2012北京市东城区高三一模试卷数学(理科)+答案

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北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若a，bR，i是虚数单位，且(2)i1iab，则ab的值为（A）1（B）2（C）3（D）4（2）若集合},0{2mA，}2,1{B，则“1m”是“}2,1,0{BA”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（3）若实数x，y满足不等式组1,2,0,yxyxy则yxz2的最小值为（A）27（B）2（C）1（D）25（4）右图给出的是计算1001...81614121的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（A）50i（B）50i（C）25i（D）25i（5）某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（A）16（B）18（C）24（D）32（6）已知x，y，zR，若1，x，y，z，3成等比数列，则xyz的值为C（A）3（B）3（C）33（D）33（7）在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，ABAD，4AB，2BC，4AD，若P为CD的中点，则PAPB的值为（A）5（B）4（C）4（D）5（8）已知函数21,0,()(1),0.xxfxfxx若方程()fxxa有且只有两个不相等的实数根，则实数a844647m9354551079乙甲BCDAOEDC1Q0N1CB1ABMQ的取值范围是（A）,1（B）,1（C）0,1（D）0,第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。（9）命题“000(0,),tansin2xxx”的否定是.（10）在极坐标系中，圆2的圆心到直线cossin2的距离为．（11）在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是；若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数后，两组数据的平均数中较大的一组是组．（12）如图，AB是⊙O的直径，直线DE切⊙O于点D，且与AB延长线交于点C，若CD3，1CB，则ADE=．（13）抛物线2yx的准线方程为；经过此抛物线的焦点是和点(1,1)M，且与准线相切的圆共有个．（14）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点M在AD上，正方形ABCD以AD为轴逆时针旋转角)3(0≤≤到11ABCD的位置，同时点M沿着AD从点A运动到点D，11MNDC，点Q在1MN上，在运动过程中点Q始终满足QM1cos，记点Q在面ABCD上的射影为0Q，则在运动过程中向量0BQ与BM夹角的正切的最大值为.三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）PFEABCFA1CPBE已知函数22()(sin2cos2)2sin2fxxxx.（Ⅰ）求()fx的最小正周期；（Ⅱ）若函数()ygx的图象是由()yfx的图象向右平移8个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x[0,4]时，求()ygx的最大值和最小值.（16）（本小题共13分）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品，则获利4万元，若是二等品，则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品，则获利6万元，若是二等品，则亏损2万元.两种产品生产的质量相互独立.（Ⅰ）设生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润为X（单位：万元），求X的分布列；（Ⅱ）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率.（17）（本小题共13分）如图1，在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC，BC上的点，且满足1AEFCCP.将△AEF沿EF折起到△1AEF的位置，使二面角1AEFB成直二面角，连结1AB，1AP.（如图2）（Ⅰ）求证：EA1⊥平面BEP；（Ⅱ）求直线EA1与平面BPA1所成角的大小.图1图2(18)（本小题共14分）已知函数221()2e3eln2fxxxxb在0(,0)x处的切线斜率为零．（Ⅰ）求0x和b的值；（Ⅱ）求证：在定义域内()0fx≥恒成立；(Ⅲ)若函数()()aFxfxx有最小值m，且2em，求实数a的取值范围.（19）（本小题共13分）已知椭圆C：222210xyabab的离心率是12，其左、右顶点分别为1A，2A，B为短轴的端点，△12ABA的面积为23．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）2F为椭圆C的右焦点，若点P是椭圆C上异于1A，2A的任意一点，直线1AP，2AP与直线4x分别交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆与直线2PF相切于点2F．（20）（本小题共14分）若对于正整数k,()gk表示k的最大奇数因数，例如(3)3g，(10)5g.设(1)(2)(3)(4)(2)nnSggggg．（Ⅰ）求(6)g,(20)g的值；（Ⅱ）求1S，2S，3S的值；（Ⅲ）求数列nS的通项公式．北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（一）数学参考答案及评分标准（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）D（2）A（3）A（4）B（5）C（6）C（7）D（8）A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）(0,),tansin2xxx（10）2（11）84乙（12）60（13）14x2（14）612注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为22()(sin2cos2)2sin2fxxxxsin4cos4xx2sin(4)4x,…………6分所以函数()fx的最小正周期为2.