2012上海高考(文科)数学试题解答

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2012年上海高考数学（文科）试卷一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1．计算：ii13=（i为虚数单位）.2．若集合}012|{xxA，}1|{xxB，则BA=.3．函数xxxfcos12sin)(的最小正周期是.4．若)1,2(n是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．一个高为2的圆柱，底面周长为2，该诉表面积为.6．方程03241xx的解是.7．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,…,Vn,…，则)(lim21nnVVV.8．在6)1(xx的二项展开式中，常数项等于.9．已知)(xfy是奇函数.若2)()(xfxg且1)1(g.，则)1(g.10．满足约束条件2||2||yx的目标函数xyz的最小值是.11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.12．在知形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足||||||||CDCNBCBM，则ANAM的取值范围是.13．已知函数)(xfy的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(21,1)，C(1,0).函数)10()(xxxfy的图像与x轴围成的图形的面积为.14．已知xxf11)(.各项均为正数的数列}{na满足11a，)(2nnafa.若20122010aa，则1120aa的值是.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）OMxl15．若i21是关于x的实系数方程02cbxx的一个复数根，则（）（A）3,2cb.（B）1,2cb.（C）1,2cb.（D）3,2cb.16．对于常数m、n，“0mn”是“方程122nymx的曲线是椭圆”的（）（A）充分不必要条件.（B）必要不充分条件（C）充分必要条件.（D）既不充分也不必要条件.17．在ABC中，若CBA222sinsinsin，则ABC的形状是（）（A）钝角三角形.（B）直角三角形.（C）锐角三角形.（D）不能确定.18．若)(sinsinsin7727NnSnn，则在10021,,,SSS中，正数的个数是（）（A）16.（B）72.（C）86.（D）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点.已知∠BAC=2，AB=2，AC=23，PA=2.求：（1）三棱锥P-ABC的体积；（6分）（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6分）20．已知函数)1lg()(xxf.（1）若1)()21(0xfxf，求x的取值范围；（6分）（2）若)(xg是以2为周期的偶函数，且当10x时，有)()(xfxg，求函数)(xgy])2,1[(x的反函数.（8分）21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南PABCD方向12海里A处，如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912xy；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为t7.（1）当5.0t时，写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）22．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线12:22yxC.（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点.若|MF|=22，求过M点的坐标；（5分）（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分）（3）设斜率为)2|(|kk的直线l交C于P、Q两点，若l与圆122yx相切求证：OP⊥OQ；（6分）23．对于项数为m的有穷数列数集}{na，记},,,max{21kkaaab（k=1,2,…,m），即kb为kaaa,,,21中的最大值，并称数列}{nb是}{na的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列}{na的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的}{na；（4分）（2）设}{nb是}{na的控制数列，满足Cbakmk1（C为常数，k=1,2,…,m）.求证：kkab（k=1,2,…,m）；（6分）（3）设m=100，常数)1,(21a.若nanannn2)1()1(2，}{nb是}{na的控制数列，xOyPA求)()()(1001002211ababab.2012年上海高考数学（文科）试卷解答一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1．计算：ii13=1-2i（i为虚数单位）.2．若集合}012|{xxA，}1|{xxB，则BA=)1,(21.3．函数xxxfcos12sin)(的最小正周期是.4．若)1,2(n是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为21arctan（结果用反三角函数值表示）.5．一个高为2的圆柱，底面周长为2，该诉表面积为6.6．方程03241xx的解是3log2.7．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,…,Vn,…，则)(lim21nnVVV78.8．在6)1(xx的二项展开式中，常数项等于-20.9．已知)(xfy是奇函数.若2)()(xfxg且1)1(g.，则)1(g3.10．满足约束条件2||2||yx的目标函数xyz的最小值是-2.11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是32（结果用最简分数表示）.12．在知形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足||||||||CDCNBCBM，则ANAM的取值范围是[1,4].13．已知函数)(xfy的图像是折5线段ABC，若中A(0,0)，B(21,1)，C(1,0).函数)10()(xxxfy的图像与x轴围成的图形的面积为41.14．已知xxf11)(.各项均为正数的数列}{na满足11a，)(2nnafa.若20122010aa，则1120aa的值是263513.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15．若i21是关于x的实系数方程02cbxx的一个复数根，则（D）（A）3,2cb.（B）1,2cb.（C）1,2cb.