北京市东城区高三综合练习(二)数学文科+参考答案word版

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北京市东城区2009—2010学年度高三综合练习（二）数学试题2010.5本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共150分。考试时间长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，第小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知复数z=(a－1)+i，若z是纯虚数，则实数a等于（）A．2B．1C．0D．－12．设集合}10|{},30|{xxNxxM，那么“Ma”是“Na”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知nm,为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．m∥n，m⊥αn⊥αB．α∥β，mα，nαm∥nC．m⊥α，m⊥nn∥αD．mα，nα，m∥β，n∥βα∥β4．若曲线22xy的一条切线l与直线x+4y－8=0垂直，则切线l的方程为（）A．034yxB．094yxC．034yxD．024yx5．已知函数)()(,log)(,1,0,1,88)(2xgxfxxgxxxxf与则两函数图象的交点个数为（）A．4B．3C．2D．16．已知双曲线)0,0(12222babyax的左右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，若35||||21AFAF，则双曲线的离心率等于（）A．2B．3C．2D．37．若函数2,1)21(,2,)2()(xxxaxfx是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是（）A．（－∞，2）B．（－∞，]813C．（0，2）D．)2,813[8．已知数列nbaNnaabbaannnn的能使中),(11),1(,}{*11可能等于（）A．14B．15C．16D．17第II卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡相应位置的横线上.9．命题“000,xeRxx”的否定是.10．已知向量a=（1，1），a·b=3，|a+b|=13，则|a|=，|b|=.11．在直角坐标系xOy中，设集合}10,10|),{(yxyx，在区域内任取一点P（x，y），则满足1yx的概率等于.12．已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成根据图中标出的尺寸，计算这个几何体的表面积是.13．执行如图所示的程序框图，输出的T=.14．已知函数)22sin()(,sin)(xxgxxf,有下列命题：①当)()(,2xgxf时的最小正周期是2；②当)()(,1xgxf时的最大值为89；③当)(,2xf将函数时的图象向左平移2可以得到函数)(xg的图象．其中正确命题的序号是（把你认为正确的命题的序号都填上）.三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（本小题满分13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且0=2，cosB=54.（1）若b=3，求sinA的值；（2）若△ABC的面积ABCS=3，求b，c的值.16．（本小题满分13分）随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区问[160，165)，[165，170)，[170，175)，[175，180)，[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图(如图).（1）求频率分布直方图中x的值及身高在170cm以上的学生人数；（2）将身高在[170，175]，[175，180)，[180，185]敬意内的学生依次记为A，B，C三个组，用分层抽样的方法从这三个组中抽取6人，求从这三个组分别抽取的学生人数；（3）在（2）的条件下，要从6名学生中抽取2人，用列举法计算B组中至少有1人被抽中的概率.17．（本小题满分14分）如图，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD=DC=4，AD=2，E为PC的中点．（1）求证：AD⊥PC；（2）求三棱锥A—PDE的体积；（3）AC边上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM，若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．18．（本小题满分13分）已知等比数列{an}的公比q>1，42是a1和a4的一个等比中项，a2和a3的等差中项为6，若数列{bn}满足bn=log2an(n∈N*).（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{anbn}的前n项和Sn．19．（本小题满分13分）已知椭圆)0(1:2222babyaxC的短轴长为2，且与抛物线xy342有共同的焦点，椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AP，BP与直线y=3分别交于G，H两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求线段GH的长度的最小值；（3）在线段GH的长度取得最小值时，椭圆C上是否存在一点T，使得△TPA的面积为1，若存在求出点T的坐标，若不存在，说明理由．20．（本小题满分14分）已知函数，.ln)(2axxxxf（1）若函数，f(x)在其定义域上为增函数，求a的取值范围；（2）设)(11*Nnnan，求证：.2)1ln()(32222121nxaaaaaann参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．B2．B3．A4．D5．C6．A7．B8．