2012新课标文科数学回归教材《5平面向量》

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新课标——回归教材平面向量1、向量有关概念:(1)向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就是有向线段,为什么？(向量可以平移).典例:已知(1,2),(4,2)AB,则把向量AB按向量(1,3)a平移后得到的向量是(3,0).(2)零向量:长度为0的向量叫零向量,记作0,注意零向量的方向是任意的;(3)单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是||ABAB);(4)相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;(5)平行向量（也叫共线向量）:方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量,记作a∥b,提醒规定零向量和任何向量平行.①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合;③平行向量无传递性！（因为有0);④三点ABC、、共线ABAC、共线;(6)相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量是a.典例:下列命题:(1)若||||ab,则ab.(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同.(3)若ABDC,则ABCD是平行四边形.(4)若ABCD是平行四边形,则ABDC.(5)若,abbc,则ac.(6)若//,//abbc,则//ac.其中正确的是(4),(5).2、向量的表示方法:(1)几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如AB,注意起点在前,终点在后;(2)符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如a,b,c等;(3)坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为基底,则平面内的任一向量a可表示为(,)axiyjxy,称(,)xy为向量a的坐标,a＝(,)xy叫做向量a的坐标表示.如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.3.平面向量的基本定理:如果12,ee是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数12,,使1122aee.典例:(1)若(1,1),(1,1),(1,2)abc,则c1322ab;(2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是(B)A.12(0,0),(1,2)eeB.12(1,2),(5,7)eeC.12(3,5),(6,10)eeD.1213(2,3),(,)24ee;(3)已知DE、分别是ABC的边BCAC、的中点,且,ADaBEb,则BC2433ab;(4)在ABC中,2CDDB,CDrABsAC,则rs的值是0.4、实数与向量的积:实数与向量a的积是一个向量,记作a,它的长度和方向规定如下:①||||||aa,②当0时,a的方向与a的方向相同,当0时,a的方向与a的方向相反,当0时,0a,注意:0a.5、平面向量的数量积:(1)两个向量的夹角:对于非零向量,ab,作,,(0)OAaOBbAOB称为向量,ab的夹角,当0时,,ab同向,当时,,ab反向,当2时,,ab垂直.特别提醒:根据两个非零向量的夹角的定义,求其夹角时应保证两个向量的起(或终)点相同.典例:在ABC中,若60A,则向量CA与AB的夹角是120.(2)平面向量的数量积:如果两个非零向量,ab,它们的夹角为,我们把数量||||cosab叫做a与b的数量积(或内积或点积),记作:ab,即||||cosabab.另规定:零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数,不再是一个向量.典例:1)ABC中,||3,||5,||4ABBCCA,则ABBC－9;2)已知11(1,),(0,),,22abcakbdab,c与d的夹角为4,则k等于1;3)已知||2,||5,3abab,则||ab等于23;4)已知,ab是两个非零向量,且||||||abab,则aab与的夹角为30(3)b在a上的投影为||cosb,是一个实数.由数量积定义有简化公式:||cos||abba典例:已知||3,||5|ab,且12ab,则向量a在向量b上的投影为125.(4)ab的几何意义:数量积ab等于a的模||a与b在a上的投影的积.(5)向量数量积的性质:设两个非零向量,ab,其夹角为,则:①0abab;②当a,b同向时,ab＝||||ab,特别地,222,||aaaaa;当a与b反向时,ab＝||||ab;当为锐角0ab,且ab、不同向.(0ab是为锐角的必要非充分条件);当为钝角0ab,且ab、不反向.(0ab是为钝角的必要非充分条件);典例:若向量(,2)a与向量(3,2)b夹角为锐角,则411(,)(0,)(,)333;③非零向量a,b夹角的计算公式:cos||||abab;显然可推出||||||abab.典例:若(cos,sin),(cos,sin),axxbyya与b之间有关系式3(0)kabakbk.①用k表示ab21(0)4kkk;②min()ab12,此时a与b的夹角60.