高考试题(四川卷)——数学文科+(答案解析版)

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绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(文史类)解析：四川省成都市新都一中肖宏本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．满分150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷注意事项：1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试卷上．3。本试卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：高^考#资*源^网如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B)24sR如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B)球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么243vR在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径n()(1)(0,1,2,...)kknknPkCppkn[来源:]一、选择题(1)设集合A={3，5，6，8}，集合B={4，5，7，8}，则A∩B等于(A){3，4，5，6，7，8}(B){3，6}(C){4，7}(D){5，8}解析：集合A与集合B中的公共元素为5,8答案：D(2)函数y=log2x的图象大致是高^考#资*源^网(A)(B)(C)(D)解析：本题考查对数函数的图象和基本性质.答案：C(3)抛物线28yx的焦点到准线的距离是(A)1(B)2(C)4(D)8解析：由y2＝2px＝8x知p＝4又交点到准线的距离就是p答案：C（4）一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是（A）12,24,15,9（B）9,12,12,7（C）8,15,12,5（D）8,16,10,6解析：因为40180020故各层中依次抽取的人数分别是160820，3201620，2001020，120620答案：D（5）函数2()1fxxmx的图像关于直线1x对称的充要条件是（A）2m（B）2m（C）1m（D）1m解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－2m于是－2m＝1m＝－2答案：A（6）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，216BC，ABACABAC，则AM（A）8（B）4（C）2（D）1解析：由2BC＝16，得|BC|＝4ABACABACBC＝4而ABACAM故AM2答案：C（7）将函数sinyx的图像上所有的点向右平行移动10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是高^考#资*源^网（A）sin(2)10yx（B）ysin(2)5x（C）y1sin()210x（D）1sin()220yx解析：将函数sinyx的图像上所有的点向右平行移动10个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sin(x－10)再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是1sin()210yx.答案：C（8）某加工厂用某原料由车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天功能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱高^考#资*源^网解析：解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱y0x70488070(15,55)则70106480,xyxyxyN目标函数z＝280x＋300y结合图象可得：当x＝15,y＝55时z最大本题也可以将答案逐项代入检验.答案：B（9）由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（A）36（B）32（C）28（D）24解析：如果5在两端，则1、2有三个位置可选，排法为2×2232AA＝24种如果5不在两端，则1、2只有两个位置可选，3×2222AA＝12种共计12＋24＝36种答案：A（10）椭圆222210xyaab＞b＞的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A．在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（A）（0，22]（B）（0，12]（C）[21，1）（D）[12，1）解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等而|FA|＝22abccc|PF|∈[a－c,a＋c]于是2bc∈[a－c,a＋c]即ac－c2≤b2≤ac＋c2∴222222accacacacc1112caccaa或又e∈(0,1)故e∈1,12答案：D（11）设0a＞b＞，则211aabaab的最小值是（A）1（B）2（C）3（D）4解析：211aabaab＝211()aabababaab＝11()()abaababaab≥2＋2＝4当且仅当ab＝1,a(a－b)＝1时等号成立如取a＝2,b＝22满足条件.