第1页共11页2021年高考文数真题试卷（全国乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，总共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共51分）1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则Cu（MUN）=（ ）A. {5} B. {1,2} C. {3,4} D. {1,2,3,4}【答案】A【考点】交集及其运算，补集及其运算【解析】【解答】因为U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4}则MUN＝{1，2，3，4}，于是Cu（MUN）={5}。故答案为：A【分析】先求MUN，再求Cu（MUN）。2.设iz=4+3i，则z等于（ ）A. -3-4i B. -3+4i C. 3-4i D. 3+4i【答案】C【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】因为iz=4+3i，所以Z＝4+3ii=4i−3−1=3−4i。故答案为：C【分析】直接解方程，由复数的除法运算法则，得到结果。3.已知命题p：∃xR∈，sinx＜1；命题q：∀xR∈，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（）A. p∧q B. ¬p∧q C. p∧¬q D. ¬(pVq)【答案】A【考点】全称量词命题，存在量词命题，命题的否定，命题的真假判断与应用【解析】【解答】因为命题P是真命题，命题q也是真命题，故答案为：A【分析】先判断命题p，q的真假，然后判断选项的真假。4.函数f（x）=sinx3+cosx3的最小正周期和最大值分别是（ ）A. 3π和√2 B. 3π和2 C. 6π和√2 D. 6π和2【答案】C【考点】正弦函数的图象，y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，正弦函数的周期性，正弦函数的零点与最值【解析】【解答】因为f（x）=sinx3+cosx3＝√22sin(x3+π4),所以周期T＝2π13＝6π，值域[－√2，√2]。即最大值是√2，故答案为：C。【分析】先将f（x）解析式化成Asin(ωx+φ)的形式，再由正弦函数的周期公式计算周期，再由正弦函数的性质，得到它的最大与最小值。第2页共11页5.若x，y满足约束条件{x+y≥4x−y≤2y≤3,则z=3x+y的最小值为（ ）A. 18 B. 10 C. 6 D. 4【答案】C【考点】简单线性规划【解析】【解答】作出线性约束的可行域（如图阴影部分所示区域），当直线z=3x+y经过点（1，3）时，z取得最小值。此时zmin=3x1+3=6. 故答案为：C【分析】先作出可行域，再通过目标函数以及可行域，确定最优解，进一步得到答案。6.cos2π12−cos25π12=¿ （ ）A. 12 B. √33 C. √22 D. √32【答案】D【考点】二倍角的余弦公式【解析】【解答】因为cos2π12−cos25π12=¿ 1+cos(2×π12)2−1+cos(2×5π12)2=12(cosπ6−cos5π6)=√32故选D。 第3页共11页【分析】由降幂公式，可以化成特殊角的三角函数求值。7.在区间(0,12)随机取1个数，则取到的数小于13的概率为（ ）A. 34 B. 23 C. 13 D. 16【答案】B【考点】几何概型【解析】【解答】由几何概型得：P＝13－012－0＝23.故答案为：B【分析】由几何概型概率公式即可得到结果。8.下列函数中最小值为4的是（ ）A. y=x2+2x+4 B. y=¿sinx∨+4¿sinx∨¿¿ C. y=2x+22−x D. y=lnx+4lnx【答案】C【考点】函数的最值及其几何意义，指数函数的定义、解析式、定义域和值域，对数函数的图象与性质，基本不等式【解析】【解答】对于A：因为y=(x+1)2+3,则ymin=3;故A不符合题意；对于B：因为y=¿sinx∨+4¿sinx∨¿¿，设t=|sinx|( t∈¿),则y=g(t)=t+4t(00时，若a为极大值点，则(如图1)，必有ab>a2,故A错。故答案为：D.【分析】对a的正负进行讨论，根据极值点的意义，作图分析，得到正确选项。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分（共4题；共17分）13.已知向量a=(2,5),b=(λ,4)，若⃗a/¿⃗b，则λ=________.第6页共11页【答案】85【考点】平面向量的坐标运算，平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】【解答】因为a⇀=(2,5),b⇀=(λ,4)，且⃗a/¿⃗b，则2×4－5λ＝0，则λ＝85。【分析】根据向量平行的条件即可得到结果。14.双曲线x24−y25=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为________.【答案】√5【考点】直线与圆锥曲线的关系【解析】【解答】由题意得，a2=4,b2=5,所以c2=a2+b2=9,所以c=3(c>0),所以椭圆的右焦点是(3,0)，则右焦点(3,0)到直线x+2y-8的距离为d=¿3+2×0−8∨¿√12+22=√5¿.【分析】先求出椭圆的右焦点坐标，然后用点到直线的距离公式求焦点到直线的距离即可。15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为√3，B=60°，a2+c2=3ac，则b=________.【答案】2√2【考点】余弦定理，三角形中的几何计算【解析】【解答】S△ABC=12acsinB=12acsin600=√34ac=√3⇒ac=4,于是b=√a2+c2−2accosB=√a2+c2−ac=√2ac=2√2【分析】根据面积的值，计算出ac，再由余弦定理求解。16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为________（写出符合要求的一组答案即可）.【答案】②⑤或③④【考点】由三视图还原实物图【解析】【解答】当俯视图为④时，右侧棱在左侧，不可观测到，所以为虚线，故选择③为侧视图；当俯视图为⑤时，左侧棱在左侧可观测到，所以为实线，故选择②为侧视图，故答案为：②⑤或③④【分析】分情况讨论各种视图的位置关系。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共50分）17.某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和第7页共11页一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为s12和s22（1）求x，y，s12，s22；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y-x≥2√s12+s222，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.【答案】（1）解：各项所求值如下所示x=110(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0y=110(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3s12=110x[(9.7-10.0)2+2x(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2x(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2]=0.36，s22=110x[(10.0-10.3)2+3x(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2x(10.4-10.3)2+2x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0.4.