北京2012届(文科)数学高考预测题试卷+参考答案

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北京2012届高考预测试卷数学文试题第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题共90分。满分100分，考试时间为120分钟。第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合012A，，，集合2Bxx，则AB（）A．2B．012，，C．2xxD．2．已知i是虚数单位，则ii221等于（）A．iB．i54C．i5354D．i3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12B．11C．312D．3113．若数列{}na的前n项和为nS，则下列命题：（1）若数列{}na是递增数列，则数列{}nS也是递增数列；（2）数列{}nS是递增数列的充要条件是数列{}na的各项均为正数；（3）若{}na是等差数列（公差0d），则120kSSS的充要条件是120.kaaa（4）若{}na是等比数列，则120(2,)kSSSkkN的充要条件是10.nnaa其中，正确命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3B．—6C．10D．156．已知:命题p：“1a是2,0xaxx的充分必要条件”；命题q：“02,0200xxRx”．则下列命题正确的是（）A．命题“p∧q”是真命题B．命题“（┐p）∧q”是真命题C．命题“p∧（┐q）”是真命题D．命题“（┐p）∧（┐q）”是真命题7．若空间三条直线a、b、c满足,//abbc，则直线ac与（）A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．一定垂直8．函数xxyln的图象大致是（）9．如图所示的方格纸中有定点OPQEFGH,,,,,,，则OPOQ（）A．OHB．OGC．FOD．EO10．设22)1(则,3005满足约束条件,yxxyxyxyx的最大值为（）A．80　　　　B．45　　　　C．25　　　D．17211．若双曲线222(0)xyaa的左、右顶点分别为A、B，点P是第一象限内双曲线上的点。若直线PA、PB的倾斜角分别为α，β，且(1)mm，那么α的值是（）A．21mB．2mC．21mD．22m12．若实数t满足ftt()，则称t是函数fx()的一个次不动点．设函数lnfxx()与函数exgx()（其中e为自然对数的底数）的所有次不动点之和为m，则（）A．0mB．0mC．01mD．1m第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。13．已知y与100xx()之间的部分对应关系如下表：x1112131415…y297148295147293…则x和y可能满足的一个关系式是．14．在ABC中，已知abc，，分别为A，B，C所对的边，S为ABC的面积．若向量22241pabcqS()()，，，满足//pq，则C=．15．在区间（0，1）上任意取两个实数a，b，则ba＜56的概率为16、已知213cos，4152cos5cos，231coscoscos7778，。根据以上等式，可猜想出的一般结论是；三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知函数23sincossin2424xxfxx()()()()．（Ⅰ）求fx()的最小正周期；（Ⅱ）若将fx()的图象向右平移6个单位，得到函数gx()的图象，求函数gx()在区间0[，]上的最大值和最小值．18．（本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数ξ依次为1,2,,8…，其中5ξ为标准A，3ξ为标准B，产品的等级系数越大表明产品的质量越好．已知某厂执行标准B生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准．从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567204该行业规定产品的等级系数7ξ的为一等品，等级系数57ξ的为二等品，等级系数35ξ的为三等品．（Ⅰ）试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；（Ⅱ）从样本的一等品中随机抽取2件，求所抽得2件产品等级系数都是8的概率．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥SABCD中，ABAD，//ABCD，3CDAB，平面SAD平面ABCD，M是线段AD上一点，AMAB，DMDC，SMAD．（Ⅰ）证明：BM平面SMC；（Ⅱ）设三棱锥CSBM与四棱锥SABCD的体积分别为1V与V，求1VV的值．20．（本小题满分12分）已知数列}2{1nna的前n项和96nSn。（Ⅰ）求数列｛na｝的通项公式；（Ⅱ）设2(3log)3nnabn，求数列｛1nb｝的前n项和．MSDCBA21．（本小题满分12分）给定椭圆C：)0(12222babyax．称圆心在原点O，半径为22ba的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为)0,2(F，其短轴上的一个端点到F的距离为3．（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线21,ll，使得21,ll与椭圆C都只有一个交点，试判断21,ll是否垂直？并说明理由。22．（本小题满分14分）已知定义在正实数集上的函数21()22fxxax，2()3lngxaxb，其中0a．设两曲线()yfx，()ygx有公共点，且在该点处的切线相同。（Ⅰ）用a表示b，并求b的最大值；（Ⅱ）求证：()()fxgx≥（0x）．参考答案一、选择题1、D；2、A；3、A；4、B；5、C；6、B；7、D；8、C；9、C；10、A；11、D；12、B；二．填空题13、(108)2yx（不唯一）；14、4；15、2517；16、21coscoscos2121212nnnnn，nN。