北京2012年高考数学(理科)试题试卷+答案

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北京2012届高考预测试卷数学理试题第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题共90分。满分100分，考试时间为120分钟。第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合012A，，，集合2Bxx，则AB（）A．2B．012，，C．2xxD．2．已知i是虚数单位，则ii221等于（）A．iB．i54C．i5354D．i3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12B．11C．312D．3114．若数列{}na的前n项和为nS，则下列命题：（1）若数列{}na是递增数列，则数列{}nS也是递增数列；（2）数列{}nS是递增数列的充要条件是数列{}na的各项均为正数；（3）若{}na是等差数列（公差0d），则120kSSS的充要条件是120.kaaa（4）若{}na是等比数列，则120(2,)kSSSkkN的充要条件是10.nnaa其中，正确命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．如图，长方形的四个顶点为)2,0(),2,4(),0,4(),0,0(CBAO，曲线xy经过点B．现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A．125B．21C．32D．436．已知:命题p：“1a是2,0xaxx的充分必要条件”；命题q：“02,0200xxRx”．则下列命题正确的是（）A．命题“p∧q”是真命题B．命题“（┐p）∧q”是真命题C．命题“p∧（┐q）”是真命题D．命题“（┐p）∧（┐q）”是真命题7．若空间三条直线a、b、c满足,//abbc，则直线ac与（）A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．一定垂直8．函数xxyln的图象大致是（）9．如图所示的方格纸中有定点OPQEFGH,,,,,,，则OPOQ（）A．OHB．OGC．FOD．EO10．设22)1(则,3005满足约束条件,yxxyxyxyx的最大值为（）A．80　　　　B．45　　　　C．25　　　D．17211．若双曲线222(0)xyaa的左、右顶点分别为A、B，点P是第一象限内双曲线上的点。若直线PA、PB的倾斜角分别为α，β，且(1)mm，那么α的值是（）A．21mB．2mC．21mD．22m12．若实数t满足ftt()，则称t是函数fx()的一个次不动点．设函数lnfxx()与函数exgx()（其中e为自然对数的底数）的所有次不动点之和为m，则（）A．0mB．0mC．01mD．1m第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。13．431xx展开式中常数为；14．在ABC中，已知abc，，分别为A，B，C所对的边，S为ABC的面积．若向量22241pabcqS()()，，，满足//pq，则C=．15．执行如图的程序框图，那么输出S的值是；16、已知213cos，4152cos5cos，231coscoscos7778，。根据以上等式，可猜想出的一般结论是；三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知函数23sincossin2424xxfxx()()()()．（Ⅰ）求fx()的最小正周期；（Ⅱ）若将fx()的图象向右平移6个单位，得到函数gx()的图象，求函数gx()在区间0[，]上的最大值和最小值．18．（本小题满分12分）在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题．规定每位考生必须且只须在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为12．（Ⅰ）求其中甲、乙二名学生选做同一道题的概率；（Ⅱ）设这4名考生中选做第22题的学生个数为，求的概率分布及数学期望。20419．（本小题满分12分）如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，30BAC，BMAC交AC于点M，EA平面ABC，//FCEA，431ACEAFC，，．（Ⅰ）证明：EMBF；（Ⅱ）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．20．（本小题满分12分）已知数列}2{1nna的前n项和96nSn．（Ⅰ）求数列｛na｝的通项公式；（Ⅱ）设2(3log)3nnabn，求数列｛1nb｝的前n项和．21．（本小题满分12分）直线l与椭圆22221(0)yxabab交于11(,)Axy，22(,)Bxy两点，已知m),(11byax，n),(22byax，若nm且椭圆的离心率32e，又椭圆经过点3(,1)2，O为坐标原点．ABCEFMO（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l过椭圆的焦点(0,)Fc（c为半焦距），求直线l的斜率k的值；（Ⅲ）试问：AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由。22．（本小题满分14分）已知函数ln1afxxaxR()()．（Ⅰ）当92a时，如果函数gxfxk()()仅有一个零点，求实数k的取值范围；（Ⅱ）当2a时，试比较fx()与1的大小；（Ⅲ）求证：1111ln135721nn()n*N()．参考答案一．选择题1、D；2、A；3、A；4、B；5、C；6、B；7、D；8、C；9、C；10、A；11、D；12、B；二．填空题13、—4；14、4；15、21；16、21coscoscos2121212nnnnn，nN。三．解答题17．解析：（Ⅰ）xxxfsin)2sin(3)(xxsincos3…………………2分)cos23sin21(2xx)3sin(2x．……………………………4分所以)(xf的最小正周期为2．………………………………………6分（Ⅱ）将)(xf的图象向右平移6个单位，得到函数)(xg的图象，3)6(sin2)6()(xxfxg)6sin(2x．…………………8分[0,]x时，]67,6[6x，…………………………………………………9分当26x，即3x时，sin()16x，)(xg取得最大值2．…………10分当766x，即x时，1sin()62x，)(xg取得最小值1．………12分18．解析：（Ⅰ）设事件A表示“甲选做第21题”，事件B表示“乙选做第21题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“ABAB”，且事件A、B相互独立∴()()()()()PABABPAPBPAPB=11111(1)(1)22222．……………6分（Ⅱ）随机变量的可能取值为0,1,2,3,4，且～1(4,)2B．∴4444111()()(1)()(0,1,2,3,4)222kkkkPkCCk∴变量的分布表为：113110123421648416E…………………………12分19．