2011年石家庄高三一模拟数学(理科)试题试卷+答案

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试卷类型：A2011年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)说明：1．本试卷共4页，包括三道大题，22道小题，共150分．其中第一道大题为选择题．2．所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．3．做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案．参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率Pn(k)=Cknpk(1-p)kn(k=0，l，2，…，n)球的表面积公式S=4R2其中R表示球的半径球的体积公式V=34R3其中R表示球的半径一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的．1．已知i是虚数单位，复数ii11的虚部为A．-1B．1C．iD．-i2．若},13|{},2|||{xRxBxRxA则BAA．(-2，2)B．(-2，-1)C．(0，2)D．(-2，0)抛物线y2=4x的焦点坐标为A．(2，0)B．(1，0)C．(0，-4)D．(-2，0)3．右图中的小网格由等大的小正方形拼成，则向量baA．213eeB．213eeC．213eeD．213ee4．已知),,0(且22cossin，则cossin的值为A．2B．26C．2D．265．已知椭圆162x+252y=1的焦点分别是1F、2F，P是椭圆上一点，若连结1F、2F、P三点恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是A．516B．3C．316D．3256．若多项式x10=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a10（x-1）10，则a8的值为A．10B．45C．-9D．-457．已知a、b、c成等差数列，则直线0cbyax被曲线02222yxyx截得的弦长的最小值为A．2B．1C．22D．28．已知],2,2[,且,0sinsin则下列结论正确的是A．33B．0C．||||D．||||9．设x，y满足约束条件0004402yxyxyx，若目标函数)0,0(babyaxz的最大值为6，则)21(log3ba的最小值为A．1B．3C．2D．410．对于非空数集A，若实数M满足对任意的Aa恒有M，a则M为A的上界；若A的所有上界中存在最小值，则称此最小值为A的上确界，那么下列函数的值域中具有上确界的是A．y=2xB．y=x)21(C．y=x21D．y=xln11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，FDAAACABBAC和,1,21分别为棱AC、AB上的动点（不包括端点），若FC1,1DB则线段DF长度的取值范围为A．]23,22[B．)1,33[C．)1,22[D．]22,32[12．设函数,0),1(0],[)(xxfxxxxf其中][x表示不超过x的最大整数，如]2,1[=-2，]2.1[=1，]1[=1，若直线y=)0(kkkx与函数y=)(xf的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是A．]31,41(B．]41,0(C．]31,41[D．)31,41[二、填空题：本大题共4小题，每小题5分；共20分．13.已知直线012:1yaxl与直线0)3(:2ayxal，若1l2l，则实数a的值为．14．在三棱锥P-ABC中，PBABC,90平面ABC，AB=BC=22，PB=2，则点B到平面PAC的距离是．15．用直线y=m和直线y=x将区域x2+y26分成若干块。现在用5种不同的颜色给这若干块染色，每块只染一种颜色，且任意两块不同色，若共有120种不同的染色方法，则实数m的取值范围是．16．已知ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且满足2225bca，BE与CF分别为边AC、AB上的中线，则BE与CF夹角的余弦值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分l0分)在ABC中，角A、B、C的对边长分别是a、b、c，若.0cos)2(cosBcaCb(I)求内角B的大小；(Ⅱ)若b=2，求ABC面积的最大值．18．(本小题满分12分)如图所示，五面体ABCDE中，正ABC的边长为1，AE平面ABC，CD∥AE，且CD=21AE．(I)设CE与平面ABE所成的角为，AE=),0(kk若],4,6[求k的取值范围；(Ⅱ)在(I)和条件下，当k取得最大值时，求平面BDE与平面ABC所成角的大小．19．(本小题满分12分)已知函数).(ln)(2Raaxxxxf（I）求函数)(xf的单调区间．（II）若,2)(2xxf求a的取值范围．20．(本小题满分l2分)在“环境保护低碳生活知识竞赛”第一环节测试中，设有A、B、C三道必答题，分值依次为20分、30分、50分．竞赛规定：若参赛选手连续两道题答题错误，则必答题总分记为零分；否则各题得分之和记为必答题总分已知某选手回答A、B、C三道题正确的概率分别为21、31、41，且回答各题时相互之间没有影响(I)若此选手可以自由选择答题顺序，求其必答题总分为50分的概率；(Ⅱ)若此选手按A、B、C的顺序答题，求其必答题总分的分布列和数学期望．21．(本小题满分l2分)已知椭圆1322yx的上、下顶点分别为),(),(,11121yxNyxMAA和和是椭圆上两个不同的动点．