2011海淀高三年级第二学期数学(理科)期中试题练习+答案

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海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）2011.4选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1、已知集合30xxAR，42xxBR，则BAA.32xxB.32xxC.322xxx或D.R2．已知数列na为等差数列，nS是它的前n项和.若21a，123S，则4SA．10B．16C．20D．243.在极坐标系下，已知圆C的方程为2cosρθ，则下列各点在圆C上的是　　A．1,3πB．1,6πC．32,4πD．52,4π4．执行如图所示的程序框图，若输出x的值为23，则输入的x值为A．0B．1C．2D．115．已知平面l，m是内不同于l的直线，那么下列命题中错误的是A．若//m，则lm//B．若lm//，则//mC．若m，则lmD．若lm，则m6.已知非零向量,,abc满足abc０，向量,ab的夹角为120，且||2||ba，则向量a与c的夹角为　　A．60B．90C．120D．1507.如果存在正整数和实数使得函数)(cos)(2xxf（，21xx是否3n≤1nnx输入开始1nx输出结束112yOx为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），那么的值为A．1B．2C．3D.48．已知抛物线M：24yx=，圆N：222)1(ryx（其中r为常数，0r）.过点（1，0）的直线l交圆N于C、D两点，交抛物线M于A、B两点，且满足BDAC的直线l只有三条的必要条件是A．(0,1]rB．(1,2]rC．3(,4)2rD．3[,)2r非选择题（共110分）新课标第一网二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．复数3i1i.10.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s，2s，3s，则它们的大小关系为.（用“”连接）11．如图，A，B，C是⊙O上的三点，BE切⊙O于点B，D是CE与⊙O的交点.若70BAC，则CBE______；若2BE，4CE，则CD.12.已知平面区域}11,11|),{(yxyxD，在区域D内任取一点，则取到的点位于直线ykx（kR）下方的概率为____________.13.若直线l被圆22:2Cxy所截的弦长不小于2，则在下列曲线中：①22xy　　②22(1)1xy③2212xy　　④221xy与直线l一定有公共点的曲线的序号是.（写出你认为正确的所有序号）ACBODEO元频率组距0.00020.00040.00080.0006乙100015002000250030003500O元频率组距0.00020.00040.00080.0006丙100015002000250030003500O元频率组距0.00020.00040.00080.0006甲10001500200025003000350014．如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D.设CP=x，△CPD的面积为()fx.则()fx的定义域为；\'()fx的零点是.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.（本小题共13分）在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为,,abc，已知1tan2B，1tan3C，且1c.(Ⅰ)求tanA；(Ⅱ)求ABC的面积.16.（本小题共14分）在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AEEB,//ADEF，//EFBC，24BCAD，3EF，2AEBE，G是BC的中点．(Ⅰ)求证：//AB平面DEG；(Ⅱ)求证：BDEG；(Ⅲ)求二面角CDFE的余弦值.17.（本小题共13分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品.(Ⅰ)随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；(Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列；(Ⅲ)随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.18.（本小题共13分）已知函数()lnfxxax，1(),(R).agxaxACPBDADFEBGC（Ⅰ）若1a，求函数()fx的极值；（Ⅱ）设函数()()()hxfxgx，求函数()hx的单调区间；(Ⅲ)若在1,e（e2.718...）上存在一点0x，使得0()fx0()gx成立，求a的取值范围.19.（本小题共14分）已知椭圆2222:1xyCab(0)ab经过点3(1,),2M其离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线1:(||)2lykxmk与椭圆C相交于A、B两点，以线段,OAOB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点.求OP的取值范围.20.（本小题共13分）已知每项均是正整数的数列A：123,,,,naaaa，其中等于i的项有ik个(1,2,3)i，设jjkkkb21(1,2,3)j，12()mgmbbbnm(1,2,3)m.（Ⅰ）设数列:1,2,1,4A，求(1),(2),(3),(4),(5)ggggg；（Ⅱ）若数列A满足12100naaan，求函数)(mg的最小值.海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理）答案及评分参考2011．4选择题（共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号12345678答案BCACDBBD非选择题（共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分.共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.12i10.s1>s2>s311.70；312.1213.①③14.(2,4);3三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.（共13分）解：（I）因为1tan2B，1tan3C,tantantan()1tantanBCBCBC,…………………1分代入得到，1123tan()111123BC.…………………3分因为180ABC,…………………4分所以tantan(180())tan()1ABCBC.…………………5分（II）因为0180A，由（I）结论可得：135A.…………………7分因为11tantan023BC，所以090CB.…………8分所以5sin,5B10sin10C.…………9分由sinsinacAC得5a，…………………11分所以ABC的面积为：11sin22acB.………………13分16.（共14分）解：(Ⅰ)证明：∵//,//ADEFEFBC，∴//ADBC.又∵2BCAD,G是BC的中点，∴//ADBG，∴四边形ADGB是平行四边形，∴//ABDG.……………2分∵AB平面DEG，DG平面DEG，∴//AB平面DEG.…………………4分(Ⅱ)解法1证明：∵EF平面AEB，AE平面AEB，∴EFAE，又,AEEBEBEFE，,EBEF平面BCFE，∴AE平面BCFE.