解析：（法一）（Ⅰ）EA平面ABC，BM平面ABC，BMEA．………………………………………………………………………………1分又AC，BMAACEA，BM平面ACFE，而EM平面ACFE，EMBM．……………………………………………………………………………3分AC是圆O的直径，90ABC．又，BAC304AC，，BC，AB2321,3CMAM．EA平面ABC，EAFC//，1FC，FC平面ABCD．EAM与FCM都是等腰直角三角形．45FMCEMA．90EMF，即MFEM（也可由勾股定理证得）．………………………………5分MBMMF，EM平面MBF．而BF平面MBF，EMBF．………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）延长EF交AC于G，连BG，过C作CHBG，连结FH．由（1）知FC平面ABC，BG平面ABC，FCBG．而FCCHC，BG平面FCH．FH平面FCH，FHBG，FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角．……………………8分01234P116143814116HGABCEFMO在ABCRt中，30BAC，4AC，330sinABBM．由13FCGCEAGA，得2GC．3222MGBMBG．又GBMGCH~，BMCHBGGC，则13232BGBMGCCH．………………………………11分FCH是等腰直角三角形，45FHC．平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为22．　………………………12分（法二）（Ⅰ）同法一，得33BMAM，．………………………3分如图，以A为坐标原点，垂直于AC、AC、AE所在的直线为zyx,,轴建立空间直角坐标系．由已知条件得(0,0,0),(0,3,0),(0,0,3),(3,3,0),(0,4,1)AMEBF，(0,3,3),(3,1,1)MEBF．………4分由(0,3,3)(3,1,1)0MEBF，得BFMF，BFEM．……………6分（Ⅱ）由（1）知(3,3,3),(3,1,1)BEBF．设平面BEF的法向量为),,(zyxn，由0,0,nBEnBF得333030xyzxyz，令3x得1,2yz，3,1,2n，…………………………9分由已知EA平面ABC，所以取面ABC的法向量为(0,0,3)AE，xyzABCEFMO设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为，则3010232coscos,2322nAE，…………………………11分平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为22．……………………12分20．解析：（Ⅰ）1n时，011123,3aSa;……………………………………2分11232,26,2nnnnnnnaSSa时．………………………………………4分　　23(1)3(2)2nnnan通项公式……………………………………………6分（Ⅱ）设1nnnTb的前项和为，当1n时，1211113log13,3bTb；…………………………………7分　2n时，223(3log)(1)32nnbnnn，1nb1(1)nn……………10分nT1211111132334nbbb1(1)nn＝5161n……………12分21．解析：（Ⅰ）∵2222321314cabeaaab…………………2分∴2,1ab∴椭圆的方程为2214yx………………3分（Ⅱ）依题意，设l的方程为3ykx由22223(4)231014ykxkxkxyx显然0121222231,44kxxxxkk………………5分由已知nm0得：22121212124(3)(3)axxbyyxxkxkx21212(4)3()3kxxkxx222123k(k4)()3k30k4k4解得2k……………………6分（Ⅲ）①当直线AB斜率不存在时，即2121,xxyy，由已知nm0，得22221111404xyyx又11(,)Axy在椭圆上，所以221111421||,||242xxxy1121111||||||2||122Sxyyxy,三角形的面积为定值．………7分②当直线AB斜率存在时：设AB的方程为ykxt22222(4)24014ykxtkxktxtyx必须0即222244(4)(4)0ktkt得到12224ktxxk，212244txxk………………9分∵nm，∴12121212404()()0xxyyxxkxtkxt代入整理得：2224tk…………………10分2121121||1||||()4221tSABtxxxxk…………11分2222||44164142||tkttkt所以三角形的面积为定值．…………………12分22．解析：（Ⅰ）当29a时，)1(29ln)(xxxf，定义域是),0(，22)1(2)2)(12()1(291)(xxxxxxxf，令0)(xf，得21x或2x．…2分当210x或2x时，0)(xf，当221x时，0)(xf，函数)(xf在)21,0(、),2(上单调递增，在)2,21(上单调递减．……………4分)(xf的极大值是2ln3)21(f，极小值是2ln23)2(f．当0x时，)(xf；当x时，)(xf，当)(xg仅有一个零点时，k的取值范围是2ln3k或2ln23k．……………5分（Ⅱ）当2a时，12ln)(xxxf，定义域为),0(．令112ln1)()(xxxfxh，0)1(1)1(21)(222xxxxxxh，)(xh在),0(上是增函数．…………………………………7分①当1x时，0)1()(hxh，即1)(xf；②当10x时，0)1()(hxh，即1)(xf；③当1x时，0)1()(hxh，即1)(xf．…………………………………9分（Ⅲ）（法一）根据（2）的结论，当1x时，112lnxx，即11lnxxx．令kkx1，则有1211lnkkk，nknkkkk111211ln．……………12分nkkkn11ln)1ln(，1215131)1ln(nn．……………………………………14分（法二）当1n时，ln(1)ln2n．3ln2ln81，1ln23，即1n时命题成立．………………………………10分设当nk时，命题成立，即111ln(1)3521kk．1nk时，2ln(1)ln(2)ln(1)ln1knkkk1112ln35211kkk．根据（Ⅱ）的结论，当1x时，112lnxx，即11lnxxx．令21kxk，则有21ln123kkk，则有1111ln(2)352123kkk，即1nk时命题也成立．……………13分因此，由数学归纳法可知不等式成立．………………………………14分（法三）如图，根据定积分的定义，得1121171151nndxx1121．……11分)12(1212112111xdxdxxnnxyo123456n-1n…]3ln)12[ln(21)12ln(211nxn，121715131n)12151(31nndxx112131]3ln)12[ln(2131n．………………………………12分11[ln(21)ln3]ln(1)32nn223ln31[ln(21)ln(21)]62nnn，又3ln332，)12ln()12ln(2nnn，)1ln(]3ln)12[ln(2131nn．)1ln(1215131nn．…………………………………14分