．（1）在正确证明的左焦点是“型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“型点；（3）求证：圆内的点都不是“型点”．2013年上海高考数学试题（文科）参考答案一．填空题1.0＜X＜2.153.-24.15.6.787.-28.9.-10.11.12.13.14.-5二．选择题题号15161718代号ABAD三．解答题19.解：由已知条件可知，正三棱锥O-ABC的底面△ABC是边长为2的正三角形。经计算得底面△ABC的面积为所以该三锥的体积为设O’是正三角形ABC的中心由正三棱锥的性质可知，OO’垂直于平面ABC延长AO’交BC于D，得AD=,O’D=又因为OO’=1，所以正三棱锥的斜高OD=故侧面积为所以该三棱锥的表面积为因此，所求三棱锥的体积为，表面积为320.解：（1）生产a千克该产品，所用的时间是小时所获得的利润为100所以生产a千克该产品所获得的利润为100a元（2）生产900千克该产品，获得的利润为90000，1≤x≤10,记ƒ（x）=则ƒ（x）=获得最大利润90000元。因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457500元。21.解：（1）ƒ（x）=F（x）=ƒ（x）+ƒ所以，F（x）既不是奇函数也不是偶函数。（2）ƒ（x）=将y=ƒ（x）的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到令因为上零点个数为21当a不是零时，上恰有两个零点，故在上有20个零点。综上，22.解：（1）（2）①当＜②当＞2时，综合①②得（3）假设这样的等差数列存在，那么由以下分情况讨论：①当＞2时，由（*）得＞2矛盾②当0＜≤2时，有（*）得=1，从而所以是一个的等差数列③当≤0时，则公差＞0，因此存在m≧2使得＞2.此时＜0，矛盾综合①②③可知，当且仅当23．解：（1）C1的左焦点为，过F的直线与C1交于，与C2交于，故C1的左焦点为“C1-C2型点”，且直线可以为；（2）直线与C2有交点，则，若方程组有解，则必须；直线与C2有交点，则，若方程组有解，则必须故直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点，即原点不是“C1-C2型点”。（3）显然过圆内一点的直线若与曲线C1有交点，则斜率必存在；根据对称性，不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点，则直线与圆内部有交点，故化简得，。。。。。。。。。。。。①若直线与曲线C1有交点，则化简得，。。。。。②由①②得，但此时，因为，即①式不成立；当时，①式也不成立综上，直线若与圆内有交点，则不可能同时与曲线C1和C2有交点，即圆内的点都不是“C1-C2型点”．2013年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）考生注意：1.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.2.本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.不等式＜0的解为.【答案】【解析】2.在等差数列中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=15.【答案】15【解析】3.设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=.【答案】-2【解析】4.已知=0，=1，则y=1.【答案】1【解析】5.已知ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若a2+ab+b2-c2=0，则角C的大小是.【答案】【解析】6.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别是75、80，则这次考试该年级学生平均分数为78.【答案】78【解析】7.设常数a∈R.若的二项展开式中x7项的系数为-10，则a=-2.【答案】-2【解析】8.方程的实数解为.【答案】【解析】9.若cosxcosy+sinxsiny=，则cos(2x-2y)=.【答案】【解析】10.已知圆柱的母线长为l，底面半径为r,O是上底面圆心，A、B是下底面圆周上的两个不同的点，BC是母线，如图.若直线OA与BC所成角的大小为，则=.【答案】【解析】11.盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）.【答案】【解析】考查排列组合；概率计算策略：正难则反。12.设AB是椭圆的长轴，点C在上，且.若AB=4，BC=，则的两个焦点之间的距离为.【答案】DBAC【解析】如右图所示。13.设常数a＞0.若对一切正实数x成立，则a的取值范围为.【答案】【解析】考查均值不等式的应用。14.已知正方形ABCD的边长为1.记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、.若i,j,k,l∈且i≠j,k≠l，则·的最小值是-5.【答案】-5【解析】根据对称性，。二、选择题（本大题共有4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.函数（x≥0）的反函数为f-1(x)，则f-1(2)的值是（A）（A）（B）－（C）1+（D）1－【答案】A【解析】选A16.设常数a∈R，集合A=，B=.若A∪B=R，则a的取值范围为（B）（A）（－∞，2）（B）（－∞，2]（C）（2，+∞）（D）[2，+∞）【答案】B【解析】方法：代值法，排除法。当a=1时，A=R，符合题意；当a=2时，综上，选B标准解法如下:.选B17.钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（A）（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件【答案】A【解析】选A当点（x,y）分别在，，…上时，x+y的最大值分别是M1,M2,…，则=(D)（A）0（B）（C）2（D）【答案】D【解析】选D三、解答题（本大题共有5下题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）如图，正三棱锥O-ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积。【答案】【解析】所以，20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分.甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100元.（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a元；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.【答案】（1）见下（2）当生产速度为6千克/小时，这时获得最大利润为457500元。【解析】（1）证明：由题知，生产a千克该产品所需要的时间小时，所获得的利润所以，生产a千克该产品所获得的利润为100a元；（证毕）（2）由（1）知，生产900千克该产品即a=900千克时，获得的利润由二次函数的知识可知，当=，即x=6时，所以，当生产速度为6千克/小时，这时获得最大利润为457500元。21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数，其中常数ω＞0.（1）令ω=1，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）令ω=2，将函数y=f(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图像.对任意a∈R，求y=g(x)在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值.【答案】（1）（2）20,21【解析】（1）（2）ω=2，将函数y=f(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x):.所以y=g(x)在区间[a,a+10π]、其长度为10个周期上，零点个数可以取20,21个22.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.已知函数，无穷数列满足an+1=f(an),n∈N*（1）若a1=0，求a2，a3，a4；（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值.（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）（2）分情况讨论如何：（3）讨论如下:23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.如图，已知双曲线C1:，曲线C2:.P是平面内一点.若存在过点P的直线与C1、C2都有共同点，则称P为“C1-C2型点”.（1）在正确证明C1的左焦点是“C1-C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证＞1，进而证明圆点不是“C1-C2型点”；（3）求证：圆内的点都不是“C1-C2型点”.【答案】（1）【解析】（1）显然，由双曲线的几何图像性质可知，过.从曲线图像上取点P(0,1),则直线。这时直线方程为（2）先证明“若直线y=kx与有公共点，则＞1”.双曲线..所以直线y=kx与有公共点，则＞1.（证毕）。所以原点不是“C1-C2型点”；（完）（3）设直线过圆内一点，则直线斜率不存在时与曲线无交点。设直线方程为：y=kx+m，则：假设直线与曲线相交上方，则