2017年高考理科数学三轮冲刺热点题型 压轴大题突破练(二) 直线与圆锥曲线(2)

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压轴大题突破练(二)　直线与圆锥曲线(2)1.(2016·浙江)如图，设椭圆＋y2＝1(a＞1).(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；(2)若任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.解　(1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AM，由得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0，故x1＝0，x2＝－，因此|AM|＝|x1－x2|＝·.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2＞0，k1≠k2.由(1)知，|AP|＝，|AQ|＝，故＝，所以(k－k)[1＋k＋k＋a2(2－a2)kk]＝0.由于k1≠k2，k1，k2＞0得1＋k＋k＋a2(2－a2)kk＝0，因此＝1＋a2(a2－2).①因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1＋a2(a2－2)＞1，所以a＞.因此，任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a≤，由e＝＝，得00)交于A，B两点，且OA·OB＝－3，其中O为坐标原点.(1)求p的值；(2)当|AM|＋4|BM|最小时，求直线l的方程.解　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为x＝my＋.联立消去x，得y2－2pmy－p2＝0.∴y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2.∵OA·OB＝－3，∴x1x2＋y1y2＝－3.又x1x2＝·＝，∴－p2＝－3⇒p2＝4.∵p>0，∴p＝2.(2)由抛物线定义，得|AM|＝x1＋＝x1＋1，|BM|＝x2＋＝x2＋1，∴|AM|＋4|BM|＝x1＋4x2＋5≥2＋5＝9，当且仅当x1＝4x2时取等号.将x1＝4x2代入x1x2＝＝1，得x2＝(负值舍去).将x2＝代入y2＝4x，得y2＝±，即点B.将点B代入x＝my＋1，得m＝±.∴直线l的方程为x＝±y＋1，即4x±y－4＝0.3.已知动点S(x，y)到直线l：x＝2的距离是它到点T(，0)的距离的倍.(1)求动点S的轨迹C的方程；(2)设轨迹C上一动点P满足：OP＝λOM＋2μON，其中M，N是轨迹C上的点，直线OM与ON的斜率之积为－，若Q(λ，μ)为一动点，E1(－，0)，E2(，0)为两定点，求|QE1|＋|QE2|的值.解　(1)点S(x，y)到直线x＝2的距离，是到点T(，0)的距离的倍，则|x－2|＝，化简得＋＝1.所以轨迹C的方程为＋＝1.(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则OP＝λOM＋2μON，即x＝λx1＋2μx2，y＝λy1＋2μy2，因为点P，M，N在椭圆＋＝1上，所以x＋2y＝4，x＋2y＝4，x2＋2y2＝4，故x2＋2y2＝λ2(x＋2y)＋4μ2(x＋2y)＋4λμ(x1x2＋2y1y2)＝4λ2＋16μ2＋4λμ(x1x2＋2y1y2)＝4，设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题意知，kOM·kON＝＝－，因此x1x2＋2y1y2＝0，所以λ2＋4μ2＝1，所以点Q是椭圆λ2＋4μ2＝1上的点，而E1，E2恰为该椭圆的左，右焦点，所以由椭圆的定义可得，|QE1|＋|QE2|＝2.4.已知曲线C上任意一点P到两定点F1(－1，0)与F2(1，0)的距离之和为4.(1)求曲线C的方程；(2)设曲线C与x轴负半轴交点为A，过点M(－4，0)作斜率为k的直线l交曲线C于B、C两点(B在M、C之间)，N为BC中点.①证明：k·kON为定值；②是否存在实数k，使得F1N⊥AC？如果存在，求直线l的方程，如果不存在，请说明理由.(1)解　由已知可得：曲线C是以两定点F1(－1，0)和F2(1，0)为焦点，长轴长为4的椭圆，所以a＝2，c＝1⇒b＝＝，故曲线C的方程为＋＝1.(2)证明　设过点M的直线l的方程为y＝k(x＋4)，设B(x1，y1)，C(x2，y2)(x2>x1).①联立方程组得(4k2＋3)x2＋32k2x＋64k2－12＝0，则故xN＝＝，yN＝k(xN＋4)＝.所以kON＝－，所以k·kON＝－为定值.②解　若F1N⊥AC，则kAC·kF1N＝－1，因为F1(－1，0)，kF1N＝＝，因为A(－2，0)，kAC＝，故·＝－1，代入y2＝k(x2＋4)得x2＝－2－8k2，y2＝2k－8k3，而x2≥－2，故只能k＝0，显然不成立，所以这样的直线不存在.