答案：D（12）半径为R的球O的直径AB垂直于平面a，垂足为B，BCD是平面a内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M、N，那么M、N两点间的球面距离是高^考#资*源^网（A）17arccos25R（B）18arccos25R（C）13R（D）415R解析：由已知，AB＝2R,BC＝R,故tan∠BAC＝12ABcos∠BAC＝255连结OM，则△OAM为等腰三角形AM＝2AOcos∠BAC＝455R，同理AN＝455R，且MN∥CD而AC＝5R,CD＝R故MN：CD＝AN:ACMN＝45R，连结OM、ON，有OM＝ON＝R于是cos∠MON＝22217225OMONMNOMON所以M、N两点间的球面距离是17arccos25R答案：A二、填空题(13)(x－2x)4的展开式中的常数项为______________(用数字作答)解析：展开式的通项公式为Tr＋1＝442()rrrCxx取r＝2得常数项为C42(－2)2＝24答案：24(14)直线250xy与圆228xy相交于A、B两点，则AB.解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为22圆心到直线250xy的距离为d＝22|005|51(2)故2|AB|得|AB|＝2答案：2（15）如图，二面角l的大小是60°，线段AB.Bl，AB与l所成的角为30°.则AB与平面所成的角的正弦值是.解析：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线.垂足为D连结AD，有三垂线定理可知AD⊥l，故∠ADC为二面角l的平面角，为60°又由已知，∠ABD＝30°连结CB，则∠ABC为AB与平面所成的角设AD＝2，则AC＝3，CD＝1AB＝0sin30AD＝4∴sin∠ABC＝34ACAB答案：34（16）设S为复数集C的非空子集.若对任意x,yS，都有xy,xy,xyS，则称S为封闭集。下列命题：①集合S＝{a＋bi|（a,b为整数，i为虚数单位）}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足STC的任意集合T也是封闭集.其中真命题是（写出所有真命题的序号）解析：直接验证可知①正确.当S为封闭集时，因为x－y∈S，取x＝y，得0∈S，②正确对于集合S＝{0}，显然满足素有条件，但S是有限集,③错误取S＝{0}，T＝{0,1}，满足STC,但由于0－1＝－1T，故T不是封闭集，④错误答案：①②三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。（Ⅰ）求三位同学都没有中奖的概率；（Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.ABCD解：设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P(A)＝P(B)＝P(C)＝16P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝51253()6216答：三位同学都没有中奖的概率为125216……………………………………6分(2)1－P(A·B·C＋A·B·C＋A·B·C＋A·B·C)＝1－3×1512523()()66627或P(ABC＋A·B·C＋A·B·C＋A·B·C)＝2527答：三位同学至少两位没有中奖的概率为2527.（18）（本小题满分12分）在正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点.（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；（Ⅱ）求二面角M－BC′－B′的大小；DABCDMOABC本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。解法一：（1）连结AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连结OK因为M是棱AA’的中点，点O是BD’的中点所以AM1//\'//2DDOK所以MO//AK由AA’⊥AK，得MO⊥AA’因为AK⊥BD,AK⊥BB’，所以AK⊥平面BDD’B’所以AK⊥BD’所以MO⊥BD’又因为OM是异面直线AA’和BD’都相交故OM为异面直线AA\'和BD\'的公垂线…………6分（2）取BB’中点N，连结MN，则MN⊥平面BCC’B’过点N作NH⊥BC’于H，连结MH则由三垂线定理得BC’⊥MH从而,∠MHN为二面角M－BC’－B’的平面角MN＝1,NH＝Bnsin45°＝122224在Rt△MNH中，tan∠MHN＝12224MNNH故二面角M－BC’－B’的大小为arctan22…………………………………………12分解法二：以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D－xyz则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A’(1,0,1),C’(0,1,1),D’(0,0,1)(1)因为点M是棱AA’的中点,点O是BD’的中点所以M(1,0,12),O(12,12,12)11(,,0)22OM,\'AA＝(0,0,1),\'BD＝(－1,－1,1)\'OMAA＝0,11\'22OMBD＋0＝0所以OM⊥AA’,OM⊥BD’又因为OM与异面直线AA’和BD’都相交故OM为异面直线AA\'和BD\'的公垂线.………………………………6分(2)设平面BMC\'的一个法向量为1n＝(x,y,z)BM＝(0,－1,12),\'BC＝(－1,0,1)110\'0nBMnBC即1020yzxz取z＝2,则x＝2,y＝1，从而1n＝(2,1,2)取平面BC\'B\'的一个法向量为2n＝(0,1,0)cos12121211,3||||91nnnnnn由图可知，二面角M－BC\'－B\'的平面角为锐角故二面角M－BC\'－B\'的大小为arccos13………………………………………………12分（19）（本小题满分12分）（Ⅰ）证明两角和的余弦公式C:cos()coscossinsin；由C推导两角和的正弦公式S:sin()sincoscossin.（Ⅱ）已知431cos,(,),tan,(,),cos()5232，求cos()解：(1)①如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于P4.