湖北黄冈中学2012届高三五月数学(理科)模拟试卷+答案

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湖北省黄冈中学2012届高三五月模拟考试数学（理工类）本试卷共4页，共22题，其中15,16题为选考题。满分150分。考试用时120分钟。★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的区域内。答在试卷纸、草稿纸上无效.一、选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合}1,0,1{M，},{2aaN则使M∩N＝N成立的a的值是A．1　　　B．0C．－1D．1或－12．若(2)aiibi，其中,abR，i是虚数单位，复数abiA．12iB．12iC．12iD．12i3.阅读右面的程序框图，则输出的S=A．14B．20C．30D．554.“lg,lg,lgxyz成等差数列”是“2yxz”成立的A．充分非必要条件；B．必要非充分条件；C．充要条件；D．既非充分也非必要条件.5．下列函数中既是偶函数，又是区间[－1，0]上的减函数的是A．xycosB．1xyC．xxy22lnD．xxeey6．已知二项式2*12nxnNx展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为A．45256B．47256C．49256D．51256（第3题图）7．已知两点(1,0),(1,3),ABO为坐标原点，点C在第二象限，且120AOC，设2,(),OCOAOBR则等于A．1B．２C．1D．28．过抛物线xy42的焦点作一条直线与抛物线相交于BA,两点,它们到直线2x的距离之和等于5,则这样的直线A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在9．某个体企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪都比上一年增加20%，另外，每年新招3名工人，每名新工人的第一年的年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，如果将第n年企业付给工人的工资总额y(万元)表示成n的函数，则其表达式为A．y＝(3n＋5)1.2n＋2.4B．y＝8×1.2n＋2.4nC．y＝(3n＋8)1.2n＋2.4D．y＝(3n＋5)1.2n－1＋2.410.如图，平面四边形ABCD中，1CDADAB，CDBDBD,2，将其沿对角线BD折成四面体BCDA\'，使平面BDA\'平面BCD，若四面体BCDA\'顶点在同一个球面上，则该球的体积为A.23B.3C.32D.2二、填空题：本小题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.(一)必考题（11—14题）11．函数1)(23xxxxf在点)2,1(处的切线与函数2)(xxg围成的图形的面积等于.12．平面直角坐标系中，圆O方程为122yx，直线xy2与圆O交于BA,两点，又知角、的始边是x轴，终边分别为OA和OB，则cos.DCBA\'DCBA第10题13．已知点P的坐标4(,)1xyxyyxx满足，过点P的直线l与圆22:14Cxy相交于A、B两点，则AB的最小值为．14.若实数a,b,c满足222,2222abababcabc，则c的最大值是.（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答）15.如图，A，B是圆O上的两点，且OA⊥OB，OA=2，C为OA的中点，连接BC并延长交圆O于点D，则CD=.16．已知直线142xttRyt与圆2cos2[0,2]2sinxy相交于AB,则以AB为直径的圆的面积为　　　.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题满分12分)已知向量231444xxxm(sin,),n(cos,cos)．记f(x)mn(I)若32f()，求23cos()的值；(Ⅱ)在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足2coscosacBbC，若132f(A)，试判断ABC的形状．18.(本小题满分12分)已知等差数列数列{}na的前n项和为nS，等比数列{}nb的各项均为正数，公比是q，且满足：1122223,1,12,abbSSbq.（Ⅰ）求na与nb；（Ⅱ）设332nanncbR，若nc满足：1nncc对任意的*nN恒成立，7580859095100分数0.010.020.040.060.070.030.05求的取值范围.19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，60BAD，Q为AD的中点.2PAPDAD.（I）点M在线段PC上，PMtPC，试确定t的值，使//PA平面MQB；（II）在（I）的条件下，若平面PAD平面ABCD，求二面角MBQC的大小.20.(本小题满分12分)某高校在2011年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）分别求第3，4，5组的频率；（Ⅱ）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，(ⅰ)已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；(ⅱ)学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望.21.(本小题满分13分)如图，F1、F2分别为椭圆222210xy(ab)ab的焦点，椭圆的右准线l与x轴交于A点，若11,0F，且122AFAF.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过F1、F2作互相垂直的两直线分别与椭圆交于P、Q、M、N四点，求四边形PMQN面积的取值范围．