2017年高考理科数学三轮冲刺热点题型 压轴大题突破练(一) 直线与圆锥曲线(1)

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压轴大题突破练压轴大题突破练(一)　直线与圆锥曲线(1)1.在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，点B在直线l：x＝－1上运动，过点B与l垂直的直线和线段AB的垂直平分线相交于点M.(1)求动点M的轨迹E的方程；(2)过(1)中轨迹E上的点P(1，2)作两条直线分别与轨迹E相交于C(x1，y1)，D(x2，y2)两点.试探究：当直线PC，PD的斜率存在且倾斜角互补时，直线CD的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.解　(1)依题意，得|MA|＝|MB|.∴动点M的轨迹E是以A(1，0)为焦点，直线l：x＝－1为准线的抛物线，∴动点M的轨迹E的方程为y2＝4x.(2)∵P(1，2)，C(x1，y1)，D(x2，y2)在抛物线y2＝4x上，∴由①－②得，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，∴直线CD的斜率为kCD＝＝.③设直线PC的斜率为k，则PD的斜率为－k，则直线PC方程为y－2＝k(x－1)，由得ky2－4y－4k＋8＝0.由2＋y1＝，求得y1＝－2，同理可求得y2＝－－2.∴kCD＝＝＝－1，∴直线CD的斜率为定值－1.2.如图所示，椭圆＋＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为A，B，已知点B在直线l：y＝－1上，且椭圆的离心率e＝.(1)求椭圆的标准方程；(2)设P是椭圆上异于A，B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ的中点，直线AM交直线l于点C，N为线段BC的中点，求证：OM⊥MN.(1)解　依题意，得b＝1.因为e＝＝，又a2－c2＝b2，所以a2＝4.所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)证明　设点P的坐标为(x0，y0)，x0≠0，因为P是椭圆上异于A，B的任意一点，所以＋y＝1.因为PQ⊥y轴，Q为垂足，所以点Q坐标为(0，y0).因为M为线段PQ的中点，所以M.又点A的坐标为(0，1)，可得直线AM的方程为y＝x＋1.因为x0≠0，所以y0≠1，令y＝－1，得C.因为点B的坐标为(0，－1)，点N为线段BC的中点，所以N.所以向量NM＝.又OM＝，所以OM·NM＝＋y0(y0＋1)＝－＋y＋y0＝－＋y0＝1－(1＋y0)＋y0＝0.所以OM⊥MN.3.椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝.设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E相切于点P且交直线x＝2于点N，△PF1F2的周长为2(＋1).(1)求椭圆E的方程；(2)求两焦点F1、F2到切线l的距离之积；(3)求证：以PN为直径的圆恒过点F2.(1)解　设F1(－c，0)，F2(c，0)，则解得a＝，c＝1.∴b2＝a2－c2＝1，∴椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)解　由⇒(1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－1)＝0.设直线l与椭圆E相切于点P(x0，y0)，则Δ＝0，化简2k2＋1＝m2，焦点F1，F2到直线l的距离d1，d2分别为d1＝，d2＝，则d1·d2＝＝＝1.(3)证明　∵x0＝－＝－，∴y0＝kx0＋m＝－＋m＝＝，∴P(－，).又联立y＝kx＋m与x＝2，得到N(2，2k＋m)，PF2＝(1＋，－)，F2N＝(1，2k＋m).∴PF2·F2N＝(1＋，－)·(1，2k＋m)＝1＋－(2k＋m)＝1＋－－1＝0.∴PF2⊥F2N，∴以PN为直径的圆恒过点F2.4.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为，过点M(2，0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程；(2)求OA·OB的取值范围；(3)若B点关于x轴的对称点是N，证明：直线AN恒过一定点.(1)解　由题意知b＝1，e＝＝，得a2＝2c2＝2a2－2b2，故a2＝2.故所求椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)解　设l：y＝k(x－2)，与椭圆C的方程联立，消去y得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.由Δ>0得0≤k2<.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，∴OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1－2)(x2－2)＝(1＋k2)x1x2－2k2(x1＋x2)＋4k2＝＝5－.∵0≤k2<，∴<≤7，故所求范围是[－2，).(3)证明　由对称性可知N(x2，－y2)，定点在x轴上，直线AN：y－y1＝(x－x1).令y＝0得：x＝x1－＝＝＝＝＝1，故直线AN恒过定点(1，0).