（D）3,2cb.16．对于常数m、n，“0mn”是“方程122nymx的曲线是椭圆”的（B）（A）充分不必要条件.（B）必要不充分条件（C）充分必要条件.（D）既不充分也不必要条件.17．在ABC中，若CBA222sinsinsin，则ABC的形状是（A）（A）钝角三角形.（B）直角三角形.（C）锐角三角形.（D）不能确定.18．若)(sinsinsin7727NnSnn，则在10021,,,SSS中，正数的个数是（C）（A）16.（B）72.（C）86.（D）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点.已知∠BAC=2，AB=2，AC=23，PA=2.求：PABCD（1）三棱锥P-ABC的体积；（6分）（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6分）[解]（1）3232221ABCS，2分三棱锥P-ABC的体积为3343131232PASVABC.6分（2）取PB的中点E，连接DE、AE，则ED∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC与AD所成的角.8分在三角形ADE中，DE=2，AE=2，AD=2，4322222222cosADE，所以∠ADE=43arccos.因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是43arccos.12分20．已知函数)1lg()(xxf.（1）若1)()21(0xfxf，求x的取值范围；（6分）（2）若)(xg是以2为周期的偶函数，且当10x时，有)()(xfxg，求函数)(xgy])2,1[(x的反函数.（8分）[解]（1）由01022xx，得11x.由1lg)1lg()22lg(0122xxxx得101122xx.……3分因为01x，所以1010221xxx，3132x.由313211xx得3132x.……6分（2）当x[1,2]时，2-x[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(xxfxgxgxgy.……10分由单调性可得]2lg,0[y.因为yx103，所以所求反函数是xy103，]2lg,0[x.……14分PABCDE21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912xy；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为t7.（1）当5.0t时，写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）[解]（1）5.0t时，P的横坐标xP=277t，代入抛物线方程24912xy中，得P的纵坐标yP=3.……2分由|AP|=2949，得救援船速度的大小为949海里/时.……4分由tan∠OAP=30712327，得∠OAP=arctan307，故救援船速度的方向为北偏东arctan307弧度.……6分（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为)12,7(2tt.由222)1212()7(ttvt，整理得337)(1442122ttv.……10分因为2212tt，当且仅当t=1时等号成立，所以22253372144v，即25v.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.……14分22．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线12:22yxC.（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点.若|MF|=22，求过M点的坐标；（5分）（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分）（3）设斜率为)2|(|kk的直线l2交C于P、Q两点，若l与圆122yx相切，求证：OP⊥OQ；（6分）[解]（1）双曲线1:2212yCx，左焦点)0,(26F.xOyPA设),(yxM，则22222262)3()(||xyxMF，……2分由M是右支上一点，知22x，所以223||22xMF，得26x.所以)2,(26M.……5分（2）左顶点)0,(22A，渐近线方程：xy2.过A与渐近线xy2平行的直线方程为：)(222xy，即12xy.解方程组122xyxy，得2142yx.……8分所求平行四边形的面积为42||||yOAS.……10分（3）设直线PQ的方程是bkxy.因直线与已知圆相切，故11||2kb，即122kb(*).由1222yxbkxy，得012)2(222bkbxxk.设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则22221212221kbkkbxxxx.))((2121bkxbkxyy，所以2212122121)()1(bxxkbxxkyyxxOQOP22222222221222)1)(1(kkbkbkkbk.由(*)知0OQOP，所以OP⊥OQ.……16分23．对于项数为m的有穷数列数集}{na，记},,,max{21kkaaab（k=1,2,…,m），即kb为kaaa,,,21中的最大值，并称数列}{nb是}{na的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列}{na的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的}{na；（4分）（2）设}{nb是}{na的控制数列，满足Cbakmk1（C为常数，k=1,2,…,m）.求证：kkab（k=1,2,…,m）；（6分）（3）设m=100，常数)1,(21a.若nanannn2)1()1(2，}{nb是}{na的控制数列，求)()()(1001002211ababab.[解]（1）数列}{na为：2,3,4,5,1；2,3,4,5,2；2,3,4,5,3；2,3,4,5,4；2,3,4,5,5.……4分（2）因为},,,max{21kkaaab，},,,,max{1211kkkaaaab，所以kkbb1.……6分因为Cbakmk1，Cbakmk1，所以011kmkmkkbbaa，即kkaa1.……8分因此，kkab.……10分（3）对25,,2,1k，)34()34(234kkaak；)24()24(224kkaak；)14()14(214kkaak；)4()4(24kkaak.比较大小，可得3424kkaa.……12分因为121a，所以0)38)(1(2414kaaakk，即1424kkaa；0)14)(12(2244kaaakk，即244kkaa.又kkaa414，从而3434kkab，2424kkab，2414kkab，kkab44.……15分因此)()()(1001002211ababab=)()()()()(9999141410107733abababababkk=)()()()()(999814241097632aaaaaaaaaakk=2511424)(kkkaa=251)38()1(kka=)1(2525a.……18分