2011年高考一轮课时训练(理)8.4平面向量的拓展与应用+参考答案(通用版)

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第四节　平面向量的拓展与应用题号12345答案一、选择题1．(2010年广东卷)一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(　　)A．6　　　　B．2　　　　C．2　　　　D．22．(2010年陕西卷)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP＝2PM，则AP·(PB＋PC)等于(　　)A.B.C．－D．－3．(2010年浙江卷)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝()A.B.C.D.4．(2010年福建卷)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于(　　)A．以a，b为邻边的平行四边形的面积B．以b，c为两边的三角形面积C．以a，b为两边的三角形面积D．以a，c为邻边的平行四边形的面积5．(2010年滨州模拟)已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是(　　)A.B.C.D.二、填空题6.(2009年天津卷)如右图所示，在平行四边形ABCD中，AC＝，BD＝，则AD·AC＝__________.7.如右图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则AD·BC＝__________.8．已知△ABC中，点A、B、C的坐标依次是A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，则AD的坐标是：________.三、解答题9．(2010年湖南卷)在△ABC，已知2AB·AC＝|AB|·|AC|＝3BC2，求角A、B、C的大小．10．(2010年广东卷)已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈(1)求sinθ和cosθ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝3cosφ，0＜φ＜，求cosφ的值．参考答案1．解析：F＝F＋F－2F1F2cos(180°－60°)＝28，所以F3＝2，选D.答案：D2．解析：由AP＝2PM知，P为△ABC的重心，根据向量的加法，PB＋PC＝2PM则AP·(PB＋PC)＝2AP·PM＝2|AP||PM|cos0°＝2×××1＝.答案：A3．解析：不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)；又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，则有m＝－，n＝－.答案：D4．解析：设a与b的夹角为θ，|b·c|＝|b|·|c|·|cos＜b，c＞|＝|b|·|a|·|cos(90°±θ)|＝|b|·|a|·sinθ，即为以a，b为邻边的平行四边形的面积．答案：A5．解析：|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则|a|2－4a·b≥0，设向量a，b的夹角为θ，cosθ＝≤＝，∴θ∈，故选B.答案：B6．解析：令AB＝a，AD＝b，则⇒a＝(2,0)，b＝(－1,2)，所以AD·AC＝b·(a＋b)＝3.答案：37．解析：法一：由余弦定理得cos∠BAC＝，cosB＝＝，可得BC＝，AD＝，又AD，BC夹角大小为∠ADB，cos∠ADB＝＝－，所以AD·BC＝AD×BC×cos∠ADB＝－.法二：根据向量的加减法法则有：BC＝AC－AB，AD＝AB＋BD＝AB＋(AC－AB)＝AC＋AB，此时AD·BC＝(AC－AB)＝2＋AC·AB－2＝－－＝－.答案：－8．解析：设D(x，y)，则AD＝，BD＝，BC＝，∵AD⊥BC，BD∥BC，∴得，所以AD＝.答案：(－1,2)9．解析：设BC＝a，AC＝b，AB＝c由2AB·AC＝|AB||AC|得2bccosA＝bc，所以cosA＝.又A∈(0，π)，因此A＝.由|AB||AC|＝3BC2得bc＝a2，于是sinC·sinB＝sin2A＝，所以sinC·sin＝，sinC·＝，因此2sinC·cosC＋2sin2C＝，sin2C－cos2C＝0，即sin＝0.由A＝知0＜C＜，所以－＜2C－＜，从而2C－＝0，或2C－＝π，即C＝，或C＝，故A＝，B＝，C＝，或A＝，B＝，C＝.10．解析：(1)∵a⊥b，∴a·b＝sinθ－2cosθ＝0，即sinθ＝2cosθ.又∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1，即cos2θ＝，∴sin2θ＝.又θ∈，∴sinθ＝，cosθ＝.(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cosθcosφ＋sinθsinφ)＝cosφ＋2sinφ＝3cosφ，∴cosφ＝sinφ，∴cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ，即cos2φ＝，又0＜φ＜，∴cosφ＝.