2014年天津高考文科数学试题试卷word版+(参考含答案)

出处:老师板报网 时间:2023-02-14

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2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(文科)一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(1)是虚数单位,复数()A.B.C.D.(2)设变量满足约束条件则目标函数的最小值为()A.2B.3C.4D.53.已知命题()A.B.C.D.4.设则()A.B.C.D.5.设是首项为,公差为的等差数列,为其前n项和,若成等比数列,则=()A.2B.-2C.D.6.已知双曲线的一条渐近线平行于直线双曲线的一个焦点在直线上,则双曲线的方程为()A.B.C.D.7.如图,是圆的内接三角行,的平分线交圆于点D,交BC于E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F,在上述条件下,给出下列四个结论:①BD平分;②;③;④.则所有正确结论的序号是()A.①②B.③④C.①②③D.①②④8.已知函数在曲线与直线的交点中,若相邻交点距离的最小值为,则的最小正周期为()A.B.C.D.二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为,则应从一年级本科生中抽取名学生.10.一个几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的体积为.11.阅读右边的框图,运行相应的程序,输出的值为________.12.函数的单调递减区间是________.13.已知菱形的边长为,,点,分别在边、上,,.若,则的值为________.(14)已知函数若函数恰有4个零点,则实数的取值范围为_______三.解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(15)(本小题满分13分)某校夏令营有3名男同学和3名女同学,其年级情况如下表:现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)(1)用表中字母列举出所有可能的结果(2)设为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件发生的概率.(16)(本小题满分13分)在中,内角所对的边分别为,已知,(1)求的值;(2)求的值.17、(本小题满分13分)如图,四棱锥的底面是平行四边形,,,分别是棱的中点.(1)证明平面;(2)若二面角P-AD-B为,①证明:平面PBC⊥平面ABCD②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.18、(本小题满分13分)设椭圆的左、右焦点分别为,,右顶点为A,上顶点为B.已知=.(1)求椭圆的离心率;(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点,经过点的直线与该圆相切与点M,=.求椭圆的方程.19(本小题满分14分)已知函数(1)求的单调区间和极值;(2)若对于任意的,都存在,使得,求的取值范围20(本小题满分14分)已知和均为给定的大于1的自然数,设集合,集合,(1)当时,用列举法表示集合A;设其中证明:若则.2014年天津高考文科数学试题逐题详解(纯word解析版)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.【2014年天津卷(文01)】是虚数单位,复数A.B.C.D.【答案】A【解析】【2014年天津卷(文02)】设变量、满足约束条件,则目标函数的最小值为A.B.C.D.【答案】B【解析】画出可行域,如图所示.解方程组得即点A(1,1).当目标函数线过可行域内A点时,目标函数有最小值,即zmin=1×1+2×1=3.【2014年天津卷(文03)】已知命题p:∀x>0,总有(x+1)ex>1,则¬p为(  ) A.∃x0≤0,使得(x0+1)ex0≤1B.∃x0>0,使得(x0+1)ex0≤1 C.∀x>0,总有(x+1)ex≤1D.∀x≤0,总有(x+1)ex≤1【答案】B【解析】根据全称命题的否定为特称命题可知,¬p为∃x0>0,使得(x0+1)e≤1,【2014年天津卷(文04)】设a=log2π,b=logπ,c=π﹣2,则(  ) A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a【答案】C【解析】log2π>1,logπ<0,0<π﹣2<1,即a>1,b<0,0<c<1,∴a>c>b【2014年天津卷(文05)】设{an}的首项为a1,公差为﹣1的等差数列,Sn为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1=(  ) A.2B.﹣2C.D.﹣【答案】D【解析】∵{an}是首项为a1,公差为﹣1的等差数列,Sn为其前n项和,∴S1=a1,S2=2a1﹣1,S4=4a1﹣6,由S1,S2,S4成等比数列,得:,即,解得:【2014年天津卷(文06)】已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为(  ) A.﹣=1B.﹣=1 C.﹣=1D.﹣=1【答案】A【解析】令y=0,可得x=﹣5,即焦点坐标为(﹣5,0),∴c=5,∵双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,∴=2,∵c2=a2+b2,∴a2=5,b2=20,∴双曲线的方程为﹣=1【2014年天津卷(文07)】如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F,在上述条件下,给出下列四个结论:①BD平分∠CBF;②FB2=FD•FA;③AE•CE=BE•DE;④AF•BD=AB•BF.所有正确结论的序号是(  ) A.