河南省2012年高考适应性测试数学(理科)试卷+参考答案

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河南省2012年普通高中毕业班高考适应性测试数学试题（理）本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．集合{|3},{1,0,1}xMyRyN，则下列结论正确的是（）A．{0,1}MNB．(0,)MNC．()(,0)RCMND．(){1,0}RCMN2．i是虚数单位，复数31zi的虚部是（）A．0B．-1C．1D．-i3．261(1)()xxxx的展开式中的常数项为m，则函数2yxymx与的图象所围成的封闭图形的面积为（）A．6256B．2506C．3756D．12564．函数(01)||xxayax的图象大致形状是（）5．已知函数(),(0,)mfxxxx，若不等式()4fx的解集是空集，则（）A．4mB．2mC．4mD．2m6．设实数x，y满足221xy，则点(,)xy不在区域11,11xyxy内的概率是（）A．14B．21C．2D．187．若点(cos,sin)P在直线20xy上，则cos2sin2=（）A．15B．12C．15D．128．已知函数()fx是定义在R上的奇函数，且当,0x时，2()xfxeexa，则函数()fx在1x处的切线方程为（）A．0xyB．10exyeC．10exyeD．0xy9．ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量(1,3),(cos,sin),//pqBBpq且coscos2sin,bCcBaAC则=（）A．30B．60C．120D．15010．函数()sin()(0)fxMx，在区间[a，b]上是增函数，且(),(),faMfbM则函数()cos()gxMx在[a，b]上（）A．是增函数B．是减函数C．可以取得最大值MD．可以取得最小值-M11．已知F1，F2分别是双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若1290FPF，且22FPF的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（）A．2B．3C．4D．512．已知函数731,,1,222()111,[0,],362xxxfxxx函数()sin()22(0)6gxaxaa，若存在12,[0,1]xx，使得12()()fxgx成立，则实数a的取值范围是（）A．14[,]23B．10,2C．24[,]33D．1[,1]2第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22~24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13．命题“存在xR，使得|1||1|3xx”的否定是。14．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的表面积是cm2。15．经过点（0，-1）作圆22:670Cxyx的切线，切点分别为A和B，点Q是圆C上一点，则ABQ面积的最大值为。16．“三角形的三条中线交于一点，且这一点到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍”。试类比：四面体的四条中线（顶点到对面三角形重心的连线段）交于一点，且这一点到顶点的距离等于它到对面重心距离的倍。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）已知()41xfxx，数列{}na的首项*111,()()nnaafanN（1）求数列{}na的通项公式；（2）设2nnnba，数列{}nb的前n项和为nS，求使2012nS的最小正整数n。18．（本小题满分12分）甲、乙两同学进行下棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分（无平局），比赛进行到有一个人比对方多2分或比满8局时停止，设甲在每局中获胜的概率为1()2pp，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为58．（I）如右图为统计这次比赛的局数n和甲、乙的总得分S，T的程序框图．其中如果甲获胜，输人a=l．b=0;如果乙获胜，则输人a=0，b=1．请问在①②两个判断框中应分别填写什么条件？（Ⅱ）求p的值；（Ⅲ）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和.E19．（本小题满分12分）四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PA=AB=1，AD=2，点M是PB的中点，点N在BC边上移动．（I）求证：当N是BC边的中点时，MN∥平面PAC;（Ⅱ）证明，无论N点在BC边上何处，都有PNAM；（Ⅲ）当BN等于何值时，PA与平面PDN所成角的大小为45．20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为13，椭圆上的点到右焦点F的最近距离为2，若椭圆C与x轴交于A、B两点，M是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线MA交直线:9lx于G点，直线MB交直线l于H点。（1）求椭圆C的方程；（2）试探求以GH为直径的圆是否恒经过x轴上的定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由。21．（本小题满分12分）设函数21()ln.2fxxaxbx（1）若x=1是()fx的极大值点，求a的取值范围。（2）当a=0，b=-1时，函数2()()Fxfxx有唯一零点，求正数的值。请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，已知ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DEBC，垂足为E，连结OE。若3,30CDACB，分别求AB，OE的长。23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的极坐标方程为4sin，曲线C2的极坐标方程为()6R，曲线C1，C2相交于点M，N。（1）将曲线C1，C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求线段MN的长。24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()|31|3.fxxax（1）若a=1，解不等式()5fx；（2）若函数()fx有最小值，求实数a的取值范围。