C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．xeRxx,10．5,211．2112．1113．2014．①②注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.三、解答题(本大题共6小题，共80分)15．（本小题满分13分）解：（1）因为BB0,54cos又，所以.53cos1sin2BB……………………2分由正弦定理，得.52sinsinbBaA……………6分（2）因为,3sin21BacSABC所以.5.353221cc所以………………9分由余弦定理，得.135452252cos222222Baccab所以.13b……………………………………13分16．（本小题满分13分）解：（1）由频率分布直方图可知)01.002.004.007.0(515x所以.06.0]14.051[51x……………………3分60)502.0504.0506.0(100（人）.………………5分（2）A，B，C三组的人数分别为30人，20人，10人.因此应该从A，B，C组中每组各抽取330630（人），203062（人），103061（人）.………8分（3）在（2）的条件下，设A组的3位同学为A1，A2，A3，B组的2位同学为B1，B2，C组的1位同学为C1，则从6名学生中抽取2人有15种可能：).,(),,(),,(),,(),,(),,(),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(121121132313122212321121113121CBCBBBCABABACABABAAACABABAAAAA其中B组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能；),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(121121231322122111CBCBBBBABABABABABA所以B组中至少有1人被抽中的概率为.53159P…………13分17．（本小题满分14分）（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD.………………………………………………2分又因为ABCD是矩形，所以AD⊥CD.……………………3分因为PDCD=D，所以AD⊥平面PCD.又因为PC平面PCD，所以AD⊥PC.…………………5分（2）解：因为AD⊥平面PCD，所以AD是三棱锥A—PDE的高.因为E为PC的中点，且PD=DC=4，所以.4)4421(2121PDCPDESS………………7分又AD=2，所以.38423131PDEPDEASADV…………9分（2）解：取AC中点M，连结EM，DM，因为E为PC的中点，M是AC的中点，所以EM∥PA.又因为EM平面EDM，PA平面EDM.所以PA∥平面EDM.………………12分所以521ACAM.即在AC边上存在一点M，使得PA∥平面EDM，AM的长为5.…………14分18．（本小题满分13分）解：（1）因为24是a1和a4的一个等比中项，所以.32)24(241aa由题意可得.12,323232aaaa……………………2分在为.,1.23aaq所以解得.8,432aa…………………………4分所以.223aaq故数列}{na的通项公式.2nna……………………6分（2）由于.2,),(log*2nnnnnnnbanbNnab所以.22)1(232221132nnnnnS①.22)1(22212132nnnnnS②①－②得.221)21(22222211132nnnnnnnS.22211nnnnS所以…………………………13分19．（本小题满分13分）解：（1）由已知得，抛物线的焦点为.1,3),0,3(bc又则由.4,2222acba可得故椭圆C的方程为.1422yx…………………………4分（2）直线AP的斜率k显然存在，且k>0，故可设直AP的方程为)2(xky，从而).3,23(kG由.041616)41(.14)2(222222kxkxkyxxky得…………6分.121232123,0.|4123||212,23|||).3,212(.3,212.3),2(41.41),0,2(),414,4182(.414,4182.41416)2(),,(2222122122111kkkkkkkkKGHkHykxyxkykPBBkkkkPkkykkxkkxyxP又故所以得由的斜率为则直线又即从而所以则设当且仅当21,123kkk即时等号成立.所以21k时，线段GH的长度取最小值8.…………………………8分（3）由（2）可知，当GH取最小值时，21k.则直线AP的方程为.5||),1,0(,022APPyx此时若椭圆C上存在点T，使得TPA的面积等于1，则点T到直线AP的距离等于552，所以T在平行于AP且与AP距离等于552的直线l上.设直线.21:txyl则由.0222.14,212222ttxxyxtxy得………………10分).(20,5525|22|,.2.0)1(84222舍去或解得得由平行线间的距离公式即tttttt可求得).22,2()22,2(或T…………………………13分20．（本小题满分14分）解：（1）函数),0(ln)(2xaxxxxf).0(21)(xaxxxf则…………………………3分因为),0()(在xf上为单调增函数，所以),0(0)(在xf上恒成立.即021axx),0(在上恒成立.所以.2221,0.21xxxaxx时因为当当且仅当22,21xxx即时等号成立.所以22a.故关数a的取值范围是].22,(…………………………7分（2）.3ln)(,32xxxxfa则令.)1)(12(132321)(2xxxxxxxxxf当,0)(,1xfx时所以),1()(在xf上是增函数.所以.2)1()11(fnf所以.2)11(3)11()11ln(2nnn所以).11ln(2)11()11(32nnn即).11ln(232naann………………10分所以),11ln(23211aa).1ln(2)1ln2()23ln2()12ln2()3()3()3()(3).11ln(23),311ln(23),211ln(23222221122221212333222nnnnaaaaaaaaaaaanaaaaaannnnnn所以故所证不等式成立.………………………………14分