东城区2011高三一模数学(理科)试卷+参考答案

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东城区2010-2011学年度综合练习（一）高三数学（理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）“2x”是“24x”的（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（2）已知数列na为等差数列，且12a，2313aa，那么则456aaa等于（A）40（B）42（C）43（D）45（3）已知函数()fx对任意的xR有()()0fxfx，且当0x时，()ln(1)fxx，则函数()fx的大致图像为（A）　　　　　　　　　　　　　　　　（B）（C）　　　　　　　　　　　　　　　　（D）（4）已知平面上不重合的四点P，A，B，C满足0PAPBPC，且ABACmAP，那么实数m的值为（A）2（B）3（C）4（D）5OxyOxyOyxOxy（5）若右边的程序框图输出的S是126，则条件①可为A．5nB．6nC．7nD．8n（6）已知(,)2,1tan()47,那么cossin的值为（A）51（B）57（C）57（D）43（7）已知函数31)21()(xxfx，那么在下列区间中含有函数)(xf零点的是（A）)31,0(（B）)21,31(（C）)32,21(（D）)1,32(（8）空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面，，两两互相垂直，点A∈，点A到，的距离都是3，点P是上的动点，满足P到的距离是到P到点A距离的2倍，则点P的轨迹上的点到的距离的最小值是（A）　33　　（B）323　　　（C）36（D）3405060708090体重(kg)0.0050.0100.0200.0300.0350.0150.025OADBC第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。（9）如果2(i)(1i)mm是实数,那么实数m　　　　　．（10）已知曲线C的参数方程为2cos,sinxy（为参数），则曲线上C的点到直线3440xy的距离的最大值为．（11）从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知体重的平均值为　　　　　kg；若要从体重在[60,70），[70，80),[80,90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人选两人当正负队长，则这两人身高不在同一组内的概率为．（12）如图，已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为22，3AB，则切线AD的长为．（13）过抛物线22(0)ypxp的焦点作倾斜角为60的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在x轴上方），AFBF　　　　　．（14）已知数列{}na满足：11a，22a，33a，44a，55a，且当n≥5时，1121nnaaaa，若数列{}nb满足对任意*Nn，有2221212nnnbaaaaaa，则b5=　　　；当n≥5时，nb．三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c分，且满足2coscoscbBaA．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若25a，求△ABC面积的最大值．（16）（本小题共14分）已知四棱锥PABCD的底面是菱形．60BCD，2ABPBPD，3PC，AC与BD交于O点，E，H分别为PA，OC的中点．（Ⅰ）求证：EC∥平面BDE；（Ⅱ）求证：PH平面ABCD；（Ⅲ）求直线CE与平面PAB所成角的正弦值．（17）（本小题共13分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为，乙、丙面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．（Ⅰ）求至少有1人面试合格的概率；（Ⅱ）求签约人数的分布列和数学期望．（18）（本小题共13分）已知函数2()ln,()xxfxxxgxee．（Ⅰ）求函数()fx在区间[1,3]上的最小值；（Ⅱ）证明：对任意,(0,)mn，都有()()fmgn成立．OECABDPH(19)（本小题共13分）已知椭圆22221(0)yxabab的离心率为22，且两个焦点和短轴的一个端点是一个等腰三角形的顶点．斜率为(0)kk的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点(0,)Mm．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的取值范围；（Ⅲ）试用表示△MPQ的面积，并求面积的最大值．(20)（本小题共14分）对于)2(nn*N，定义一个如下数阵：nnnnnnnnaaaaaaaaaA212222111211其中对任意的ni1，nj1，当i能整除j时，1ija；当i不能整除j时，0ija．设njjjniijaaaajt211)(．（Ⅰ）当6n时，试写出数阵66A并计算61)(jjt；（Ⅱ）若][x表示不超过x的最大整数，求证：njjt1)(niin1][；（Ⅲ）若njjtnnf1)(1)(，dxxngn11)(，求证：()1()()1gnfngn．