《陕西卷》高考数学理科试题+答案

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陕西省理数一、选择题1.集合A= {x∣12x}，B={x∣x<1}，则()RABð=（D）（A）{x∣x>1}(B){x∣x≥  1}(C){x∣12x}(D){x∣12x}2.复数1izi在复平面上对应的点位于（A）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限3.对于函数()2sincosfxxx，下列选项中正确的是（B）（A）()fxf（x）在（4，2）上是递增的（B）()fx的图像关于原点对称（C）()fx的最小正周期为2（D）()fx的最大值为24.5()axx（xR）展开式中3x的系数为10，则实数a等于（D）（A）-1（B）12(C)1(D)25.已知函数()fx=，若((0))ff=4a，则实数a=（C）（A）12（B）45(C)2(D)96.右图是求样本x1，x2，…x10平均数x的程序框图，图中空白框中应填入的内容为【A】(A)S=S+xn(B)S=S+nxn(C)S=S+n(D)S=S+1n7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是【C】(A)13(B)23(C)1(D)28.已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2－6x－7=0相切，则p的值为【C】(A)1212(B)1(C)2(D)49.对于数列｛an｝，“an+1＞∣an∣（n=1，2…）”是“｛an｝为递增数列”的【B】(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)必要条件(D)既不充分也不必要条件10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表。那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为【B】(A)y=10x310x(B)y=310x(C)y=410x(D)y=510x二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）。11.已知向量α  =（2，-1），b=(-1,m)，c=(-1,2),若（a+b）‖c,则m=_-1_____12.观察下列等式：13+23=32，13+23+32=62，13+23+33+43=102，……，根据上述规律，第五个等式为_13+23+__32__+43____+53__=212___________.13.从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x,y）,则点M取自阴影部分的概率为14.铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：ab(万吨)C（百万元）A50%13B70%0．56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁,若要求的排放量不超过2(万吨),则购买铁矿石的最少费用为_15_(百万元)15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)A.(不等式选做题)不等式的解集为.B.(几何证明选做题)如图,已知的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm,以AC为直径的图与AB交于点D,则.C.(坐标系与参数方程选做题)已知圆C的参数方程为以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为则直线与圆C的交点的直角坐标为三.解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共75分)16.(本小题满分12分)已知是公差不为零的等差数列,成等比数列.求数列的通项;求数列的前n项和解由题设知公差由成等比数列得解得(舍去)故的通项,由等比数列前n项和公式得17．（本小题满分12分）如图，A，B是海面上位于东西方向相聚5（3+）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D点需要多长时间？解由题意知AB=海里，∠ DAB=90°—60°=30°，∠ DAB=90°—45°=45°，∴∠ADB=180°—（45°+30°）=105°，在△ADB中，有正弦定理得18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA  ⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2 √  2，E，F分别是AD，PC的重点（Ⅰ）证明：PC  ⊥平面BEF；（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。解法一（Ⅰ）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP算在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系。∵AP=AB=2,BC=AD=2√  2,四边形ABCD是矩形。∴A，B，C，D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2 √  2,0)，D(0，2 √  2，0)，P(0,0,2)又E，F分别是AD，PC的中点，∴E(0，√  2，0),F(1，√  2，1)。∴PC=（2，2 √  2，-2）BF=（-1，√  2，1）EF=（1,0,1），∴PC·BF=-2+4-2=0，PC·EF=2+0-2=0，∴PC⊥BF，PC⊥EF，∴PC⊥BF,PC⊥EF,BF ∩  EF=F,∴PC⊥平面BEF（II）由（I）知平面BEF的法向量平面BAP的法向量设平面BEF与平面BAP的夹角为 θ ，则∴ θ=45℃，∴平面BEF与平面BAP的夹角为45解法二（I）连接PE，EC在PA=AB=CD,AE=DE,∴PE=CE,即 △PEC是等腰三角形，又F是PC的中点，∴EF⊥PC,又，F是PC的中点，∴BF⊥PC.又19（本小题满分12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得身高情况的统计图如下：（）估计该小男生的人数；（）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率；（）从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170~180cm之间的概率。解（）样本中男生人数为40，由分层出样比例为10%估计全校男生人数为400。（）有统计图知，样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70，所以样本中学生身高在170~185cm之间的频率故有f估计该校学生身高在170~180cm之间的概率（）样本中女生身高在165~180cm之间的人数为10，身高在170~180cm之间的人数为4。设A表示事件“从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170~180cm之间”，则20.（本小题满分13分）如图，椭圆C：的顶点为A1,A2,B1,B2,焦点为F1,F2,|A1B1| =,(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线，，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。解（1）由知a2+b2=7,①由知a=2c,②又b2=a2-c2③由①②③解得a2=4,b2=3,故椭圆C的方程为。（2）设A,B两点的坐标分别为（x1,y1）(x2,y2)假设使成立的直线l不存在，（1）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m,由l与n垂直相交于P点且得，即m2=k2+1.∵,21、(本小题满分14分)已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，aR。（1）若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；（2）设函数h(x)=f(x)-g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值（a）的解析式；（3）对（2）中的（a），证明：当a（0，+）时，（a）1.解（1）f’(x)=12x,g’(x)=ax(x>0),由已知得x=alnx，12x=ax，解德a=2e,x=e2,两条曲线交点的坐标为（e2,e）切线的斜率为k=f’(e2)=12e,切线的方程为y-e=12e(x-e2).（1）当a.>0时，令h\'(x)=0,解得x=24a,所以当024a时，h\'(x)>0，h(x)在（0，24a）上递增。所以x>24a是h(x)在（0，+∞）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。所以Φ （a）=h(24a)=2a-aln24a=2（2）当a  ≤   0时，h(x)=(1/2-2a)/2x>0,h(x)在（0，+∞）递增，无最小值。故h(x)的最小值Φ （a）的解析式为2a(1-ln2a)(a>o)（3）由（2）知Φ （a）=2a(1-ln2a)则Φ 1（a）=-2ln2a，令Φ 1（a）=0解得a=1/2当00，所以Φ （a）在(0,1/2)上递增当a>1/2时，Φ 1（a）<0，所以Φ（a）在(1/2,+∞)上递减。所以Φ（a）在(0,+∞)处取得极大值Φ（1/2）=1因为Φ（a）在(0,+∞)上有且只有一个极致点，所以Φ（1/2）=1也是Φ（a）的最大值所当a属于(0,+∞)时，总有Φ（a）  ≤  1