怀柔区2011年高三一模数学(理科)练习试卷+答案

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怀柔区2010～2011学年度第二学期高三适应性练习数学（理科）2011.3本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集RU，}21{xxA，}0{xxB，则)(BACUA．}20{xxB．}0{xxC．}1{xxD．}1{xx2．复数ii11A．iB．1C．iD．13．已知等比数列}{na的公比为2，且531aa，则42aa的值为A．10B．15C．20D．254．如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为A．B．C．D．5．若a＝(1,2,－3)，b＝(2,a－1,a2－31)，则“a＝1”是“ab”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．右图是计算函数2x,x1y0,1x2x,x2的值的程序框图，则在①、②、③处应分别填入的是A．yx，y0，2yxB．yx，2yx，y0C．y0，2yx，yxD．y0，yx，2yx7．在极坐标系中，定点1,2A，动点B在直线cossin0上运动，当线段AB最短时，动点B的极坐标是A．)4,22(B．)43,22(C．)4,23(D．)43,23(8．已知三棱锥ABCO，OAOBOC、、两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为A．6B．6或636C．366D．6或366开始x输入x1x2y输出结束①②③否是否是第Ⅱ卷（非选择题共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．命题：0,2xRx的否定是．10．函数1cos2)(2xxf的最小正周期为；单调递减区间为．11．如图是甲、乙两班同学身高（单位：cm）数据的茎叶图，则甲班同学身高的中位数为；若从乙班身高不低于170cm的同学中随机抽取两名，则身高为173cm的同学被抽中的概率为．甲班乙班218199101703689883216258815912．已知PA是圆O的切线，切点为A，2PA．AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，1PB，则圆O的半径R．13．已知抛物线)0(22ppxy与双曲线12222byax有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为．14．在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息：时间油耗（升/100公里）可继续行驶距离（公里）10：009.530011：009.6220注：加满油后已行驶距离加满油后已用油量油耗，当前油耗汽车剩余油量可继续行驶距离，指定时间内的行驶距离指定时间内的用油量平均油耗．从以上信息可以推断在10：00—11：00这一小时内（填上所有正确判断的序号）．①行驶了80公里；②行驶不足80公里；③平均油耗超过9.6升/100公里；④平均油耗恰为9.6升/100公里；⑤平均车速超过80公里/小时．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）在ABC中，cba、、分别为角CBA、、所对的三边，已知222+cbabc．（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若3a，3cos3C，求c的长．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，侧棱PA底面ABCD，且2PAAD，,,EFH分别是线段,,PAPDAB的中点．（Ⅰ）求证：PB//平面EFH；（Ⅱ）求证：PD平面AHF；（Ⅲ）求二面角HEFA的大小．17．（本小题满分13分）为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表：队别北京上海天津八一人数4635（Ⅰ）从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一支队的概率；（Ⅱ）中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军．若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为，求随机变量的分布列，及数学期望E．18．（本题满分13分）已知函数2()lnfxxaxbx（0x，实数a，b为常数）．（Ⅰ）若1,1ab，求)(xf在1x处的切线方程；（Ⅱ）若2ab，讨论函数()fx的单调性．19．（本小题满分14分）已知点)2,1(A是离心率为22的椭圆C：)0(12222baaybx上的一点．斜率为2的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？（Ⅲ）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．20．(本小题满分13分)已知集合},,,,{321naaaaA，其中)2,1(nniRai，)(Al表示和)1(njiaaji中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合}8,6,4,2{P，}16,8,4,2{Q，分别求)(Pl和)(Ql；（Ⅱ）若集合}2,,8,4,2{nA，求证：2)1()(nnAl；（Ⅲ）)(Al是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？参考答案及评分标准(理科)2011.3一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.Rx,02x10.；)](2,[Zkkk11.169；3112.313.1214.②③三、解答题：本大题共6小题，共80分.15．（本小题满分13分）在ABC中，cba、、分别为角CBA、、所对的三边，已知222+cbabc．（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若3a，3cos3C，求c的长．解：（Ⅰ）222+cbabc，2221cos22bcaAbc-------------------------4分A03A-----------------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）在ABC中，3A，3a，3cos3C216sin1cos133CC------------------------------------------8分由正弦定理知：,sinsinaCACACacsinsin63263332．-----------------------------------------------12分362c-------------------------------------------------------------------------------13分题号12345678答案CCABABBD16．（本小题满分14分）如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，侧棱PA底面ABCD，且2PAAD，,,EFH分别是线段,,PAPDAB的中点．（Ⅰ）求证：PB//平面EFH；（Ⅱ）求证：PD平面AHF；（Ⅲ）求二面角HEFA的大小．解：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0)ABCD,)2,0,0(P，)1,0,0(E，)1,1,0(F，(1,0,0)H．----------------------------1分（Ⅰ）证明：∵(2,0,2)PB，(1,0,1)EH，∴2PBEH,∵PB平面EFH，且EH平面EFH，∴PB//平面EFH．-------------------------------------------------5分（Ⅱ）解：(0,2,2)PD，(1,0,0)AH，(0,1,1)AF，0021(2)10,0120(2)00.PDAFPDAH,PDAFPDAH，又AFAHA，PD平面AHF．-----------------------------------------------------9分（Ⅲ）设平面HEF的法向量为),,(zyxn,因为(0,1,0)EF，(1,0,1)EH，则0,0,nEFynEHxz取).1,0,1(n又因为平面AEF的法向量为),0,0,1(m所以10012cos,,2||||212mnmnmn-------------------------12分,45,mn所以二面角HEFA的大小为45．