2017年高考理科数学三轮冲刺热点题型 高考大题纵横练(一)

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高考大题纵横练高考大题纵横练(一)1.已知函数f(x)＝2sinωx(0<ω<1)在[0，]上的最大值为，当把f(x)的图象上的所有点向右平移φ(0<φ<)个单位后，得到图象对应函数g(x)的图象关于直线x＝对称.(1)求函数g(x)的解析式；(2)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知g(x)在y轴右侧的第一个零点为C，若c＝4，求△ABC的面积S的最大值.解　(1)由题意知，函数f(x)在区间[0，]上单调递增，∴2sin＝，∴＝2kπ＋，k∈Z，得ω＝4k＋，k∈Z.经验证当k＝0时满足题意，故求得ω＝，∴g(x)＝2sin(x－)，故×－φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝－2kπ＋，k∈Z，又0<φ<，∴φ＝.故g(x)＝2sin(－).(2)根据题意，得－＝kπ，k∈Z，∴x＝2kπ＋，k∈Z，∴C＝.又c＝4，得16＝a2＋b2－2abcos，∴a2＋b2＝16＋ab≥2ab，∴ab≤32＋16，∴S＝absinC＝ab≤8＋4，∴S的最大值为8＋4.2.四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2，SB＝SC＝.(1)设平面SCD与平面SAB的交线为l，求证：l∥AB；(2)求证：SA⊥BC；(3)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值.(1)证明　∵底面ABCD为平行四边形，∴AB∥CD.∵AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，又∵平面SCD与平面SAB的交线为l，∴l∥AB.(2)证明　连接AC.∵∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2，由余弦定理得AC＝2，∴AC＝AB.取BC中点G，连接SG，AG，则AG⊥BC.∵SB＝SC，∴SG⊥BC，∵SG∩AG＝G，∴BC⊥平面SAG，∴BC⊥SA.(3)解　如图，以射线OA为x轴，以射线OB为y轴，以射线OS为z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则A(，0，0)，B(0，，0)，S(0，0，1)，D(，－2，0).∴SD＝(，－2，0)－(0，0，1)＝(，－2，－1)，SA＝(，0，0)－(0，0，1)＝(，0，－1)，BA＝(，0，0)－(0，，0)＝(，－，0).设平面SAB法向量为n＝(x，y，z)，有令x＝1，则y＝1，z＝，n＝(1，1，)，cos〈n，SD〉＝＝＝－.∴直线SD与平面SAB所成角的正弦值为.3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n(n∈N*)，数列{an}满足an＝4log2bn＋3(n∈N*).(1)求an，bn；(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.解　(1)由Sn＝2n2＋n，得a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1.又a1＝3也适合上式.所以an＝4n－1，n∈N*，由4n－1＝an＝4log2bn＋3，得bn＝2n－1，n∈N*.(2)由(1)知anbn＝(4n－1)2n－1，n∈N*.所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)2n－1，所以2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)2n－1＋(4n－1)2n，所以2Tn－Tn＝(4n－1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)]＝(4n－5)2n＋5.故Tn＝(4n－5)2n＋5，n∈N*.4.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比.分数没有增加反而减少了.请运用概率与统计的相关知识分析分数减少的原因.解　(1)X可能的取值为10，20，100，－200.根据题意，有P(X＝10)＝C×()1×(1－)2＝，P(X＝20)＝C×()2×(1－)1＝，P(X＝100)＝C×()3×(1－)0＝，P(X＝－200)＝C×()0×(1－)3＝.所以X的分布列为X1020100－200P(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1，2，3)，则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝.所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1－P(A1A2A3)＝1－()3＝1－＝.(3)X的均值为E(X)＝10×＋20×＋100×－200×＝－.这表明获得分数X的均值为负，因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大.5.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C是椭圆＋＝1(a>b>0)上不同的三点，A(3，)，B(－3，－3)，C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上.(1)求椭圆的标准方程；(2)求点C的坐标；(3)设动点P在椭圆上(异于点A，B，C)且直线PB，PC分别交直线OA于M，N两点，证明OM·ON为定值并求出该定值.解　(1)由已知，得解得∴椭圆的标准方程为＋＝1.(2)设点C(m，n)(m<0，n<0)，则BC中点为(，).由已知，求得直线OA的方程为x－2y＝0，从而m＝2n－3.①又∵点C在椭圆上，∴m2＋2n2＝27.②由①②，解得n＝3(舍)，n＝－1，从而m＝－5.∴点C的坐标为(－5，－1).(3)设P(x0，y0)，M(2y1，y1)，N(2y2，y2).∵P，B，M三点共线，∴＝，整理得y1＝.∵P，C，N三点共线，∴＝，整理得y2＝.∵点P在椭圆上，∴x＋2y＝27，x＝27－2y.从而y1y2＝＝＝3×＝.∴OM·ON＝5y1y2＝，∴OM·ON为定值，定值为.6.已知函数f(x)＝x＋alnx在x＝1处的切线与直线x＋2y＝0垂直，函数g(x)＝f(x)＋x2－bx.(1)求实数a的值；(2)若函数g(x)存在单调递减区间，求实数b的取值范围；(3)设x1，x2(x10)，g′(x)＝＋x－(b－1)＝.设μ(x)＝x2－(b－1)x＋1，则μ(0)＝1>0只需⇒⇒b>3.∴b的取值范围为(3，＋∞).(3)令g′(x)＝0，则x2－(b－1)x＋1＝0，∴x1＋x2＝b－1，x1x2＝1.g(x1)－g(x2)＝ln＋(x－x)－(b－1)(x1－x2)＝ln＋(x－x)－(x1＋x2)(x1－x2)＝ln－＝ln－(－)，设t＝，∵0

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