④在ABC中,11sintan()222ACBSABACAABACAA典例:在OFQ中,1OFFQ,且1322OFQS,则,OFFQ夹角的取值范围是(,)43.6、向量的运算:(1)几何运算:①向量加法:利用“平行四边形法则”进行,但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量,如此之外,向量加法还可利用“三角形法则”:设,ABaBCb,那么向量AC叫做a与b的和,即abABBCAC;②向量的减法:用“三角形法则”:设,,ABaACbabABACCA那么,由减向量的终点指向被减向量的终点.注意:此处减向量与被减向量的起点相同.典例:1)化简:ABBCCDAD;ABADDCCB;()()ABCDACBD0;2)若正方形ABCD的边长为1,,,ABaBCbACc,则||abc＝22;3)点O在ABC所在平面内,且|||2|OBOCOBOCOA,则ABC形状为直角三角形;4)在ABC中,D为BC中点,点P满足0PABPCP.设||||APPD,则的值为2;5)若点O是ABC△的外心,且0OAOBCO,则ABC△的内角C为____（答:120）;(2)坐标运算:设1122(,),(,)axybxy,则:①向量的加减法运算:12(abxx,12)yy.典例:1)已知点(2,3),(5,4)AB,(7,10)C,若()APABACR,则当＝12时,点P在第一、三象限的角平分线上;2)已知1(2,3),(1,4),(sin,cos)2ABABxy且,,(,)22xy,则xy62或;3)已知作用在点(1,1)A的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)FFF,则合力123FFFF的终点坐标是（9,1）.②实数与向量的积:1111(,)(,)axyxy.③若1122(,),(,)AxyBxy,则2121,ABxxyy,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.典例:设(2,3),(1,5)AB,且13ACAB,3ADAB,则C、D的坐标分别是11(1,),(7,9)3;④平面向量数量积:1212abxxyy.典例:已知向量(sin,cos),(sin,sin),(1,0)axxbxxc.1)若3x,求向量a、c的夹角;(答:(1)150;)2)若3[,]84x,函数()fxab的最大值为12,求的值;(答:1(2)2或21)⑤向量的模:222222||,||axyaaxy.典例:已知,ab均为单位向量,它们的夹角为60,那么|3|ab＝13;⑥两点间的距离:若1122,,,AxyBxy,则222121||ABxxyy.典例:如图,在平面斜坐标系xOy中,60xOy,平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的:若12OPxeye,其中12,ee分别为与x轴、y轴同方向的单位向量,则P点斜坐标为(,)xy.(1)若点P的斜坐标为(2,2),求P到O的距离||PO;(答:2)(2)求以O为圆心,1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程.（答:2210xyxy）;7、向量的运算律:(1)交换律:abba,aa,abba;(2)结合律:,abcabcabcabc,()()()ababab;(3)分配律:,aaaabab,abcacbc.典例:给出命题:①()abcabac;②()()abcabc;③222()||2||||||abaabb④若0ab,则0a或0b;⑤若,abcb则ac;⑥22||aa;⑦2abbaa;⑧222()abab;⑨222()2abaabb.其中正确的是①⑥⑨.提醒:(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向量不能相除(相约);(2)向量的“乘法”不满足结合律,即()()abcabc,为什么？8、向量平行(共线)的充要条件://abab22()(||||)abab1212xyyx＝0.典例:1)若向量(,1),(4,)axbx,当x＝2时a与b共线且方向相同;2)已知(1,1),(4,)abx,2uab,2vab,且//uv,则x＝4;3)设(,12),(4,5),(10,)PAkPBPCk,则k＝－2或11时,A,B,C共线.9、向量垂直的充要条件:0||||abababab12120xxyy.特别地()()||||||||ABACABACABACABAC.典例:1)已知(1,2),(3,)OAOBm,若OAOB,则m32;2)以原点O和(4,2)A为两个顶点作等腰RtOAB,90B,则点B的坐标是(1,3)或(3,－1);3)已知(,),nab向量nm,且||||nm,则m的坐标是(,)(,)baba或.10、向量中一些常用的结论:(1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用;(2)||||||||||||ababab.当ab、同向或有0||||||abab,||||||||abab;当ab、反向或有0||||||abab,||||||||abab;当ab、不共线||||||||||||ababab(这些和实数比较类似).(3)在ABC中,若112233(,),)(,),(,)AxyBxyCxy.①其重心的坐标为123123(,)33xxxyyyG.典例:若ABC的三边的中点分别为(2,1),(3,4),(1,1),则⊿ABC的重心的坐标24(,)33;②0PAPBPCP为ABC的重心;3PAPBPCPGG为ABC的重心③PAPBPBPCPCPAP为ABC的垂心;或者222222PABCPBACPCABP为ABC的垂心;④向量()(0)||||ABACABAC所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线);⑤||||||0ABPCBCPACAPBP为ABC的内心;(3)三点ABC、、共线存在实数、使得PAPBPC且1.典例:平面直角坐标系xOy中,已知两点(3,1),(1,3)AB,若点C满足12OCOAOB,其中12,R且121,则点C的轨迹方程是250xy.