…………8分（Ⅱ）依题意,()ygx2sin[4()8x4]12sin(4)14x.…………10分因为04x，所以34444x.…………11分当442x，即316x时，()gx取最大值21；当444x，即0x时，()gx取最小值0.…………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由题设知，X的可能取值为10，5，2，3.…………2分(10)PX0.80.90.72，(5)0.20.90.18PX，(2)0.80.10.08PX，(3)0.20.10.02PX.…………6分由此得X的分布列为：X10523P0.720.180.080.02…………8分（Ⅱ）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4n件.DPFEACBxyzA1FCPBE由题设知4(4)10nn，解得145n，又nN且4n，得3n，或4n.…………10分所求概率为33440.80.20.80.8192PC.（或写成512625）答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192.…………13分（17）（共13分）（Ⅰ）证明：取BE中点D，连结DF.因为1AECF，1DE，所以2AFAD，而60A，即△ADF是正三角形.又因为1AEED,所以EFAD.…………2分所以在图2中有1AEEF，BEEF.…………3分所以1AEB为二面角1AEFB的平面角.图1又二面角1AEFB为直二面角，　所以1AEBE.…………5分又因为BEEFE,　所以1AE⊥平面BEF,即1AE⊥平面BEP.…………6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知1AE⊥平面BEP，BEEF，如图，以E为原点，建立空间直角坐标系Exyz，则(0,0,0)E，1(0,0,1)A，(2,0,0)B，(0,3,0)F.在图１中，连结DP.因为12CFCPFAPB，所以PF∥BE，且12PFBEDE.所以四边形EFPD为平行四边形.所以EF∥DP，且EFDP.故点P的坐标为（1，3，0）.图2所以1(2,0,1)AB，(1,3,0)BP，1(0,0,1)EA.…………8分不妨设平面1ABP的法向量(,,)xyzn，则10,0.ABBPnn即20,30.xzxy令3y，得(3,3,6)n.　…………10分所以cos1EAn,11632||||143EAEAnn.…………12分故直线1AE与平面1ABP所成角的大小为3.…………13分（18）（共14分）（Ⅰ）解：23e()2efxxx.…………2分由题意有0()0fx即2003e2e0xx，解得0ex或03ex（舍去）．…………4分得(e)0f即2221e2e3elne02b，解得21e2b．…………5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知2221e()2e3eln(0)22fxxxxx，()fx23e(e)(3e)2e(0)xxxxxx．在区间(0,e)上，有()0fx；在区间(e,)上，有()0fx．故()fx在(0,e)单调递减，在(e,)单调递增，于是函数()fx在(0,)上的最小值是(e)0f．…………9分故当0x时，有()0fx≥恒成立．…………10分(Ⅲ)解：23e()()2eaaFxfxxxx(0)x．当23ea时，则223e()2e23e2eaFxxax，当且仅当23exa时等号成立，故()Fx的最小值223e2ema2e，符合题意；…………13分当23ea时，函数()2eFxx在区间(0,)上是增函数，不存在最小值，不合题意；当23ea时，函数23e()2eaFxxx在区间(0,)上是增函数，不存在最小值，不合题意．综上，实数a的取值范围是2(3e,)．…………14分（19）（共13分）（Ⅰ）解：由已知2221,223,.caababc…………2分解得2a，3b．…………4分故所求椭圆方程为22143xy．…………5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知12,0A，22,0A，21,0F．设000,2Pxyx，则22003412xy．于是直线1AP方程为0022yyxx，令4x，得0062Myyx；所以(M4,0062yx)，同理(N4,0022yx)．…………7分所以2FM(3,0062yx)，2FN(3,0022yx).所以22FMFN(3,0062yx)(3,0022yx)000062922yyxx220022003123129944xyxx20209499904xx．所以22FMFN，点2F在以MN为直径的圆上．…………9分设MN的中点为E，则(4,E00204(1)4yxx)．…………10分又2FE(3,00204(1)4yxx)，2001,,FPxy所以22FEFP(3,00204(1)4yxx)20000020411,314yxxyxx20000020123131313104xxxxxx．所以22FEFP．…………12分因为2FE是以MN为直径的圆的半径，E为圆心，22FEFP，故以MN为直径的圆与直线2PF相切于右焦点．…………13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）(6)3g，(20)5g．…………2分（Ⅱ）1(1)(2)112Sgg；2(1)(2)(3)(4)11316Sgggg；3(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)1131537122Sgggggggg．…………6分(Ⅲ)由（Ⅰ）（Ⅱ）不难发现对mN，有(2)()gmgm．…………8分所以当2n时，(1)(2)(3)(4)(21)(2)nnnSgggggg[(1)(3)(5)(21)][(2)(4)(2)]nnggggggg1[135(21)][(21)(22)(22)]nnggg11(121)2[(1)(2)(2)]2nnnggg114nnS…………11分于是114nnnSS，2,nnN．所以112211()()()nnnnnSSSSSSSS12244442nn14(14)4221433nn，2,nnN．…………13分又12S，满足上式，所以对nN，1(42)3nnS．…………14分