（2）由(1)中数据得y-x=0.3，2√s12+s2210≈0.34显然y-x＜2√s12+s2210，所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差【解析】【分析】（1）先计算新旧样本平均数x,y，再直接用公式计算s12，s22；(2)由(1)中的数据，计算得：y-x=0.3，2√s12+s2210≈0.34，显然y-x＜2√s12+s2210，可得到答案。18.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM.（1）证明：平面PAM⊥平面PBD；（2）若PD=DC=1，求四棱锥P-ADCD的体积.第8页共11页【答案】（1）因为PD⊥底面ABCD，AM⊂平面ABCD，所以PD⊥AM，又PB⊥AM，PB∩PD=P，所以AM⊥平面PBD，而AM⊂平面PAM，所以平面PAM⊥平面PBD．（2）由（1）可知，AM⊥平面PBD，所以AM⊥BD，从而△DAB△ABM，设BM=x，AD=2x，则BMAB=ABAD，即2x2=1，解得x=√22，所以AD=√2．因为PD⊥底面ABCD，故四棱锥P−ABCD的体积为V=13×(1×√2)×1=√23．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定【解析】【分析】（1）由PD垂直平面ABCD，及PB垂直AM，可以证明AM⊥平面PBD，从而可能证明平面PAM⊥平面PBD；（2）由连接BD（1）可得AM⊥BD，证明 △DAB△ABM通过计算，求出高AD=√2，再用棱锥体积公式直接得到答案。19.设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn=nan3，已知a1，3a2，9a3成等差数列.（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和.证明：Tn0)的焦点F到准线的距离为2.（1）求C的方程.（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足⃗PQ=9⃗QF，求直线OQ斜率的最大值.【答案】（1）抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(p2,0)，准线方程为x=−p2，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为p2−(−p2)=p=2，所以该抛物线的方程为y2=4x；（2）设Q(x0,y0)，则⃗PQ=9⃗QF=(9−9x0,−9y0)，所以P(10x0−9,10y0)，由P在抛物线上可得(10y0)2=4(10x0−9)，即x0=25y02+910，所以直线OQ的斜率kOQ=y0x0=y025y02+910=10y025y02+9，当y0=0时，kOQ=0；当y0≠0时，kOQ=1025y0+9y0，当y0>0时，因为25y0+9y0≥2√25y0⋅9y0=30，此时00,a<13时，f′(x)=0的解为：x1=2−√4−12a6,x2=2+√4−12a6，当x∈(−∞,2−√4−12a6)时，f′(x)>0,f(x)单调递增；当x∈(2−√4−12a6,2+√4−12a6)时，f′(x)<0,f(x)单调递减；当x∈(2+√4−12a6,+∞)时，f′(x)>0,f(x)单调递增；综上可得：当a≥13时，f(x)在R上单调递增，当a<13时，f(x)在(−∞,2−√4−12a6)上单调递增，在(2−√4−12a6,2+√4−12a6)上单调递减，在(2+√4−12a6,+∞)上单调递增.（2）由题意可得：f(x0)=x03−x02+ax0+1，f′(x0)=3x02−2x0+a，则切线方程为：y−(x03−x02+ax0+1)=(3x02−2x0+a)(x−x0)，切线过坐标原点，则：0−(x03−x02+ax0+1)=(3x02−2x0+a)(0−x0),整理可得：2x03−x02−1=0，即：(x0−1)(2x02+x0+1)=0，解得：x0=1，则f(x0)=f(1)=1−1+a+1=a+1，即曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标为(1,a+1).【考点】导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性【解析】【分析】（1）先对函数求导，通过分类讨论a的取值，确定导数的符号，来确定函数的单调区间；（2）先设切点坐标横坐标x0,通过求导求出切线的斜率，写出切线的方程，再利用切线过原点的条件，就可以得到x0的值，进一步得到公共点坐标。四、[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1题；共2分）22.在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C（2，1），半径为1.第11页共11页（1）写出⊙C的一个参数方程；（2）过点F（4，1）作⊙C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.【答案】（1）因为⊙C的圆心为(2，1)，半径为1.故⊙C的参数方程为{x=2+cosθy=1+sinθ（θ为参数).（2）设切线y=k（x-4)+1，即kx-y-4k+1=0.故¿2k−1−4k+1∨¿√1+k2¿ =1即|2k|=√1+k2，4k2=1+k2，解得k=±√33.故直线方程为y=√33 (x-4)+1，y=−√33 (x-4)+1故两条切线的极坐标方程为ρsinθ=√33cosθ-43√3+1或ρsinθ=√33cosθ+43√3+1.【考点】点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程【解析】【分析】（1）根据圆的参数方程的定义，不难得到圆的参数方程；（2）设出过点（4，1）的圆的切线方程，利用直线与相切求出切线的斜率，进而求得两条切线的方程，并将它们化为极坐标方程。五、[选修4-5：不等式选讲]（共1题；共2分）23.已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|.（1）当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若f（x）≥-a，求a的取值范围.【答案】（1）解：a=1时，f(x)=|x-1|+|x+3|，即求|x-1|+|x-3|≥6的解集.当x≥1时，2x十2≥6，得x≥2;当-3-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.当x在a和-3之间时最小，此时f(x)最小值为|a+3|，即|a+3|＞-a.A≥-3时，2a+3>0，得a>-32；a<-3时，-a-3>-a，此时a不存在.综上，a>-32.【考点】不等式的综合【解析】【分析】（1)当a=1，写出f(x)=|x-1|+|x+3|，进一步分段讨论去值，解不等式；（2）只要保证f(x)最小值>-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.
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