东城区2010-2011学年度综合练习（一）高三数学参考答案（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B（2）B（3）A（4）C（5）C（6）B（7）B（8）C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）1（10）3（11）5.6432（12）15（13）3（14）65n70注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为2coscoscbBaA，所以(2)coscoscbAaB由正弦定理，得(2sinsin)cossincosCBAAB．整理得2sincossincossincosCABAAB．所以2sincossin()sinCAABC．在△ABC中，sin0C．所以1cos2A，3A．（Ⅱ）由余弦定理2221cos22bcaAbc，25a．所以2220220bcbcbc所以20bc，当且仅当bc时取“=”．所以三角形的面积1sin532SbcA．所以三角形面积的最大值为53．（16）（共14分）（Ⅰ）证明：因为E，O分别为PA，AC的中点，所以EO∥PC．又EO平面BDE,PC平面BDE．所以PC∥平面BDE．（Ⅱ）证明：连结OP，因为PBPD，所以OPBD．在菱形ABCD中，BDAC，又因为OPACO，所以BD平面PAC．又PH平面PAC，所以BDPH．在直角三角形POB中，1OB，2PB，所以3OP．又3PC，H为OC的中点，所以PHOC．又因为BDOCO所以PH平面ABCD．（Ⅲ）解：过点O作OZ∥PH，所以OZ平面ABCD．如图，以O为原点，OA，OB，OZ所在直线为,,xyz轴，建立空间直角坐标系．可得，(3,0,0)A，(0,1,0)B，(3,0,0)C，　　33(,0,)22P，33(,0,)44E．所以(3,1,0)AB，333(,0,)22AP，533(,0,)44CE．设(,,)xyzn是平面PAB的一个法向量，则00ABAPnn，即30333022xyxz，令1x，则(1,3,3)n．设直线CE与平面PAB所成的角为，OECDBAPH可得4sincos,7nCE〈〉．所以直线CE与平面PAB所成角的正弦值为47．（17）（共13分）解：（Ⅰ）用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，且.至少有1人面试合格的概率是（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3.＝＝==∴的分布列是0123的期望（18）（共13分）（Ⅰ）解：由()lnfxxx，可得()ln1fxx．当1(0,),()0,()xfxfxe单调递减，当1(,),()0,()xfxfxe单调递增.所以函数()fx在区间[1,3]上单调递增，又(1)0f，所以函数()fx在区间[1,3]上的最小值为0．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知()ln((0,))fxxxx在1xe时取得最小值，又11()fee，可知1()fme．由2()xxgxee，可得1\'()xxgxe．所以当(0,1),\'()0,()xgxgx单调递增，当(1,),\'()0,()xgxgx单调递减.所以函数()(0)gxx在1x时取得最大值，又1(1)ge，可知1()gne，所以对任意,(0,)mn，都有()()fmgn成立．（19）（共13分）解：（Ⅰ）依题意可得，22ac，cb，又222cba，可得1,2ba．所以椭圆方程为2212yx．（Ⅱ）设直线l的方程为1ykx，由221,1,2ykxyx可得22(2)210kxkx．设1122(,),(,)PxyQxy，则12222kxxk，12212xxk．可得121224()22yykxxk．设线段PQ中点为N，则点N的坐标为222(,)22kkk，由题意有1kkMN，可得222212mkkkk．可得212mk，又0k，所以102m．（Ⅲ）设椭圆上焦点为F，则1212MPQSFMxx.22121212228(1)()4(2)kxxxxxxk，由212mk，可得212km．所以12218(1)8(1)1mxxmmm．又1FMm，所以32(1)MPQSmm.所以△MPQ的面积为3)1(2mm（210m）．设3)1()(mmmf，则)41()1()(\'2mmmf．可知)(mf在区间)41,0(单调递增，在区间)21,41(单调递减．所以，当41m时，)(mf有最大值6427)41(f．所以，当41m时，△MPQ的面积有最大值863．（20）（共1４分）（Ⅰ）解：依题意可得，　10000001000000100010010010101011111166A．　14423221)(61jjt．（Ⅱ）解：由题意可知，)(jt是数阵nnA的第j列的和，因此njjt1)(是数阵nnA所有数的和．而数阵nnA所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的ni1，不超过n的倍数有i1，i2，…，iin][．因此数阵nnA的第i行中有][in个１，其余是0，即第i行的和为][in．所以njjt1)(niin1][．（Ⅲ）证明：由][x的定义可知，ininin][1，所以nininiininnin111][．所以niniinfi111)(11．考查定积分dxxn11，将区间],1[n分成1n等分，则dxxn11的不足近似值为nii21，dxxn11的过剩近似值为111nii．所以nii21dxxn11111nii．所以111nii)(ngnii11．所以1)(ngninfi1)(11nii111)(ng．所以()1()()1gnfngn．