参考答案一、选择题题号123456789101112答案DBDDABABACDA二、填空题（13）对于任意的xR，都有113xx≤.（14）3232（15）4155（16）3三、解答题（17）解：（Ⅰ）1()41nnnnaafaa，1114nnaa，1114nnaa.数列1na是以1为首项，4为公差的等差数列．…………………………………3分114(1)nna，则数列na的通项公式为143nan．…………………………6分（Ⅱ）12325292(43)2.nnSn……………………①2341225292(43)2.nnSn……………………②②①并化简得1(47)214nnSn．……………………………………………10分易见nS为n的增函数，2012nS，即1(47)21998nn．满足此式的最小正整数6n．…………………………………………………………12分（18）解：（Ⅰ）程序框图中的①应填2M，②应填8n.(注意：答案不唯一.)……………2分（Ⅱ）依题意得，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止.所以225(1)8pp，解得：34p或14p，因为12p，所以3.4p……6分（Ⅲ）依题意得，的可能值为2，4，6，8.5(2)8P，5515(4)(1)8864P，55545(6)(1)(1)888512P，55527(8)(1)(1)(1)1888512P.所以随机变量的分布列为2468P5815644551227512故51545278032468864512512256E.…………………………………12分（19）证明：（Ⅰ）取AB的中点E，连接EN，又因为M是PB的中点，N是BC中点.ME∥PA，NE∥AC.MENEE，PAACA，平面MNE∥平面PAC.又MN平面MNE，MN∥平面PAC………………4分（Ⅱ）1PAAB，M是PB的中点，PBAM.又PA平面ABCD，BC平面ABCD，BCPA.又ABBC，PAABA，BC平面PAB.又AM平面PAB,BCAM.AM平面PBC.又PN平面PBC，AMPN.所以无论N点在BC边的何处，都有AMPN.……………………………8分（Ⅲ）分别以APABAD,,所在的直线为zyx,,轴，建立空间直角坐标系，设,mBN则)0,0,0(A，)0,0,2(D，(0,1,0)B，)0,1,2(C，)0,1,(mN，)1,0,0(P，)1,0,2(PD，(,1,1)PNm，(0,0,1).PA设平面NEABCDPMBACDPMNxyzPDN的法向量为(,,)xyzn，则0,0PDPNnn20,0.xzmxyz令1x得my2，2z，设PA与平面PDN所成的角为，sincos,PAn225(2)m，22)2(522m，解得32m或32m（舍去）.23.m……………………………………………………………………………12分（20）解：（Ⅰ）由题意得1,32caac1,3ca82b.椭圆C的方程为：221.98xy……………………………………………………4分（Ⅱ）记直线MA、MB的斜率分别为1k、2k，设,,MAB的坐标分别为00(,)Mxy,)0,3(A,)0,3(B，,3001xyk020,3ykx2012209ykkx.P在椭圆上，所以)91(818920202020xyyx，1k2k98，设),9(1yG),9(2yH，则1211ykkAM，622ykkMB.722121yykk，又1k2k98.1212864729yyyy.……………………………………………………………8分因为GH的中点为)2,9(21yyQ，12GHyy,所以，以GH为直径的圆的方程为：4)()2()9(2212212yyyyyx.令0y，得64)9(212yyx，17,1xx，将两点)0,1(),0,17(代入检验恒成立.所以，以GH为直径的圆恒过x轴上的定点(17,0),(1,0).…………………………12分（21）解：（Ⅰ）)(xf的定义域为(0,)，1()fxaxbx，由(1)f=0，得1ba.∴1(1)(1)()1axxfxaxaxx.…………………………………………2分①若a≥0，由)(\'xf=0，得x=1.当10x时，()0fx，此时)(xf单调递增；当1x时，()0fx，此时)(xf单调递减.所以x=1是)(xf的极大值点.…………………………………………………………4分②若a＜0，由()fx=0，得x=1，或x=a1.因为x=1是)(xf的极大值点，所以a1＞1，解得－1＜a＜0.综合①②：a的取值范围是a＞－1.……………………………………………………6分（Ⅱ）因为函数2()Fxfxx-有唯一零点，即20xlnxx有唯一实数解，设2g(x)xlnxx，则221()xxg\'xx．令0)(\'xg，2210xx．因为0，所以△=18+>0，方程有两异号根设为x1<0，x2>0.因为x>0，所以x1应舍去.当),0(2xx时，0)(\'xg，)(xg在（0，2x）上单调递减;当),(2xx时，0)(\'xg，)(xg在（2x，+∞）单调递增.当2xx时，)(\'2xg=0，)(xg取最小值)(2xg．……………………………………9分因为0)(xg有唯一解，所以0)(2xg，则,0)(\',0)(22xgxg即22222220210xlnxx,xx.因为0，所以01ln222xx（*）设函数1ln2)(xxxh，因为当0x时，)(xh是增函数，所以0)(xh至多有一解．因为0)1(h，所以方程（*）的解为21x，代入方程组解得1．…………………………………………………………………12分（22）解：BCABACB,30，30CAB.又因AB⊙O的直径，所以90ADB，60ABD.又因ODOB，BDODOBAB222，3DCAD.所以2AB.1BDODOB，………………………………………………………………6分30ACB，23,60DECDE.ODOA，30ADO，90ODE，27143OE……10分（23）解:（Ⅰ）由sin4得，sin42即曲线1C的直角坐标方程为0422yyx，由()6R得，xy33………………………………………………………5分（Ⅱ）把xy33代入0422yyx得03343122xxx，AOBEDC0334342xx解得01x，32x，所以01y，12y，213MN………………………………………………………………………10分（24）解：（Ⅰ）1a时，()|31|3fxxx.当13x≥时，()5fx≤可化为3135xx≤，解之得1334x≤≤；当13x时，()5fx≤可化为3135xx≤，解之得1123x≤.综上可得，原不等式的解集为13{|}.24xx≤≤……………………………………5分（Ⅱ）1(3)2,()3()|31|31(3)4.()3axxfxxaxaxx≥函数()fx有最小值的充要条件为30,30,aa≥≤即33a≤≤……………………10分