(I)求直线MA1与NA2交点的轨迹C的方程；(Ⅱ)若过点F(0，2)的动直线z与曲线C交于A、B两点，,FBAF问在y轴上是否存在定点E，使得)(EBEAOF?若存在，求出E点的坐标；若不存在，说明理由．22．(本小题满分l2分)已知数列}{na中，.,31)11(,1*1211Nnanaannn（I）求证：当;32*na，Nnn时且（II）求证：*3,Nnean(e为自然对数的底数，参考数据4.14ln,1.13ln)．2010-2011年度石家庄市第一次模拟考试理科数学答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.（A卷答案）:1-5ADCDA6-10BDDAB11-12CD（B卷答案）:1-5BDCDB6-10ADDBA11-12CD二、填空题:本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．1或214.215.3,316.0三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）解：（I）解法一：∵0cos)2(cosBcaCb，由正弦定理得：BABCCBcossin2cossincossin，E即BACBcossin2)sin(.………………2分在ABC△中，ACBπ，∴BAAcossin2sin，0sinA………………3分∴21cosB，∴3π2B.………………5分解法二：因为0cos)2(cosBcaCb，由余弦定理222222(2)022abcacbbacabac，化简得222aaccb，……………2分又余弦定理2222cosacacBb,……………3分所以1cos2B,又(0,)B,有23B.……………5分（II）解法一：∵2222cosbacacB，∴224acac，……………6分23acacac.∴43ac，………………8分∴11433sin22323ABCSacB．………………9分当且仅当233ac时取得等号．……………………10分解法二：由正弦定理知：BbCcsinsin，)3πsin(3343π2sin)3πsin(2sinsinAABCbc.………………6分∴ABCS△Abcsin21)3π0(sin)3πsin(334AAA,AAAsin)sin21cos23(334AAA2sin332cossin2)2cos1(332sinAA332cos332sinAA33)6π2sin(332A，………………8分∵3π0A，∴6π56π26πA，∴12πsin)6π2sin(A，………………9分∴3333)6π2sin(332A，即ABC△的面积ABCS△的最大值是33.………………10分18．(本小题满分12分)解：方法一：（Ⅰ）取AB中点M,连结CM、EM,由ABC为正三角形，得CMAB，又AEABC面，则AECM，可知CMABE面，所以MEC为CE与平面ABE所成角．……………2分232tan14CMEMk，………………4分因为[,]64，得3tan[,1]3，得222k.……………6分（Ⅱ）延长ACED、交于点Ｓ，连BS，可知平面BDE平面ABC=BS.………………………7分由//CDAE，且12CDAE，又因为ACCSBC=1，从而ABBS，…………………8分又AE面ABC，由三垂线定理可知BEBS，即EBA为平面BDE与平面ABC所成的角；……………………10分则tan2AEEBAAB，从而平面BDE与面ABC所成的角的大小为arctan2.………………12分方法二：解：（Ⅰ）如图以C为坐标原点，CA、CD为y、z轴，垂直于CA、CD的直线CT为x轴，建立空间直角坐标系（如图），则设(0,1,0)A，(0,0,)2kD，(0,1,)Ek，31(,,0)22B.……………2分取AB的中点M，则33(,,0)44M，易知,ABE的一个法向量为33(,,0)44CM,由题意22334sin||||392111616CECMCECMkk.………………4分由[,]64，则12232sin221k，得222k.…………………6分(Ⅱ)由（Ⅰ）知k最大值为2，则当2k时，设平面BDE法向量为x,y,z）n=(，则20,2320.222DEyzyBExznn取n=(-3,-1,2），………………8分又平面ABC法向量为m=(0,0,1），……………………10分所以cos(,)nm=233231，所以平面BDE与平面ABC所成角大小3arccos.3……………………12分19．(本小题满分12分)解：(Ⅰ)()fx的定义域为(0,).…………………1分21()fxxax=221xaxx（0x），设2()21gxxax，只需讨论()gx在(0,)上的符号.…………………2分（1）若04a，即0a，由()gx过定点(0,1)，知()gx在(0,)上恒正，故()0fx，()fx在（0，+）上为增函数.…………………3分（2）若04a，当280a时，即022a时，知()0gx（当22x时，取“=”），故()0fx，()fx在（0，+）上为增函数；……………………4分当280a时，由2210,xax得284aax，当2804aax或284aax时，()0gx，即()0fx，当228844aaaax时，()0gx，即()0fx．则()fx在2288(,)44aaaa上为减函数，在28(0,)4aa，28(,)4aa上为增函数.………………5分综上可得：当22a时，函数(fx）的单调增区间（0，+）;当22a时，函数(fx）的单调增区间为28(0,)4aa，28(,)4aa；函数(fx）的单调减区间为2288(,)44aaaa.…………………6分（Ⅱ）由条件可得2ln00)xxaxx（，则当0x时，lnxaxx恒成立，………………8分令ln()(0)xhxxxx，则21ln(),xxhxx…………………9分方法一：令2()1ln(0)kxxxx，则当0x时，1()20kxxx，所以()kx在（0，+）上为减函数.