则P1(1,0),P2(cosα,sinα)P3(cos(α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β))由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.……………………4分②由①易得cos(2－α)＝sinα,sin(2－α)＝cosαsin(α＋β)＝cos[2－(α＋β)]＝cos[(2－α)＋(－β)]＝cos(2－α)cos(－β)－sin(2－α)sin(－β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ……………………………………6分(2)∵α∈(π,),cosα＝－45∴sinα＝－35∵β∈(，π),tanβ＝－13∴cosβ＝－31010,sinβ＝1010cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝(－45)×(－31010)－(－35)×1010＝31010（20）（本小题满分12分）已知等差数列{}na的前3项和为6，前8项和为-4。（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）设1*(4)(0,)nnnbaqqnN，求数列{}nb的前n项和nS解：(1)设{an}的公差为d，由已知得113368284adad解得a1＝3,d＝－1故an＝3－(n－1)(－1)＝4－n…………………………………………5分(2)由(1)的解答得，bn＝n·qn－1，于是Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋……＋(n－1)·qn－1＋n·qn.若q≠1，将上式两边同乘以q，得qSn＝1·q1＋2·q2＋3·q3＋……＋(n－1)·qn＋n·qn＋1.将上面两式相减得到(q－1)Sn＝nqn－(1＋q＋q2＋……＋qn－1)＝nqn－11nqq于是Sn＝12(1)1(1)nnnqnqq若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋……＋n＝(1)2nn所以，Sn＝12(1)1(1)(1)(1)(1)2nnnqnqqqnnq……………………………………12分（21）（本小题满分12分）已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝12，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.解：(1)设P(x,y)，则221(2)2||2xyx化简得x2－23y＝1(y≠0)………………………………………………………………4分(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k(x－2)(k≠0)与双曲线x2－23y＝1联立消去y得(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0由题意知3－k2≠0且△＞0设B(x1,y1),C(x2,y2)，则2122212243433kxxkkxxky1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝k2(222243833kkkk＋4)＝2293kk因为x1、x2≠－1所以直线AB的方程为y＝111yx(x＋1)因此M点的坐标为(1131,22(1)yx)1133(,)22(1)yFMx,同理可得2233(,)22(1)yFNx因此2121293()22(1)(1)yyFMFNxx＝222222814343494(1)33kkkkkk＝0②当直线BC与x轴垂直时，起方程为x＝2，则B(2,3),C(2,－3)AB的方程为y＝x＋1,因此M点的坐标为(13,22)，33(,)22FM同理可得33(,)22FN因此2333()()222FMFN＝0综上FMFN＝0，即FM⊥FN故以线段MN为直径的圆经过点F………………………………………………12分（22）（本小题满分14分）设11xxaf(x)a（0a且1a），g(x)是f(x)的反函数.（Ⅰ）求()gx；（Ⅱ）当[2,6]x时，恒有2()log(1)(7)atgxxx成立，求t的取值范围；（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较f(1)+f(2)+…+f(n)与4n的大小，并说明理由.解：(1)由题意得：ax＝11yy＞0故g(x)＝1log1axx，x∈(－∞,－1)∪(1,＋∞)……………………3分(2)由21loglog1(1)(7)aaxtxxx得①当a＞1时，211(1)(7)xtxxx＞0又因为x∈[2,6],所以0＜t＜(x－1)2(7－x)令h(x)＝(x－1)2(7－x)＝－x3＋9x2－15x＋7,x∈[2,6]则h\'(x)＝－3x2＋18x－15＝－3(x－1)(x－5)列表如下：x2(2,5)5(5,6)6h\'(x)＋0－h(x)5↗极大值32↘25所以h(x)最小值＝5，所以0＜t＜5②当0＜a＜1时，0＜211(1)(7)xtxxx又因为x∈[2,6],所以t＞(x－1)2(7－x)＞0令h(x)＝(x－1)2(7－x)＝－x3＋9x2－15x＋7,x∈[2,6]由①知h(x)最大值＝32,x∈[2,6]所以t＞32综上，当a＞1时，0＜t＜5；当0＜a＜1时，t＞32.……………………9分(3)设a＝11p，则p≥1当n＝1时,f(1)＝1＋2p≤3＜5当n≥2时设k≥2，k∈N*时则f(k)＝122122111(1)1kkkkkkkkaapCpCpCp所以f(k)≤1＋122kkCC＝1＋4(1)kk＝1＋441kk从而f(2)＋f(3)＋……＋f(n)≤n－1＋4421n＜n＋1所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋……＋f(n)＜f(1)＋n＋1≤n＋4综上，总有f(1)＋f(2)＋f(3)＋……＋f(n)＜n＋4……………………14分