①②B.③④C.①②③D.①②④【答案】D【解析】∵圆周角∠DBC对应劣弧CD,圆周角∠DAC对应劣弧CD,∴∠DBC=∠DAC.∵弦切角∠FBD对应劣弧BD,圆周角∠BAD对应劣弧BD,∴∠FBD=∠BAF.∵BD是∠BAC的平分线,∴∠BAF=∠DAC.∴∠DBC=∠FBD.即BD平分∠CBF.即结论①正确.又由∠FBD=∠FAB,∠BFD=∠AFB,得△FBD~△FAB.由,FB2=FD•FA.即结论②成立.由,得AF•BD=AB•BF.即结论④成立【2014年天津卷(文08)】已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R,在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为,则f(x)的最小正周期为(  ) A.B.C.πD.2π【答案】C【解析】∵已知函数f(x)=sinωx+cosωx=2sin(ωx+)(ω>0),x∈R,在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为,正好等于f(x)的周期的倍,设函数f(x)的最小正周期为T,则=,∴T=π二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.【2014年天津卷(文09)】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为,则应从一年级本科生中抽取____名学生.【答案】60【解析】由分层抽样的方法可得,从一年级本科生中抽取学生人数为300×=60【2014年天津卷(文10)】一个几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的体积为_________.【答案】【解析】由三视图可得,该几何体为圆柱与圆锥的组合体,其体积V=π×12×4+π×22×2=.【2014年天津卷(文11)】阅读如图的框图,运行相应的程序,输出S的值为  .【答案】-4【解析】依题由框图知,第一次循环得到:S=﹣8,n=2;第二次循环得到:S=﹣4,n=1;退出循环,输出﹣4【2014年天津卷(文12)】函数f(x)=lgx2的单调递减区间是  .【答案】(﹣∞,0)【解析】方法一:y=lgx2=2lg|x|,∴当x>0时,f(x)=2lgx在(0,+∞)上是增函数;当x<0时,f(x)=2lg(﹣x)在(﹣∞,0)上是减函数.∴函数f(x)=lgx2的单调递减区间是(﹣∞,0).方法二:原函数是由复合而成,∵t=x2在(﹣∞,0)上是减函数,在(0,+∞)为增函数;又y=lgt在其定义域上为增函数,∴f(x)=lgx2在(﹣∞,0)上是减函数,在(0,+∞)为增函数,∴函数f(x)=lgx2的单调递减区间是(﹣∞,0)【2014年天津卷(文13)】已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BC=3BE,DC=λDF、若•=1,则λ的值为  .【答案】2【解析】∵BC=3BE,DC=λDF,∴=,=,=+=+=+,=+=+=+,∵菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,∴||=||=2,•=2×2×cos120°=﹣2,∵•=1,∴(+)•(+)=++(1+)•=1,即×4+×4﹣2(1+)=1,整理得,解得λ=2【2014年天津卷(文14)】已知函数f(x)=,若函数y=f(x)﹣a|x|恰有4个零点,则实数a的取值范围为  .【答案】(1,2)【解析】由y=f(x)﹣a|x|=0得f(x)=a|x|,作出函数y=f(x),y=a|x|的图象,当a≤0,不满足条件,∴a>0,当a=2时,此时y=a|x|与f(x)有三个交点,当a=1时,此时y=a|x|与f(x)有五个交点,∴要使函数y=f(x)﹣a|x|恰有4个零点,则1<a<2三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.【2014年天津卷(文15)】(本小题满分13分)某校夏令营有3名男同学,A、B、C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如表:一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)(Ⅰ)用表中字母列举出所有可能的结果;(Ⅱ)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.解:(Ⅰ)用表中字母列举出所有可能的结果有:(A,B)、(A,C)、(A,X)、(A,Y)、(A,Z)、(B,C)、(B,X)、(B,Y)、(B,Z)、(C,X)、(C,Y)、(C,Z)、(X,Y)、(X,Z)、(Y,Z)共计15个结果.(Ⅱ)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,则事件M包含的结果有:(A,Y)、(A,Z)、(B,X)、(B,Z)、(C,X)、(C,Y),共计6个结果,故事件M发生的概率为=【2014年天津卷(文16)】(本小题满分13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a﹣c=b,sinB=sinC,(Ⅰ)求cosA的值;(Ⅱ)求cos(2A﹣)的值.解:(Ⅰ)将sinB=sinC,利用正弦定理化简得:b=c,代入a﹣c=b,得:a﹣c=c,即a=2c,∴cosA===;(Ⅱ)∵cosA=,A为三角形内角,∴sinA==,∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣,sin2A=2sinAcosA=,则cos(2A﹣)=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=【2014年天津卷(文17)】(本小题满分13分)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形,BA=BD=,AD=2,PA=PD=,E,F分别是棱AD,PC的中点.