又(1)0h，所以在（0，1）上，()0hx；在（1，+）上，()0hx．………10分所以()hx在（0,1）上为增函数；在（1，+）上为减函数.所以max()(1)1hxh，所以1.a……………12分方法二：当01x时，210,ln0,xx()0hx；当1x时，210,ln0,xx()0hx．……………10分所以()hx在（0,1）上为增函数；在（1，+）上为减函数.所以max()(1)1hxh，所以1.a………………12分20．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）记总分得50分为事件D，记A，B答对，C答错为事件D1，记A，B答错，C答对为事件D2，则D=D1+D2，且D1，D2互斥.……………1分又81)411(3121)(1DP，………………3分36141)311(21)(33222AADP.…………………5分所以12121111()()()()83672PDPDDPDPD.所以此选手可自由选择答题顺序，必答题总分为50分的概率为1172.……………6分（Ⅱ）可能的取值是0,30,50,70,80100，.……………7分100表示A，B，C三题均答对，则241413121)100(P，……………8分同理，2414131)211()80(P，12141)311(21)70(P，81)411(3121)50(P，81)411(31)211()30(P，127)311()211()411()311(21)0(P，所以，的分布列为100807050300P2412411218181127……………10分所以的数学期望111117010080705030242412883E.……………12分21．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）方法一：设直线MA1与NA2的交点为),(yxP，∵21AA，是椭圆1322yx的上、下顶点，∴12(03)(03)AA，，，-…………………1分11133yAMyxx：，12133yANyxx：，两式相乘得22121233xxyy.………………………3分而),(11yxM在椭圆1322yx（10x）上，所以132121yx，即332121xy，所以2233xy.……………4分又当0x时，不合题意，去掉顶点.∴直线MA1与NA2的交点的轨迹C的方程是221(0)3yxx；……………5分方法二：设直线MA1与NA2的交点为),(yxP，∵21AA，是椭圆1322yx的上、下顶点，∴12(03)(03)AA，，，-…………………1分∵PMA、、1共线，PNA、、2共线，∴xyxy3311…………①xyxy3311…………②…………………3分①②得22212133xyxy，又∵132121yx即332121xy，∴3322xy，即221(0)3yxx，∴直线MA1与NA2的交点的轨迹C的方程是1322xy；（0x）……………5分（Ⅱ）假设存在满足条件的直线，由已知，其斜率一定存在，设其斜率为k，设)(11yxA，，)(22yxB，，)0(0yE，，由2221.3ykxyx，得)3(014)3(222kkxxk，3134221221kxxkkxx，.…………………6分11(2)AFxy，，22(2)FBxy，，∵AFFB，∴21xx，∵02x，∴21xx，∵(02)OF，，110()EAxyy，，220()EBxyy，，121020()EAEBxxyyyy，，，又∵()OFEAEB，∴()0OFEAEB，∴0)2(0020121yyyyxx（），即00201yyyy.………………………8分将211kxy，222kxy，21xx代入上式并整理得0212121)()(22yxxxxxkx，…………………9分当021xx时，2323432222221210kkkkxxxkxy，当021xx时，0k，0212121)()(22yxxxxxkx恒成立，…………………11分所以，在y轴上存在定点E，使得()OFEAEB，点E的坐标为)230(，．………12分22.(本小题满分12分)（I）证明：方法一：∵011a，由12131)11(nnnana得02a，于是易得0na.………………2分又*12110()3nnnnaaannN，即*1()nnaanN又∵32a，∴32aan（2n）.…………………4分方法二：数学归纳法（1）当2n时，332aan，命题成立.………………1分（2）假设当kn（2n）时命题成立，即3ka，当1kn时，12131)11(kkkaka33112kkkkakaa∴1kn时命题成立.………………3分由（1）（2）可知，当2n时，3na.…………………4分（II）证明：由（I）知12131)11(nnnana2121111(1)(1)33nnnnnaaann,……………5分两边取自然对数得：)3111ln(lnln121nnnnaa.………………6分令)0()1ln()(xxxxf，则当0x时，01111)(xxxxf恒成立，∴)(xf为)0[，上的减函数，∴0)0()(fxf∴xx)1ln(在0x时恒成立，………………7分12111111lnlnln(1)33nnnnnaaannn131111lnnnnna即nnaalnln1131111nnn（2n），………………9分故，21311121lnlnnnnnnaa，321312131lnlnnnnnnaa，……………………………31211lnln23aa，以上各式相加得：2211[1()]11333lnln11112213nnaan，（3n）…………10分又∵32a，∴33ln23lnna，∴3ena（3n），………………11分又∵11a3e，32a3e，∴3ena（*nN）.…………………12分