-------------------------------------------------14分17．（本小题满分13分）为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表：队别北京上海天津八一人数4635(Ⅰ)从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一支队的概率；(Ⅱ)中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军．若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为，求随机变量的分布列，及数学期望E．解：(Ⅰ)“从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一队”记作事件A，则222246352182()9CCCCPAC.------------------------------------------------------------5分(Ⅱ)的所有可能取值为0，1，2.-----------------------------------------------------------------2分∵21421891(0)153CPC，1141421856(1)153CCPC，242186(2)153CPC，∴的分布列为：012P91153561536153--------------------------------10分∴915664()0121531531539E.-------------------------------------------------------13分18．（本题满分13分）已知函数2()lnfxxaxbx（0x，实数a，b为常数）．（Ⅰ）若1,1ab，求)(xf在1x处的切线方程；（Ⅱ）若2ab，讨论函数()fx的单调性．解：（Ⅰ）因为1,1ab，所以函数2()lnfxxxx，2)1(f又1()21fxxx，2)1(\'f-------------------------------------------------------------2分所以)1(22xy即)(xf在1x处的切线方程为02yx-------------------------------------------------5分（Ⅱ）因为2ab，所以2()(2)lnfxxbxbx，则(2)(1)()2(2)bxbxfxxbxx)0(x令()0fx，得12bx，21x．----------------------------------------------------------------7分（1）当02b，即0b时，函数()fx的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)；-------------------------------------------------------------------------------------------------------8分（2）当012b，即02b时，)(xf，)(xf的变化情况如下表：x(0,)2b(,1)2b(1,)()fx()fx所以，函数()fx的单调递增区间为(0,)2b，(1,)，单调递减区间为(,1)2b；-------9分（3）当12b，即2b时，函数()fx的单调递增区间为(0,)；-----------------------------10分（4）当12b，即2b时，)(xf，)(xf的变化情况如下表：x(0,1)(1,)2b(,)2b()fx()fx所以函数()fx的单调递增区间为(0,1)，(,)2b，单调递减区间为(1,)2b；--------------12分综上，当0b时，函数()fx的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)；当02b时，函数()fx的单调递增区间为(0,)2b，(1,)，单调递减区间为(,1)2b；当2b时，函数()fx的单调递增区间为(0,)；当2b时，函数()fx的单调递增区间为(0,1)，(,)2b，单调递减区间为(1,)2b．-----------------------------------------------------------------------------------------------------------13分19．（本小题满分14分）已知点)2,1(A是离心率为22的椭圆C：)0(12222baaybx上的一点．斜率为2的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？XYODBA（Ⅲ）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．解：（Ⅰ）ace22，12122ab，222cba2a，2b，2c14222yx--------------------------------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）设直线BD的方程为bxy242222yxbxy0422422bbxx06482b2222b,2221bxx----①44221bxx-----②222128264864343)2(1bbxxBD，设d为点A到直线BD：bxy2的距离，3bd2)8(422122bbdBDSABD，当且仅当2b时取等号.因为2)22,22(，所以当2b时，ABD的面积最大，最大值为2--------10分（Ⅲ）设),(11yxD，),(22yxB，直线AB、AD的斜率分别为：ABk、ADk，则ABADkk122122121222112211xbxxbxxyxy=]1)(2[22212121xxxxxxb------*将（Ⅱ）中①、②式代入*式整理得]1)(2[22212121xxxxxxb=0，即ABADkk0----------------------------------------------------------------------------------------------14分20．(本小题满分13分)已知集合},,,,{321naaaaA，其中)2,1(nniRai，)(Al表示和)1(njiaaji中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合}8,6,4,2{P，}16,8,4,2{Q，分别求)(Pl和)(Ql；（Ⅱ）若集合}2,,8,4,2{nA，求证：2)1()(nnAl；（Ⅲ）)(Al是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？解：（Ⅰ）由,1486,1284,1064,1082,862,642得5)(Pl.由,24168,20164,1284,18162,1082,642得6)(Ql.----------------------------------------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）证明：因为)1(njiaaji最多有2)1(2nnCn个值，所以.2)1()(nnAl又集合}2,,8,4,2{nA，任取),1,1(,nlknjiaaaalkji当lj时,不妨设lj，则lkljjjiaaaaaa122，即lkjiaaaa.当kilj,时，lkjiaaaa.因此，当且仅当ljki,时，lkjiaaaa.即所有)1(njiaaji的值两两不同，所以.2)1()(nnAl-----------------------------------------------------------------------------------------9分（Ⅲ）)(Al存在最小值，且最小值为32n．不妨设,321naaaa可得,1213121nnnnaaaaaaaaaa所以)1(njiaaji中至少有32n个不同的数，即.32)(nAl事实上，设naaaa,,,,321成等差数列，考虑)1(njiaaji，根据等差数列的性质，当nji时，11jijiaaaa；当nji时，nnjijiaaaa；因此每个和)1(njiaaji等于)2(1nkaak中的一个，或者等于)12(nlaanl中的一个.所以对这样的32)(,nAlA,所以)(Al的最小值为32n.--------------------------------------13分