22.(本小题满分14分)已知函数()ln0xafxaxax（Ⅰ）求此函数的单调区间及最值；（Ⅱ）求证：对于任意正整数n，均有1111ln23!nenn（e为自然对数的底数）；（Ⅲ）当a＝1时，是否存在过点（1，－1）的直线与函数()yfx的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．湖北省黄冈中学2012届高高考模拟考试数学（理工类）答案一、选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合}1,0,1{M，},{2aaN则使M∩N＝N成立的a的值是（　　）A．1　　　B．0C．－1D．1或－1解析：C2．若(2)aiibi，其中,abR，i是虚数单位，复数abi（）A．12iB．12iC．12iD．12i解析：Btesoon天天Ttesoontesoontesoon天星3.阅读右面的程序框图，则输出的S=（）A．14B．20C．30D．55解析：C4.“lg,lg,lgxyz成等差数列”是“2yxz”成立的A．充分非必要条件；B．必要非充分条件；C．充要条件；D．既非充分也非必要条件.解析：A5．下列函数中既是偶函数，又是区间[－1，0]上的减函数的是（）A．xycosB．1xyC．xxy22lnD．xxeey解析：D6．已知二项式21()2nxx（nN）展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为（）A．45256B．47256C．49256D．51256解析：A7．已知两点(1,0),(1,3),ABO为坐标原点，点C在第二象限，且120AOC，设2,(),OCOAOBR则等于（）A．1B．２C．1D．2解析：C8．过抛物线xy42的焦点作一条直线与抛物线相交于BA,两点,它们到直线2x的距离之和等于5,则这样的直线（　　）A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在解析：D9．某个体企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪都比上一年增加20%，另外，每年新招3名工人，每名新工人的第一年的年薪为8千元第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，如果将第n年企业付给工人的工资总额y(万元)表示成n的函数，则其表达式为(　　)A．y＝(3n＋5)1.2n＋2.4B．y＝8×1.2n＋2.4nC．y＝(3n＋8)1.2n＋2.4D．y＝(3n＋5)1.2n－1＋2.4【解析】A　第一年企业付给工人的工资总额为：1×1.2×8＋0.8×3＝9.6＋2.4＝12(万元)，而对4个选择项来说，当n＝1时，C、D相对应的函数值均不为12，故可排除C、D；A、B相对应的函数值都为12，再考虑第2年付给工人的工资总额及A、B相对应的函数值，又可排除B.10.如图，平面四边形ABCD中，1CDADAB，CDBDBD,2，将其沿对角线BD折成四面体BCDA\'，使平面BDA\'平面BCD，若四面体BCDA\'顶点在同一个球面上，则该球的体积为()A.23B.3C.32D.2解析：A二、填空题：本小题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．函数1)(23xxxxf在点)2,1(处的切线与函数2)(xxg围成的图形的面积等于解析：4312．平面直角坐标系中，圆O方程为122yx，直线xy2与圆O交于BA,两点，又知角、的始边是x轴，终边分别为OA和OB，则_________)cos(。解析：3513．已知点P的坐标4(,)1xyxyyxx满足，过点P的直线l与圆22:14Cxy相交于A、B两点，则AB的最小值为．解析：４14.若实数a,b,c满足222,2222abababcabc，则c的最大值是.解析：24log3DCBA\'DCBA第10题15.如图，A，B是圆O上的两点，且,2OAOBOA，C为OA的中点，连接BC并延长交圆O于点D，则CD=_________解析：35516．已知直线142xttRyt与圆2cos2[0,2]2sinxy相交于AB,则以AB为直径的圆的面积为　　　.解析：165三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题满分12分)已知向量231444xxxm(sin,),n(cos,cos)．记f(x)mn(I)若32f()，求23cos()的值；(Ⅱ)在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a—c)cosB=bcosC，若132f(A)，试判断ABC的形状．17.解：2311()3sincoscossincos44422222xxxxxfx1sin262x……2分（I）由已知32f()得13sin2622，于是24,3kk，∴22241333cos()cosk……6分（Ⅱ根据正弦定理知：2coscos(2sinsin)cossincosacBbCACBBC12sincossin()sincos23ABBCABB∵13()2fA∴113sin2622263AA或233A或而203A，所以3A，因此ABC为等边三角形.……………12分18．(本小题满分12分)已知等差数列数列{}na的前n项和为nS，等比数列{}nb的各项均为正数，公比是q，且满足：1122223,1,12,abbSSbq.（Ⅰ）求na与{}nb；（Ⅱ）设332nanncbR，若nc满足：1nncc对任意的*nN恒成立，求的取值范围.18．（Ⅰ）由已知可得2223123qaaq，消去2a得：2120qq，解得3q或4q（舍），26,3ad从而13,3nnnanb（Ⅱ）由（1）知：33232nannnncb.∵1nncc对任意的*nN恒成立,即：113232nnnn恒成立，整理得：223nn对任意的*nN恒成立，即：322n对任意的*nN恒成立.