三．解答题17．解析：（Ⅰ）xxxfsin)2sin(3)(xxsincos3…………………2分)cos23sin21(2xx)3sin(2x．……………………………4分所以)(xf的最小正周期为2．………………………………………6分（Ⅱ）将)(xf的图象向右平移6个单位，得到函数)(xg的图象，3)6(sin2)6()(xxfxg)6sin(2x．…………………8分[0,]x时，]67,6[6x，…………………………………………………9分当26x，即3x时，sin()16x，)(xg取得最大值2．…………10分当766x，即x时，1sin()62x，)(xg取得最小值1．………12分18．解析：（Ⅰ）由样本数据知，30件产品中，一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件．…………3分∴样本中一等品的频率为60.230，故估计该厂生产的产品的一等品率为0.2,………4分二等品的频率为90.330，故估计该厂产品的二等品率为0.3,…5分三等品的频率为150.530，故估计该厂产品的三等品率为0.5．…6分（Ⅱ）样本中一等品有6件，其中等级系数为7的有3件，等级系数为8的也有3件，……………………7分记等级系数为7的3件产品分别为1C、2C、3C，等级系数为8的3件产品分别为1P、2P、3P,则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为：）（21,CC,）（31,CC,）（11,PC，）（21,PC，）（31,PC，）（32,CC,）（12,PC,）（22,PC,）（32,PC,）（13,PC，）（23,PC,）（33,PC,12(,),PP）（31,PP）（32,PP,共15种，…………10分记从“一等品中随机抽取2件，2件等级系数都是8”为事件A，则A包含的基本事件有12(,),PP1323(,),(,)PPPP共3种，………11分故所求的概率31()155PA．……………………12分19．（Ⅰ）证明:平面SAD平面ABCD,平面SAD平面ABCDAD,SM平面SAD，SMAD，SM平面ABCD,…………………1分BM平面,ABCD.SMBM………………………………2分四边形ABCD是直角梯形，AB//CD,,AMAB,DMDC,MABMDC都是等腰直角三角形,45,90,.AMBCMFBMCBMCM…………………………4分SM平面SMC，CM平面SMC，SMCMM,BM平面SMC…………………………………………………………………6分（Ⅱ）解:三棱锥CSBM与三棱锥SCBM的体积相等,由（1）知SM平面ABCD,得1113211()32SMBMCMVVSMABCDAD,……………………………………………9分设,ABa由3CDAB,,AMAB,DMDC得3,2,32,4,CDaBMaCMaADa从而12323.(3)48VaaVaaa…………………………………………………………12分20．解析：（Ⅰ）1n时，011123,3aSa;……………………………………2分11232,26,2nnnnnnnaSSa时．………………………………………4分　　23(1)3(2)2nnnan通项公式……………………………………………6分（Ⅱ）设1nnnTb的前项和为，当1n时，1211113log13,3bTb；…………………………………7分　2n时，223(3log)(1)32nnbnnn，1nb1(1)nn……………10分nT1211111132334nbbb1(1)nn＝5161n……………12分21．解析：（Ⅰ）1,3,2bac，椭圆方程为1322yx，…………4分准圆方程为422yx．……………………5分（Ⅱ）①当21,ll中有一条无斜率时，不妨设1l无斜率，因为1l与椭圆只有一个公共点，则其方程为3x，当1l方程为3x时，此时1l与准圆交于点1,3,1,3，此时经过点1,3（或1,3）且与椭圆只有一个公共点的直线是1y（或1y），即2l为1y（或1y），显然直线21,ll垂直；同理可证1l方程为3x时，直线21,ll也垂直．………………7分②当21,ll都有斜率时，设点),(00yxP，其中42020yx．设经过点),(00yxP与椭圆只有一个公共点的直线为00)(yxxty，则由13)(2200yxtxytxy消去y，得03)(3)(6)312000022txyxtxytxt（．………9分由0化简整理得：012)32000220ytyxtx（．因为42020yx，所以有0)3(2)32000220xtyxtx（．…10分设21,ll的斜率分别为21,tt，因为21,ll与椭圆只有一个公共点，所以21,tt满足上述方程0)3(2)32000220xtyxtx（，所以121tt，即21,ll垂直．…………………11分综合①②知21,ll垂直．……………………12分22．解析：（Ⅰ）设()yfx与()(0)ygxx在公共点00()xy，处的切线相同．()2fxxa∵，23()agxx，………………………………………………………1分由题意00()()fxgx，00()()fxgx．即22000200123ln232xaxaxbaxax，，由20032axax得：0xa，或03xa（舍去）．即有222221523ln3ln22baaaaaaa．………………………………………4分令225()3ln(0)2httttt，则()2(13ln)httt．于是当(13ln)0tt，即130te时，()0ht；当(13ln)0tt，即13te时，()0ht．故()ht在130e，为增函数，在13e，∞为减函数，……………………………………8分于是()ht在(0)，∞的最大值为123332hee．…………………………………………9分（Ⅱ）设221()()()23ln(0)2Fxfxgxxaxaxbx…………………………10分则()Fx23()(3)2(0)axaxaxaxxx．………………………………………11分故()Fx在(0)a，为减函数，在()a，∞为增函数，于是函数()Fx在(0)，∞上的最小值是000()()()()0FaFxfxgx．…………13分故当0x时，有()()0fxgx≥，即当0x时，()()fxgx≥．…………………14分