………………………5分过D作//DHAE交EF于H，则DH平面BCFE.∵EG平面BCFE，∴DHEG.………………………6分∵//,//ADEFDHAE，∴四边形AEHD平行四边形，∴2EHAD，HADFEBGC∴2EHBG，又//,EHBGEHBE，∴四边形BGHE为正方形，∴BHEG，………………………7分又,BHDHHBH平面BHD，DH平面BHD,∴EG⊥平面BHD.………………………8分∵BD平面BHD,∴BDEG.………………………9分解法2∵EF平面AEB，AE平面AEB，BE平面AEB，∴EFAE，EFBE，又AEEB,∴,,EBEFEA两两垂直.……………………5分以点E为坐标原点，,,EBEFEA分别为,,xyz轴建立如图的空间直角坐标系.由已知得，A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），F（0，3，0），D（0，2，2），G（2，2，0）.…………………………6分∴(2,2,0)EG，(2,2,2)BD，………7分∴22220BDEG,………8分∴BDEG.…………………………9分(Ⅲ)由已知得(2,0,0)EB是平面EFDA的法向量.…………………………10分设平面DCF的法向量为(,,)xyzn，∵(0,1,2),(2,1,0)FDFC，∴00FDnFCn，即2020yzxy，令1z,得(1,2,1)n.…………………………12分设二面角CDFE的大小为，则26coscos,626EBn，…………………………13分∴二面角CDFE的余弦值为6.6…………………………14分17.（共13分）新课标第一网解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A…………………………1分事件A等于事件“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”……………2分xzyADFEBGC151332104106)(Ap…………………………4分(Ⅱ)由题可知X可能取值为0,1,2,3.30463101(0)30CCPXC,21463103(1)10CCPXC,12463101(2)2CCPXC,03463101(3)6CCPXC.………………8分………………9分(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B……………10分事件B等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”所以，3111()()303810PB.……………13分18.（共13分）解：（Ⅰ）()fx的定义域为(0,)，………………………1分当1a时，()lnfxxx，11()1xfxxx，………………………2分………………………3分所以()fx在1x处取得极小值1.………………………4分（Ⅱ）1()lnahxxaxx，22221(1)(1)[(1)]()1aaxaxaxxahxxxxx………………………6分①当10a时，即1a时，在(0,1)a上()0hx，在(1,)a上()0hx，所以()hx在(0,1)a上单调递减，在(1,)a上单调递增；………………………7分②当10a，即1a时，在(0,)上()0hx，X0123P3011032161x(0,1)1(1,)()fx—0+()fx极小所以，函数()hx在(0,)上单调递增.………………………8分（III）在1,e上存在一点0x，使得0()fx0()gx成立，即在1,e上存在一点0x，使得0()0hx，即函数1()lnahxxaxx在1,e上的最小值小于零.………………………9分由（Ⅱ）可知①即1ea，即e1a时，()hx在1,e上单调递减，所以()hx的最小值为(e)h，由1(e)e0eaha可得2e1e1a，因为2e1e1e1，所以2e1e1a；………………………10分②当11a，即0a时，()hx在1,e上单调递增，所以()hx最小值为(1)h，由(1)110ha可得2a；………………………11分③当11ea，即0e1a时，可得()hx最小值为(1)ha，因为0ln(1)1a，所以，0ln(1)aaa故(1)2ln(1)2haaaa此时，(1)0ha不成立.………………………12分综上讨论可得所求a的范围是：2e1e1a或2a.………………………13分19.（共14分）解：（Ⅰ）由已知可得222214abea，所以2234ab①……………1分又点3(1,)2M在椭圆C上，所以221914ab②……………2分由①②解之，得224,3ab.故椭圆C的方程为22143xy.……………5分(Ⅱ)当0k时，(0,2)Pm在椭圆C上，解得32m，所以||3OP.……6分当0k时，则由22,1.43ykxmxy消y化简整理得：222(34)84120kxkmxm，222222644(34)(412)48(34)0kmkmkm③……………8分设,,ABP点的坐标分别为112200(,)(,)(,)xyxyxy、、，则012012122286,()23434kmmxxxyyykxxmkk.……………9分由于点P在椭圆C上，所以2200143xy.……………10分从而222222216121(34)(34)kmmkk，化简得22434mk，经检验满足③式.………11分又222220022226436||(34)(34)kmmOPxykk2222224(169)169(34)43mkkkk234.43k………………………12分因为102k，得23434k，有2331443k，故1332OP.………………………13分综上，所求OP的取值范围是13[3,]2.………………………14分(Ⅱ)另解：设,,ABP点的坐标分别为112200(,)(,)(,)xyxyxy、、，由,AB在椭圆上，可得2211222234123412xyxy①②………………………6分①—②整理得121212123()()4()()0xxxxyyyy③………………………7分由已知可得OPOAOB，所以120120xxxyyy④⑤……………………8分由已知当1212yykxx,即1212()yykxx⑥………………………9分把④⑤⑥代入③整理得0034xky………………………10分与22003412xy联立消0x整理得202943yk……………………11分由22003412xy得2200443xy，所以222222000002413||4443343OPxyyyyk……………………12分因为12k，得23434k，有2331443k，故1332OP.………………………13分所求OP的取值范围是13[3,]2.………………………14分20.（共13分）解：（1）根据题设中有关字母的定义，12342,1,0,1,0(5,6,7)jkkkkkj12342,213,2103,4,4(5,6,7,)mbbbbbm112123123412345(1)412(2)423,(3)434,(4)444,(5)454.gbgbbgbbbgbbbbgbbbbb（2）一方面，1(1)()mgmgmbn，根据“数列A含有n项”及jb的含义知1mbn，故0)()1(mgmg，即)1()(mgmg①…………………7分另一方面，设整数12max,,,nMaaa，则当mM时必有mbn，所以(1)(2)(1)()(1)gggMgMgM所以()gm的最小值为(1)gM.…………………9分下面计算(1)gM的值：1231(1)(1)MgMbbbbnM1231()()()()Mbnbnbnbn233445()()()()MMMMkkkkkkkkkk23[2(1)]MkkMk12312(23)()MMkkkMkkkk123()nMaaaab123()naaaan…………………12分∵123100naaaan，∴(1)100,gM∴()gm最小值为100.…………………13分说明：其它正确解法按相应步骤给分.