∵322xy在区间1,上单调递增，min3232y3.的取值范围为,3.19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，60BAD，Q为AD的中点。2PAPDAD（I）点M在线段PC上，PMtPC，试确定t的值，使//PA平面MQB；（II）在（I）的条件下，若平面PAD平面ABCD，求二面角MBQC的大小。１9．解：（1）当13t时，//PA平面MQB下面证明：若//PA平面MQB，连AC交BQ于N由//AQBC可得，ANQBNC∽，12AQANBCNC．．．．．．．．．２分//PA平面MQB，PA平面PAC，平面PAC平面MQBMN，//PAMN．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分13PMANPCAC即：13PMPC13t．．．．．．６分（2）由PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，则PQ⊥AD。．７分又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，连BD，四边形ABCD为菱形，∵AD=AB，∠BAD=60°△ABD为正三角形，Q为AD中点，∴AD⊥BQ．．．．．．．．．．．．８分以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为,,xyz轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A（1，0，0），B（0,3,0），Q（0，0，0），P（0，0，3）设平面MQB的法向量为zyxn,,，可得00,//,00nQBnQBPAMNnMNnPA，0303zxy取z=1，解得(3,0,1)n………10分取平面ABCD的法向量3,0,0QP设所求二面角为，则21||||||cosnQPnQP故二面角MBQC的大小为60°．．．．．．．．．．．．．．１２分20.某高校在2011年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．(1)分别求第3，4，5组的频率；(2)若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，()ⅰ已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；()ⅱ学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望.解：(1)第三组的频率为0.065=0.3；第四组的频率为0.045=0.2；第五组的频率为0.025=0.1.…………3分(2)(ⅰ)设M：学生甲和学生乙同时进入第二轮面试1283301()145CPMC……6分()ⅱ812215153EX……12分(本小题满分13分)21.如图，F1、F2分别为椭圆222210xy(ab)ab的焦点，椭圆的右准线l与x轴交于A点，若F1(-1，0)，且122AFAF，(I)求椭圆的方程；(II)过F1、F2作互相垂直的两直线分别与椭圆交于P、Q、M、N四点，求四边形PMQN面积的取值范围．解：(I)由F1(-1，0)得1c,∴A点坐标为2,0a；……2分∵122AFAF∴2F是1AF的中点∴223,2ab∴椭圆方程为22132xy……5分(II)当直线MN与PQ之一与x轴垂直时，四边形PMQN面积142SMNPQ；…………6分当直线PQ，MN均与x轴不垂直时，不妨设PQ：10ykxk，联立22(1)132ykxxy代入消去y得2222236360kxkxkX012P52158151设1122,,,PxyQxy则22121222636,2323kkxxxxkk………8分∴22122431123kPQkxxk，同理221431123kMNk∴四边形PMQN面积22221242112613kkSMNPQkk………10分令221ukk，则24242,4613613uuSuu，易知S是以u为变量的增函数所以当1,2ku时，min9625S，∴96425S综上可知，96425S，∴四边形PMQN面积的取值范围为96,425………13分22.(本小题满分14分)已知函数()ln0xafxaxax（Ⅰ）求此函数的单调区间及最值；（Ⅱ）求证：对于任意正整数n，均有1111ln23!nenn（e为自然对数的底数）；（Ⅲ）当a＝1时，是否存在过点（1，－1）的直线与函数y＝f（x）的图象相切?若存在，有多少条?若不存在，说明理由．22、（Ⅰ）解：由题意2()xafxx．………………1分当0a时，函数)(xf的定义域为),0(，此时函数在(0,)a上是减函数，在(,)a上是增函数，2min()()lnfxfaa，无最大值．………………3分当0a时，函数)(xf的定义域为)0,(，tesoon天天Ttesoontesoontesoon天星此时函数在(,)a上是减函数，在(,0)a上是增函数，2min()()lnfxfaa，无最大值．………………5分(Ⅱ)取1a，由⑴知0)1(1ln)(fxxxxf，故xexxlnln11，取1,2,3,xn，则!ln131211nenn．………………9分(Ⅲ)假设存在这样的切线，设其中一个切点)1ln,(0000xxxxT，∴切线方程：)1(11200xxxy，将点T坐标代入得：2020000)1(11lnxxxxx，即0113ln2000xxx，①设113ln)(2xxxxg，则3)2)(1()(xxxxg．………………12分0x，()gx在区间)1,0(，),2(上是增函数，在区间)2,1(上是减函数，故1()(1)10,()(2)ln204gxggxg极大值极小值．又11()ln12161ln43044g，注意到()gx在其定义域上的单调性，知()0gx仅在1(,1)4内有且仅有一根方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．…………14分tesoon天星