(Ⅰ)证明EF∥平面PAB;(Ⅱ)若二面角P﹣AD﹣B为60°,(i)证明平面PBC⊥平面ABCD;(ii)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.解:(Ⅰ)证明:连结AC,AC∩BD=H,∵底面ABCD是平行四边形,∴H为BD中点,∵E是棱AD的中点.∴在△ABD中,EH∥AB,又∵AB⊂平面PAB,EH⊄平面PAD,∴EH∥平面PAB.同理可证,FH∥平面PAB.又∵EH∩FH=H,∴平面EFH∥平面PAB,∵EF⊂平面EFH,∴EF∥平面PAB;(Ⅱ)(i)如图,连结PE,BE.∵BA=BD=,AD=2,PA=PD=,∴BE=1,PE=2.又∵E为AD的中点,∴BE⊥AD,PE⊥AD,∴∠PEB即为二面角P﹣AD﹣B的平面角,即∠PEB=60°,∴PB=.∵△PBD中,BD2+PB2=PD2,∴PB⊥BD,同理PB⊥BA,∴PB⊥平面ABD,∵PB⊂平面PBC,∴平面PAB⊥平面ABCD;(ii)由(i)知,PB⊥BD,PB⊥BA,∵BA=BD=,AD=2,∴BD⊥BA,∴BD,BA,BP两两垂直,以B为坐标原点,分别以BD,BA,BP为X,Y,Z轴,建立如图所示的空间直角坐标系B﹣DAP,则有A(0,,0),B(0,0,0),C(,﹣,0),D(,0,0),P(0,0,),∴=(,﹣,0),=(0,0,),设平面PBC的法向量为,∵,∴,令x=1,则y=1,z=0,故=(1,1,0),∵E,F分别是棱AD,PC的中点,∴E(,,0),F(,﹣,),∴=(0,,),∴===﹣,即直线EF与平面PBC所成角的正弦值为【2014年天津卷(文18)】(本小题满分13分)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|F1F2|.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过点F2的直线l与该圆相切于点M,|MF2|=2,求椭圆的方程.解:(Ⅰ)依题意可知=•2c,∵b2=a2﹣c2,∴a2+b2=2a2﹣c2=3c2,∴a2=2c2,∴e==.(Ⅱ)由(Ⅰ)知a2=2c2,∴b2=a2﹣c2=c2,∴椭圆方程为+=1,B(0,c),F1(﹣c,0)设P点坐标(csinθ,ccosθ),圆心为O∵PB为直径,∴BF1⊥PF1,∴k•BF1kPF1=•=﹣1,求得sinθ=﹣或0(舍去),由椭圆对称性可知,P在x轴下方和上方结果相同,只看在x轴上方时,cosθ==∴P坐标为(﹣c,c),∴圆心坐标为(﹣c,c),∴r=|OB|==c,|OF2|==c,∵r2+|MF2|2=|OF2|2,∴+8=c2,∴c2=3,∴a2=6,b2=3,∴椭圆的方程为+=1【2014年天津卷(文19)】(本小题满分14分)已知函数f(x)=x2﹣ax3(a>0),x∈R.(Ⅰ)求f(x)的单调区间和极值;(Ⅱ)若对于任意的x1∈(2,+∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)•f(x2)=1,求a的取值范围.解:(Ⅰ)f′(x)=2x﹣2ax2=2x(1﹣ax),∵a>0,∴当x<0或x时,f′(x)<0,当时,f′(x)>0,f(x)单调递减区间为:(﹣∞,0)和,单调递增区间为,当x=0时,有极小值f(0)=0,当x=时,有极大值f()=;(Ⅱ)由f(0)=f()=0及(Ⅰ)知,当x∈(0,)时,f(x)>0;当x∈(,+∞)时,f(x)<0.设集合A={f(x)|x∈(2,+∞)},集合B={|x∈(1,+∞),f(x)≠0},则对于任意的x1∈(2,+∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)•f(x2)=1,等价于AB⊆,显然A≠∅下面分三种情况讨论:(1)当>2,即0<a<时,由f()=0可知,0∈A,而0∈B,∴A不是B的子集;(2)当1≤≤2,即时,f(2)≤0,且f(x)在(2,+∞)上单调递减,故A=(﹣∞,f(2)),∴A⊆(﹣∞,0);由f(1)≥0,有f(x)在(1,+∞)上的取值范围包含(﹣∞,0),即(﹣∞,0)⊆B,∴AB⊆;(3)当<1,即a>时,有f(1)<0,且f(x)在(1,+∞)上单调递减,故B=(,0),A=(﹣∞,f(2)),∴A不是B的子集.综上,a的取值范围是[]【2014年天津卷(文20)】(本小题满分14分)已知q和n均为给定的大于1的自然数,设集合M={0,1,2,…,q﹣1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn﹣1,xi∈M,i=1,2,…n}.(Ⅰ)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(Ⅱ)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn﹣1,t=b1+b2q+…+bnqn﹣1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明:若an<bn,则s<t.(Ⅰ)解:当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|,xi∈M,i=1,2,3}.可得A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(Ⅱ)证明:由设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn﹣1,t=b1+b2q+…+bnqn﹣1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.an<bn,∴an﹣bn≤﹣1.可得s﹣t=(a1﹣b1)+(a2﹣b2)q+…++≤﹣[1+q+…+qn﹣2+qn﹣1]=<0.∴s<t
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