2002年上海高考数学(理科)试卷(word版)+参考答案

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xyO-110.5Oxyππ-π-πOxyππ-π-πOxyππ-π-πOxyππ-π-πABCD绝密★启用前2002年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1．若z∈C，且(3+z)i=1(i是虚数单位)，则z=.2．已知向量和的夹角为120°，且||=2，||=5，则（2—）·=.3．方程log3(1—2·3x)=2x+1的解x=.4．若正四棱锥的底面边长为2cm，体积为4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是.5．在二项式(1+3x)n和(2x+5)n的展开式中，各项系数之和分别记为an、bn，n是正整数，则=.6．已知圆(x+1)2+y2=1和圆外一点P(0，2)，过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切是.7．在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件.竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增至14名，但只任取其中7名裁判的评分作为有效分.若14名裁判中有2个受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是.（结果用数值表示）8．曲线（t为参数）的焦点坐标是.9．若A、B两点的极坐标为A（4，）、B（6，0），则AB中点的极坐标是.（极角用反三角函数表示）10．设函数f(x)=sin2x.若f(x+t)是偶函数，则t的一个可能值是.11．若数列中，a1=3，且an+1=an2（n是正整数），则数列的通项公式an=.12．已知函数y=f(x)（定义域为D，值域为A）有反函数y=f-1(x)，则方程f(x)=0有解x=a，且f(x)＞x（x∈D）的充要条件是y=f-1(x)满足.二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。13．如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（）（A）{z||z|=1,≤argz≤,z∈C}；（B）{z||z|≤1,≤argz≤,z∈C}（C）{z||z|=1,Imz≥,z∈C}；（D）{z||z|≤1,Imz≥,z∈C}14．已知直线、m，平面α、β，且⊥α，mβ.给出下列四个命题：（1）若α∥β，则⊥m；（2）若⊥m，则α∥β；（3）若α⊥β，则⊥m；（4）若∥α，则α⊥β，其中正确命题的个数是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个15．函数y=x+sin|x|，x∈[—π，π]的大致图象是（）月份121110987654321气温30252015105121110987654321120408060100120140用电量月份ABABOPDO\'\'\'16．一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系.如图（1）表示某年12个月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在12个月中每月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是（）（A）气温最高时，用电量最多（B）气温最低时，用电量最少（C）当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加；（D）当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加三、解答题（本大题满分86分）解答下列各题必须写出必要的步骤。17．（本题满分12分）如右上图，在直三棱柱ABO—A/B/O/中，OO/=4，OA=4，OB=3，∠AOB=90°，D是线段A/B/的中点，P是侧棱BB/上的一点.若OP⊥BD，求OP与底面AOB所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）18．（本题满分12分）已知点A（—，0）和B（，0），动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y=x—2交于D、E两点.求线段DE的长.19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分。已知函数f(x)=x2+2x·tanθ—1，x∈[—1，]，其中θ∈（—，）.（1）当θ=—时，求函数y=f(x)的最大值与最小值；（2）求θ的取值范围，使y=f(x)在区间[—1，]上是单调函数.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额（元）的范围[200，400）[400，500）[500，700）[700，900）…获得奖券的金额（元）3060100130…根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400×0.2+30=110（元）.设购买商品得到的优惠率=，试问：（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在[500，800]（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于的优惠率？21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。已知函数f(x)=a·bx的图象过点A（4，）和B（5，1）.（1）求函数f(x)的解析式；（2）记an=log2f(n)，n是正整数，Sn是数列的前n项和，解关于n的不等式anSn≤0；（3）对于（2）中的an与Sn，整数104是否为数列{anSn}中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由.22．（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分。规定=，其中x∈R，m是正整数，且=1，这是组合数（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广.（1）求的值；（2）组合数的两个性质：①=；②+=.是否都能推广到（x∈R，m是正整数）的情况？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；（3）已知组合数是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，∈Z.2002年全国普通高等学校招生统一考试理科数学参考答案（上海卷）一、1.—3—i;2.13;3.—1;4.30°；5.；6.；7.；8.（0，1）；9.（，arctan）；10.或…11.12.f-1(0)=a,且f-1(x)＜x(x∈A)或y=f-1(x)的图象在直线y=x的下方，且与y轴的交点为(0，a).二、DBCC三、17.[解法一]如图,以O点为原点建立空间直角坐标系由题意，有)4,2,23(),0,0,3(DB设),0,3(zP，则因为OPBD89z因为\'BB平面AOBPOB是OP与底面AOB所成的角[解法二]取\'\'BO中点E，连结DE、BE，则DE平面\'\'OOBBBE是BD在平面\'\'OOBB内的射影。又因为BDOP由三垂线定理的逆定理，得BEOP在矩形\'\'OOBB中，易得EBBRtOBPRt\'~,\'\'BBOBEBBP得89BP（以下同解法一）∠POB=arctan.18.[解]设点C（x,y），则2||||CBCA根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线12222byax由2,1,32||2,2222baABca得故点C的轨迹方程是1222yx由21222xyyx，得0642xx因为0，所以直线与双曲线有两个交点。设),(11yxD、),(22yxE，则6,42121xxxx故221221)()(||yyxxDE19.[解]（1）当时时，的值最小为；当x=-1时，的值最大为（2）函数图像的对称轴为。∵在区间上是单调递增函数，∴或，即或因此，θ的取值范围是20.[解]（1）%3310001302.01000（2）设商品的标价为x元则800500x，消费额：6408.0400x由已知得（I）5008.040031602.0xxx或（II）6408.0500311002.0xxx不等式组（I）无解，不等式组（II）的解为750625x因此，当顾客购买标价在[625，750]元内的商品时，可得到不小于31的优惠率。21.[解]（1）由541,41baba，得10241,4ab故xxf410241)(（2）由题意102)410241(log2nann)9)(5(2)9()(21nnnSannaanSnnnn由0nnSa得0)9)(5(nn，即95n故9,8,7,6,5n（3）6411Sa，8422Sa，7233Sa，4044Sa当95n时，0nnSa当10n时，1001010SaSann因此，96不是数列}{nnSa中的项。22.[解]（1）680!3)17)(16)(15(315C（2）性质①不能推广。例如取x=；有意义，但无意义；性质②能推广，它的推广形式是，，m是正整数，事实上，当m=1时，有当时，=（3）当时，组合数∈Z。当时，=0∈Z。当时，